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Theorem cdleme32fva 29905
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. Value of  F at an atom not under  W. (Contributed by NM, 2-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme32.c  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdleme32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdleme32.o  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
cdleme32.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme32fva  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  [_ R  /  x ]_ O  =  [_ R  /  s ]_ N
)
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z   
y, C    D, s,
y, z    y, E    H, s, t    .\/ , s,
t, x, y, z    K, s, t    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s,
t, x, y, z   
x, N, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    R, s, t, y    y, H    y, K    x, R, z    z, H    z, K
Allowed substitution hints:    C( x, z, t, s)    D( x, t)    E( x, z, t, s)    F( x, y, z, t, s)    H( x)    I( x, y, z, t, s)    K( x)    N( y,
t, s)    O( x, y, z, t, s)

Proof of Theorem cdleme32fva
StepHypRef Expression
1 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  R  e.  A )
2 cdleme32.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
3 cdleme32.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
42, 3atbase 28758 . . . 4  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  B )
51, 4syl 15 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  R  e.  B )
6 cdleme32.o . . . 4  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
7 eqid 2284 . . . 4  |-  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) )
86, 7cdleme31so 29847 . . 3  |-  ( R  e.  B  ->  [_ R  /  x ]_ O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
95, 8syl 15 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  [_ R  /  x ]_ O  =  (
iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
10 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
11 simp3 957 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  P  =/=  Q )
12 simp2 956 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
13 cdleme32.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
14 cdleme32.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 cdleme32.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
16 cdleme32.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
17 cdleme32.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
18 cdleme32.c . . . . 5  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
19 cdleme32.d . . . . 5  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
20 cdleme32.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
21 cdleme32.i . . . . 5  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
22 cdleme32.n . . . . 5  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
232, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdleme32snb 29904 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  e.  B )
2410, 11, 12, 23syl12anc 1180 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  [_ R  / 
s ]_ N  e.  B
)
25 nfv 1605 . . . . . . . . 9  |-  F/ s  -.  R  .<_  W
26 nfcsb1v 3114 . . . . . . . . . 10  |-  F/_ s [_ R  /  s ]_ N
2726nfeq2 2431 . . . . . . . . 9  |-  F/ s  z  =  [_ R  /  s ]_ N
2825, 27nfim 1771 . . . . . . . 8  |-  F/ s ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
)
29 breq1 4027 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  R  ->  (
s  .<_  W  <->  R  .<_  W ) )
3029notbid 285 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  <->  -.  R  .<_  W ) )
31 csbeq1a 3090 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  R  ->  N  =  [_ R  /  s ]_ N )
3231eqeq2d 2295 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  R  ->  (
z  =  N  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) )
3330, 32imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( s  =  R  ->  (
( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
3433ax-gen 1533 . . . . . . . 8  |-  A. s
( s  =  R  ->  ( ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
35 ceqsralt 2812 . . . . . . . 8  |-  ( ( F/ s ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  / 
s ]_ N )  /\  A. s ( s  =  R  ->  ( ( -.  s  .<_  W  -> 
z  =  N )  <-> 
( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) ) )  /\  R  e.  A )  ->  ( A. s  e.  A  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
3628, 34, 35mp3an12 1267 . . . . . . 7  |-  ( R  e.  A  ->  ( A. s  e.  A  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
3736adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  ->  ( A. s  e.  A  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <-> 
( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) ) )
38373ad2ant2 977 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( A. s  e.  A  (
s  =  R  -> 
( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
39 simp11 985 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
40 eqid 2284 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
4113, 15, 40, 3, 16lhpmat 29498 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  -> 
( R  ./\  W
)  =  ( 0.
`  K ) )
4239, 12, 41syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( R  ./\ 
W )  =  ( 0. `  K ) )
4342adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( R  ./\  W
)  =  ( 0.
`  K ) )
4443oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  ( s  .\/  ( 0. `  K ) ) )
45 simp11l 1066 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  K  e.  HL )
4645adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
47 hlol 28830 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
4846, 47syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
492, 3atbase 28758 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  B )
5049ad2antrl 708 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
s  e.  B )
512, 14, 40olj01 28694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OL  /\  s  e.  B )  ->  ( s  .\/  ( 0. `  K ) )  =  s )
5248, 50, 51syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( s  .\/  ( 0. `  K ) )  =  s )
5344, 52eqtrd 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  s )
5453eqeq1d 2292 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  <->  s  =  R ) )
5543oveq2d 5836 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( N  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  ( N  .\/  ( 0. `  K ) ) )
56 simpl11 1030 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
57 simpl12 1031 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
58 simpl13 1032 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
59 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )
60 simpl3 960 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  P  =/=  Q )
612, 13, 14, 15, 3, 16, 17, 18, 19, 20, 21, 22cdleme27cl 29834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
) )  ->  N  e.  B )
6256, 57, 58, 59, 60, 61syl122anc 1191 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  N  e.  B )
632, 14, 40olj01 28694 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  OL  /\  N  e.  B )  ->  ( N  .\/  ( 0. `  K ) )  =  N )
6448, 62, 63syl2anc 642 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( N  .\/  ( 0. `  K ) )  =  N )
6555, 64eqtrd 2316 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( N  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  N )
6665eqeq2d 2295 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) )  <-> 
z  =  N ) )
6754, 66imbi12d 311 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  -> 
( ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) )
6867expr 598 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  s  e.  A )  ->  ( -.  s  .<_  W  -> 
( ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  z  =  N ) ) ) )
6968pm5.74d 238 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  s  e.  A )  ->  (
( -.  s  .<_  W  ->  ( ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) )  <->  ( -.  s  .<_  W  ->  (
s  =  R  -> 
z  =  N ) ) ) )
70 impexp 433 . . . . . . 7  |-  ( ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( -.  s  .<_  W  ->  ( (
s  .\/  ( R  ./\ 
W ) )  =  R  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) ) ) )
71 bi2.04 350 . . . . . . 7  |-  ( ( s  =  R  -> 
( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) )  <->  ( -.  s  .<_  W  ->  (
s  =  R  -> 
z  =  N ) ) )
7269, 70, 713bitr4g 279 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  s  e.  A )  ->  (
( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) ) ) )
7372ralbidva 2560 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( A. s  e.  A  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  A. s  e.  A  ( s  =  R  ->  ( -.  s  .<_  W  ->  z  =  N ) ) ) )
74 simp2r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  -.  R  .<_  W )
75 biimt 325 . . . . . 6  |-  ( -.  R  .<_  W  ->  ( z  =  [_ R  /  s ]_ N  <->  ( -.  R  .<_  W  -> 
z  =  [_ R  /  s ]_ N
) ) )
7674, 75syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( z  =  [_ R  /  s ]_ N  <->  ( -.  R  .<_  W  ->  z  =  [_ R  /  s ]_ N ) ) )
7738, 73, 763bitr4d 276 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( A. s  e.  A  (
( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) )
7877adantr 451 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  /\  z  e.  B )  ->  ( A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  ->  z  =  ( N  .\/  ( R 
./\  W ) ) )  <->  z  =  [_ R  /  s ]_ N
) )
7924, 78riota5 6326 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s  .\/  ( R  ./\  W ) )  =  R )  -> 
z  =  ( N 
.\/  ( R  ./\  W ) ) ) )  =  [_ R  / 
s ]_ N )
809, 79eqtrd 2316 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  P  =/=  Q
)  ->  [_ R  /  x ]_ O  =  [_ R  /  s ]_ N
)
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   A.wal 1527   F/wnf 1531    = wceq 1623    e. wcel 1685    =/= wne 2447   A.wral 2544   [_csb 3082   ifcif 3566   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   iota_crio 6291   Basecbs 13144   lecple 13211   joincjn 14074   meetcmee 14075   0.cp0 14139   OLcol 28643   Atomscatm 28732   HLchlt 28819   LHypclh 29452
This theorem is referenced by:  cdleme32fva1  29906
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456
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