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Theorem cdleme30a 31014
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 9-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme30.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme30.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme30.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme30.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme30.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme30.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
Assertion
Ref Expression
cdleme30a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )

Proof of Theorem cdleme30a
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
2 hllat 30000 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
31, 2syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
4 simp21 990 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  e.  A
)
5 cdleme30.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
6 cdleme30.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
75, 6atbase 29926 . . . 4  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  B )
84, 7syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  e.  B
)
9 simp23 992 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B
)
10 simp1r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  W  e.  H
)
11 cdleme30.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
125, 11lhpbase 30634 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
1310, 12syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  W  e.  B
)
14 cdleme30.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
155, 14latmcl 14468 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( Y  ./\  W
)  e.  B )
163, 9, 13, 15syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  W )  e.  B )
17 simp22l 1076 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B
)
18 cdleme30.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
195, 18latjass 14512 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( s  e.  B  /\  ( Y  ./\  W
)  e.  B  /\  X  e.  B )
)  ->  ( (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  .\/  X )  =  ( s 
.\/  ( ( Y 
./\  W )  .\/  X ) ) )
203, 8, 16, 17, 19syl13anc 1186 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  .\/  X
)  =  ( s 
.\/  ( ( Y 
./\  W )  .\/  X ) ) )
21 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )
22 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
23 cdleme30.l . . . . . . . 8  |-  .<_  =  ( le `  K )
245, 23, 14latmlem1 14498 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W ) ) )
253, 17, 9, 13, 24syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  .<_  Y  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\ 
W ) ) )
2622, 25mpd 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\ 
W ) )
275, 14latmcl 14468 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  W  e.  B )  ->  ( X  ./\  W
)  e.  B )
283, 17, 13, 27syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  ./\  W )  e.  B )
295, 23, 18latjlej2 14483 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( X  ./\  W )  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B  /\  s  e.  B ) )  -> 
( ( X  ./\  W )  .<_  ( Y  ./\ 
W )  ->  (
s  .\/  ( X  ./\ 
W ) )  .<_  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) ) ) )
303, 28, 16, 8, 29syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( X 
./\  W )  .<_  ( Y  ./\  W )  ->  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  .<_  ( s  .\/  ( Y  ./\  W
) ) ) )
3126, 30mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  .<_  ( s  .\/  ( Y  ./\  W
) ) )
3221, 31eqbrtrrd 4226 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) ) )
335, 18latjcl 14467 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  s  e.  B  /\  ( Y  ./\  W )  e.  B )  -> 
( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  e.  B )
343, 8, 16, 33syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  e.  B )
355, 23, 18latleeqj2 14481 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  X  e.  B  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  e.  B )  -> 
( X  .<_  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  <->  ( (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  .\/  X )  =  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) ) ) )
363, 17, 34, 35syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  .<_  ( s  .\/  ( Y 
./\  W ) )  <-> 
( ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  .\/  X )  =  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) ) ) )
3732, 36mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  .\/  X
)  =  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) ) )
38 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
395, 23, 18, 14, 11lhpmod2i2 30674 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  X  e.  B )  /\  X  .<_  Y )  ->  (
( Y  ./\  W
)  .\/  X )  =  ( Y  ./\  ( W  .\/  X ) ) )
4038, 9, 17, 22, 39syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( Y 
./\  W )  .\/  X )  =  ( Y 
./\  ( W  .\/  X ) ) )
4140oveq2d 6088 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( ( Y  ./\  W )  .\/  X ) )  =  ( s 
.\/  ( Y  ./\  ( W  .\/  X ) ) ) )
42 simp22 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
43 eqid 2435 . . . . . . . 8  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
445, 23, 18, 43, 11lhpj1 30658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )  -> 
( W  .\/  X
)  =  ( 1.
`  K ) )
4538, 42, 44syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( W  .\/  X )  =  ( 1.
`  K ) )
4645oveq2d 6088 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  ( W  .\/  X ) )  =  ( Y 
./\  ( 1. `  K ) ) )
47 hlol 29998 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
481, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  OL )
495, 14, 43olm11 29864 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  OL  /\  Y  e.  B )  ->  ( Y  ./\  ( 1. `  K ) )  =  Y )
5048, 9, 49syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  ( 1. `  K ) )  =  Y )
5146, 50eqtrd 2467 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  ./\  ( W  .\/  X ) )  =  Y )
5251oveq2d 6088 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  ( W 
.\/  X ) ) )  =  ( s 
.\/  Y ) )
535, 23, 18latlej1 14477 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  s  e.  B  /\  ( X  ./\  W )  e.  B )  -> 
s  .<_  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) ) )
543, 8, 28, 53syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  .<_  ( s 
.\/  ( X  ./\  W ) ) )
5554, 21breqtrd 4228 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  .<_  X )
565, 23, 3, 8, 17, 9, 55, 22lattrd 14475 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  .<_  Y )
575, 23, 18latleeqj1 14480 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  s  e.  B  /\  Y  e.  B )  ->  ( s  .<_  Y  <->  ( s  .\/  Y )  =  Y ) )
583, 8, 9, 57syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .<_  Y 
<->  ( s  .\/  Y
)  =  Y ) )
5956, 58mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  Y )  =  Y )
6041, 52, 593eqtrd 2471 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( ( Y  ./\  W )  .\/  X ) )  =  Y )
6120, 37, 603eqtr3d 2475 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4204   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457   lecple 13524   joincjn 14389   meetcmee 14390   1.cp1 14455   Latclat 14462   OLcol 29811   Atomscatm 29900   HLchlt 29987   LHypclh 30620
This theorem is referenced by:  cdleme32b  31078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624
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