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Theorem cdleme32b 31176
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 19-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme32.c  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdleme32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdleme32.o  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
cdleme32.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme32b  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( F `  Y )  =  ( N  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z   
y, C    D, s,
y, z    y, E    H, s, t    .\/ , s,
t, x, y, z    K, s, t    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s,
t, x, y, z   
x, N, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    X, s, t, x, z   
y, H    y, K    y, Y    z, H    z, K    Y, s, t, x, z
Allowed substitution hints:    C( x, z, t, s)    D( x, t)    E( x, z, t, s)    F( x, y, z, t, s)    H( x)    I( x, y, z, t, s)    K( x)    N( y,
t, s)    O( x, y, z, t, s)    X( y)

Proof of Theorem cdleme32b
StepHypRef Expression
1 simp1 957 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
2 simp22 991 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  Y  e.  B
)
3 simp23l 1078 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  P  =/=  Q
)
4 simp23r 1079 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  -.  X  .<_  W )
5 simp33 995 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  .<_  Y )
6 simp11l 1068 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  HL )
7 hllat 30098 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
86, 7syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  K  e.  Lat )
9 simp21 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  X  e.  B
)
10 simp11r 1069 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  W  e.  H
)
11 cdleme32.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
12 cdleme32.h . . . . . . . 8  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
1311, 12lhpbase 30732 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
1410, 13syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  W  e.  B
)
15 cdleme32.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
1611, 15lattr 14477 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  W  e.  B
) )  ->  (
( X  .<_  Y  /\  Y  .<_  W )  ->  X  .<_  W ) )
178, 9, 2, 14, 16syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( ( X 
.<_  Y  /\  Y  .<_  W )  ->  X  .<_  W ) )
185, 17mpand 657 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( Y  .<_  W  ->  X  .<_  W ) )
194, 18mtod 170 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  -.  Y  .<_  W )
203, 19jca 519 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )
21 simp31 993 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
22 simp11 987 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
23 simp31l 1080 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  s  e.  A
)
249, 4jca 519 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W ) )
25 simp32 994 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X )
26 cdleme32.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
27 cdleme32.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
28 cdleme32.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2911, 15, 26, 27, 28, 12cdleme30a 31112 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( s  e.  A  /\  ( X  e.  B  /\  -.  X  .<_  W )  /\  Y  e.  B )  /\  ( ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
3022, 23, 24, 2, 25, 5, 29syl132anc 1202 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )
31 cdleme32.u . . 3  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
32 cdleme32.c . . 3  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
33 cdleme32.d . . 3  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
34 cdleme32.e . . 3  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
35 cdleme32.i . . 3  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
36 cdleme32.n . . 3  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
37 cdleme32.o . . 3  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
38 cdleme32.f . . 3  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
3911, 15, 26, 27, 28, 12, 31, 32, 33, 34, 35, 36, 37, 38cdleme32a 31175 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )  ->  ( F `  Y )  =  ( N  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
401, 2, 20, 21, 30, 39syl122anc 1193 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  ( s  .\/  ( X  ./\  W ) )  =  X  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( F `  Y )  =  ( N  .\/  ( Y 
./\  W ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   A.wral 2697   ifcif 3731   class class class wbr 4204    e. cmpt 4258   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   iota_crio 6534   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   meetcmee 14394   Latclat 14466   Atomscatm 29998   HLchlt 30085   LHypclh 30718
This theorem is referenced by:  cdleme32c  31177
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29911  df-ol 29913  df-oml 29914  df-covers 30001  df-ats 30002  df-atl 30033  df-cvlat 30057  df-hlat 30086  df-llines 30232  df-lplanes 30233  df-lvols 30234  df-lines 30235  df-psubsp 30237  df-pmap 30238  df-padd 30530  df-lhyp 30722
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