Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32f Unicode version

Theorem cdleme32f 29539
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme32.c  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdleme32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdleme32.o  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
cdleme32.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme32f  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z   
y, C    D, s,
y, z    y, E    H, s, t    .\/ , s,
t, x, y, z    K, s, t    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s,
t, x, y, z   
x, N, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    X, s, t, x, z   
y, H    y, K    y, Y    z, H    z, K    Y, s, t, x, z
Allowed substitution hints:    C( x, z, t, s)    D( x, t)    E( x, z, t, s)    F( x, y, z, t, s)    H( x)    I( x, y, z, t, s)    K( x)    N( y,
t, s)    O( x, y, z, t, s)    X( y)

Proof of Theorem cdleme32f
StepHypRef Expression
1 simp11 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp21r 1078 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  Y  e.  B )
3 simp23r 1082 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  -.  Y  .<_  W )
4 cdleme32.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cdleme32.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdleme32.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
7 cdleme32.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
8 cdleme32.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
9 cdleme32.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
104, 5, 6, 7, 8, 9lhpmcvr2 29117 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Y  e.  B  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )
111, 2, 3, 10syl12anc 1185 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) )
12 nfv 1629 . . 3  |-  F/ s ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )
13 cdleme32.f . . . . . 6  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
14 nfcv 2385 . . . . . . 7  |-  F/_ s B
15 nfv 1629 . . . . . . . 8  |-  F/ s ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W )
16 cdleme32.o . . . . . . . . 9  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
17 nfra1 2555 . . . . . . . . . 10  |-  F/ s A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) )
1817, 14nfriota 6200 . . . . . . . . 9  |-  F/_ s
( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
1916, 18nfcxfr 2382 . . . . . . . 8  |-  F/_ s O
20 nfcv 2385 . . . . . . . 8  |-  F/_ s
x
2115, 19, 20nfif 3494 . . . . . . 7  |-  F/_ s if ( ( P  =/= 
Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x )
2214, 21nfmpt 4005 . . . . . 6  |-  F/_ s
( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
2313, 22nfcxfr 2382 . . . . 5  |-  F/_ s F
24 nfcv 2385 . . . . 5  |-  F/_ s X
2523, 24nffv 5384 . . . 4  |-  F/_ s
( F `  X
)
26 nfcv 2385 . . . 4  |-  F/_ s  .<_
27 nfcv 2385 . . . . 5  |-  F/_ s Y
2823, 27nffv 5384 . . . 4  |-  F/_ s
( F `  Y
)
2925, 26, 28nfbr 3964 . . 3  |-  F/ s ( F `  X
)  .<_  ( F `  Y )
30 simpl1 963 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
31 simpl2 964 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  (
( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W ) ) )
32 simprl 735 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  s  e.  A )
33 simprrl 743 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
3432, 33jca 520 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
35 simprrr 744 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y )
36 simpl3 965 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  X  .<_  Y )
37 cdleme32.u . . . . . 6  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
38 cdleme32.c . . . . . 6  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
39 cdleme32.d . . . . . 6  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
40 cdleme32.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
41 cdleme32.i . . . . . 6  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
42 cdleme32.n . . . . . 6  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
434, 5, 6, 7, 8, 9, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 16, 13cdleme32e 29538 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  (
s  .\/  ( Y  ./\ 
W ) )  =  Y  /\  X  .<_  Y ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
) )
4430, 31, 34, 35, 36, 43syl113anc 1199 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  /\  ( s  e.  A  /\  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y ) ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `  Y
) )
4544exp32 591 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( s  e.  A  ->  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) ) )
4612, 29, 45rexlimd 2626 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( E. s  e.  A  ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( Y  ./\  W ) )  =  Y )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) )
4711, 46mpd 16 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   A.wral 2509   E.wrex 2510   ifcif 3470   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   iota_crio 6181   Basecbs 13022   lecple 13089   joincjn 13922   meetcmee 13923   Atomscatm 28357   HLchlt 28444   LHypclh 29077
This theorem is referenced by:  cdleme32le  29540
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28270  df-ol 28272  df-oml 28273  df-covers 28360  df-ats 28361  df-atl 28392  df-cvlat 28416  df-hlat 28445  df-llines 28591  df-lplanes 28592  df-lvols 28593  df-lines 28594  df-psubsp 28596  df-pmap 28597  df-padd 28889  df-lhyp 29081
  Copyright terms: Public domain W3C validator