Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32f Unicode version

Theorem cdleme32f 31257
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme32.c  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdleme32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdleme32.o  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
cdleme32.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme32f  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z   
y, C    D, s,
y, z    y, E    H, s, t    .\/ , s,
t, x, y, z    K, s, t    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s,
t, x, y, z   
x, N, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    X, s, t, x, z   
y, H    y, K    y, Y    z, H    z, K    Y, s, t, x, z
Allowed substitution hints:    C( x, z, t, s)    D( x, t)    E( x, z, t, s)    F( x, y, z, t, s)    H( x)    I( x, y, z, t, s)    K( x)    N( y,
t, s)    O( x, y, z, t, s)    X( y)

Proof of Theorem cdleme32f
StepHypRef Expression
1 simp11 985 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp21r 1073 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  Y  e.  B )
3 simp23r 1077 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  -.  Y  .<_  W )
4 cdleme32.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cdleme32.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdleme32.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 cdleme32.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
8 cdleme32.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 cdleme32.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
104, 5, 6, 7, 8, 9lhpmcvr2 30835 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )
111, 2, 3, 10syl12anc 1180 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )
12 nfv 1609 . . 3  |-  F/ s ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )
13 cdleme32.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
14 nfcv 2432 . . . . . . 7  |-  F/_ s B
15 nfv 1609 . . . . . . . 8  |-  F/ s ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W )
16 cdleme32.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
17 nfra1 2606 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) )
1817, 14nfriota 6330 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s
( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
1916, 18nfcxfr 2429 . . . . . . . 8  |-  F/_ s O
20 nfcv 2432 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
x
2115, 19, 20nfif 3602 . . . . . . 7  |-  F/_ s if ( ( P  =/= 
Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x )
2214, 21nfmpt 4124 . . . . . 6  |-  F/_ s
( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
2313, 22nfcxfr 2429 . . . . 5  |-  F/_ s F
24 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ s X
2523, 24nffv 5548 . . . 4  |-  F/_ s
( F `  X
)
26 nfcv 2432 . . . 4  |-  F/_ s  .<_
27 nfcv 2432 . . . . 5  |-  F/_ s Y
2823, 27nffv 5548 . . . 4  |-  F/_ s
( F `  Y
)
2925, 26, 28nfbr 4083 . . 3  |-  F/ s ( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )
30 simpl1 958 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
31 simpl2 959 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W ) ) )
32 simprl 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  s  e.  A )
33 simprrl 740 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
3432, 33jca 518 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
35 simprrr 741 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y )
36 simpl3 960 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  X  .<_  Y )
37 cdleme32.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
38 cdleme32.c . . . . . 6  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
39 cdleme32.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
40 cdleme32.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
41 cdleme32.i . . . . . 6  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
42 cdleme32.n . . . . . 6  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 16, 13cdleme32e 31256 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
) )
4430, 31, 34, 35, 36, 43syl113anc 1194 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
) )
4544exp32 588 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( s  e.  A  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) ) )
4612, 29, 45rexlimd 2677 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) )
4711, 46mpd 14 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   iota_crio 6313   Basecbs 13164   lecple 13231   joincjn 14094   meetcmee 14095   Atomscatm 30075   HLchlt 30162   LHypclh 30795
This theorem is referenced by:  cdleme32le  31258
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-op 3662  df-uni 3844  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-id 4325  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-undef 6314  df-riota 6320  df-poset 14096  df-plt 14108  df-lub 14124  df-glb 14125  df-join 14126  df-meet 14127  df-p0 14161  df-p1 14162  df-lat 14168  df-clat 14230  df-oposet 29988  df-ol 29990  df-oml 29991  df-covers 30078  df-ats 30079  df-atl 30110  df-cvlat 30134  df-hlat 30163  df-llines 30309  df-lplanes 30310  df-lvols 30311  df-lines 30312  df-psubsp 30314  df-pmap 30315  df-padd 30607  df-lhyp 30799
  Copyright terms: Public domain W3C validator