Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme32le Unicode version

Theorem cdleme32le 29903
Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. (Contributed by NM, 20-Feb-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme32.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme32.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme32.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme32.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme32.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme32.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme32.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme32.c  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
cdleme32.d  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.e  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme32.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
cdleme32.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
cdleme32.o  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
cdleme32.f  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme32le  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )
Distinct variable groups:    t, s, x, y, z, A    B, s, t, x, y, z   
y, C    D, s,
y, z    y, E    H, s, t    .\/ , s,
t, x, y, z    K, s, t    .<_ , s, t, x, y, z    ./\ , s,
t, x, y, z   
x, N, z    P, s, t, x, y, z    Q, s, t, x, y, z    U, s, t, x, y, z    W, s, t, x, y, z    X, s, t, x, z   
y, H    y, K    y, Y    z, H    z, K    Y, s, t, x, z
Allowed substitution hints:    C( x, z, t, s)    D( x, t)    E( x, z, t, s)    F( x, y, z, t, s)    H( x)    I( x, y, z, t, s)    K( x)    N( y,
t, s)    O( x, y, z, t, s)    X( y)

Proof of Theorem cdleme32le
StepHypRef Expression
1 simpl1 963 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
2 simpl2l 1013 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  X  e.  B
)
3 simpl2r 1014 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B
)
4 simpr 449 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( P  =/= 
Q  /\  -.  X  .<_  W ) )
5 simpl3 965 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  X  .<_  Y )
6 cdleme32.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 cdleme32.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdleme32.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdleme32.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 cdleme32.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 cdleme32.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdleme32.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
13 cdleme32.c . . . 4  |-  C  =  ( ( s  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  s )  ./\  W
) ) )
14 cdleme32.d . . . 4  |-  D  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
15 cdleme32.e . . . 4  |-  E  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
16 cdleme32.i . . . 4  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  E ) )
17 cdleme32.n . . . 4  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  C
)
18 cdleme32.o . . . 4  |-  O  =  ( iota_ z  e.  B A. s  e.  A  ( ( -.  s  .<_  W  /\  ( s 
.\/  ( x  ./\  W ) )  =  x )  ->  z  =  ( N  .\/  ( x 
./\  W ) ) ) )
19 cdleme32.f . . . 4  |-  F  =  ( x  e.  B  |->  if ( ( P  =/=  Q  /\  -.  x  .<_  W ) ,  O ,  x ) )
206, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme32d 29900 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )
211, 2, 3, 4, 5, 20syl131anc 1200 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )
22 simp11 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
23 simp12 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B ) )
24 simp3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )
25 simp2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )
26 simp13 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  X  .<_  Y )
276, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19cdleme32f 29902 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( X  e.  B  /\  Y  e.  B )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  /\  X  .<_  Y )  -> 
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y ) )
2822, 23, 24, 25, 26, 27syl131anc 1200 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )
29283exp 1155 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  -> 
( -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  -> 
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y ) ) ) )
30 simp13 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  X  .<_  Y )
31 simp12l 1073 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  X  e.  B )
32 simp3 962 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )
3319cdleme31fv2 29849 . . . . . . 7  |-  ( ( X  e.  B  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( F `  X )  =  X )
3431, 32, 33syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( F `  X )  =  X )
35 simp12r 1074 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  Y  e.  B )
36 simp2 961 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )
3719cdleme31fv2 29849 . . . . . . 7  |-  ( ( Y  e.  B  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W ) )  ->  ( F `  Y )  =  Y )
3835, 36, 37syl2anc 645 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( F `  Y )  =  Y )
3930, 34, 383brtr4d 4054 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )
40393exp 1155 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  Y  .<_  W )  ->  ( -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  -> 
( F `  X
)  .<_  ( F `  Y ) ) ) )
4129, 40pm2.61d 152 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) ) )
4241imp 420 . 2  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  /\  -.  ( P  =/=  Q  /\  -.  X  .<_  W ) )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )
4321, 42pm2.61dan 769 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( X  e.  B  /\  Y  e.  B
)  /\  X  .<_  Y )  ->  ( F `  X )  .<_  ( F `
 Y ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1628    e. wcel 1688    =/= wne 2447   A.wral 2544   ifcif 3566   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   iota_crio 6290   Basecbs 13142   lecple 13209   joincjn 14072   meetcmee 14073   Atomscatm 28720   HLchlt 28807   LHypclh 29440
This theorem is referenced by:  cdlemeg49le  29967  cdlemeg49lebilem  29995
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444
  Copyright terms: Public domain W3C validator