Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme36m Unicode version

Theorem cdleme36m 30575
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on  P  .\/  Q line. TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 11-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme36.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme36.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme36.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme36.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme36.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme36.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme36.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme36.e  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme36.v  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
cdleme36.f  |-  F  =  ( ( R  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  R )  ./\  W )
) )
cdleme36.c  |-  C  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme36m  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  =  S )

Proof of Theorem cdleme36m
StepHypRef Expression
1 simp11 987 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp3rl 1030 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
3 simp12 988 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
4 simp13 989 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
5 simp21 990 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q
)
6 simp3rr 1031 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7 cdleme36.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdleme36.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdleme36.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 cdleme36.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 cdleme36.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdleme36.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
13 cdleme36.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
147, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3fa 30350 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  E  e.  A )
151, 3, 4, 2, 5, 6, 14syl132anc 1202 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  E  e.  A
)
167, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3 30351 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  E  .<_  W )
171, 3, 4, 2, 5, 6, 16syl132anc 1202 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  E  .<_  W )
1815, 17jca 519 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( E  e.  A  /\  -.  E  .<_  W ) )
19 simp13l 1072 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  Q  e.  A
)
2019, 5jca 519 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  P  =/= 
Q ) )
217, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme3b 30343 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q
)  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) ) )  ->  E  =/=  t
)
221, 3, 20, 2, 21syl13anc 1186 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  E  =/=  t
)
2322necomd 2633 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  t  =/=  E
)
24 simp22 991 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
25 simp23 992 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
26 simp3l1 1062 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
27 simp3r 986 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
28 cdleme36.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
2928, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme36a 30574 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( t  .\/  E ) )
301, 3, 19, 5, 24, 26, 27, 29syl331anc 1209 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  ( t  .\/  E ) )
31 simp3l2 1063 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3228, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13cdleme36a 30574 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( t  .\/  E ) )
331, 3, 19, 5, 25, 31, 27, 32syl331anc 1209 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  S  .<_  ( t  .\/  E ) )
34 simp3l3 1064 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  F  =  C )
35 cdleme36.v . . 3  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
36 cdleme36.f . . 3  |-  F  =  ( ( R  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  R )  ./\  W )
) )
37 cdleme36.c . . 3  |-  C  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )
387, 8, 9, 10, 11, 35, 36, 37cdleme35h 30570 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  ( E  e.  A  /\  -.  E  .<_  W ) )  /\  ( t  =/=  E  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( -.  R  .<_  ( t  .\/  E )  /\  -.  S  .<_  ( t  .\/  E )  /\  F  =  C ) )  ->  R  =  S )
391, 2, 18, 23, 24, 25, 30, 33, 34, 38syl333anc 1216 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  F  =  C )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  R  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    =/= wne 2550   class class class wbr 4153   ` cfv 5394  (class class class)co 6020   Basecbs 13396   lecple 13463   joincjn 14328   meetcmee 14329   Atomscatm 29378   HLchlt 29465   LHypclh 30098
This theorem is referenced by:  cdleme38m  30577
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2368  ax-rep 4261  ax-sep 4271  ax-nul 4279  ax-pow 4318  ax-pr 4344  ax-un 4641
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2242  df-mo 2243  df-clab 2374  df-cleq 2380  df-clel 2383  df-nfc 2512  df-ne 2552  df-nel 2553  df-ral 2654  df-rex 2655  df-reu 2656  df-rab 2658  df-v 2901  df-sbc 3105  df-csb 3195  df-dif 3266  df-un 3268  df-in 3270  df-ss 3277  df-nul 3572  df-if 3683  df-pw 3744  df-sn 3763  df-pr 3764  df-op 3766  df-uni 3958  df-iun 4037  df-iin 4038  df-br 4154  df-opab 4208  df-mpt 4209  df-id 4439  df-xp 4824  df-rel 4825  df-cnv 4826  df-co 4827  df-dm 4828  df-rn 4829  df-res 4830  df-ima 4831  df-iota 5358  df-fun 5396  df-fn 5397  df-f 5398  df-f1 5399  df-fo 5400  df-f1o 5401  df-fv 5402  df-ov 6023  df-oprab 6024  df-mpt2 6025  df-1st 6288  df-2nd 6289  df-undef 6479  df-riota 6485  df-poset 14330  df-plt 14342  df-lub 14358  df-glb 14359  df-join 14360  df-meet 14361  df-p0 14395  df-p1 14396  df-lat 14402  df-clat 14464  df-oposet 29291  df-ol 29293  df-oml 29294  df-covers 29381  df-ats 29382  df-atl 29413  df-cvlat 29437  df-hlat 29466  df-lines 29615  df-psubsp 29617  df-pmap 29618  df-padd 29910  df-lhyp 30102
  Copyright terms: Public domain W3C validator