Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme37m Unicode version

Theorem cdleme37m 30651
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on  P  .\/  Q line. TODO: FIX COMMENT (Contributed by NM, 13-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme37.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme37.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme37.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme37.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme37.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme37.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme37.e  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme37.d  |-  D  =  ( ( u  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  u )  ./\  W
) ) )
cdleme37.v  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
cdleme37.x  |-  X  =  ( ( u  .\/  D )  ./\  W )
cdleme37.c  |-  C  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme37.g  |-  G  =  ( ( S  .\/  X )  ./\  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme37m  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =  G )

Proof of Theorem cdleme37m
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
2 simp23 990 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
3 simp32l 1080 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) )
4 simp33l 1082 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W ) )
5 simp21 988 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
6 simp32r 1081 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )
7 simp33r 1083 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q ) )
8 simp31r 1079 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  .<_  ( P  .\/  Q
) )
96, 7, 83jca 1132 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
10 cdleme37.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 cdleme37.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
12 cdleme37.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
13 cdleme37.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
14 cdleme37.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
15 cdleme37.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
16 cdleme37.e . . . 4  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
17 cdleme37.d . . . 4  |-  D  =  ( ( u  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  u )  ./\  W
) ) )
18 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( S  .\/  t ) 
./\  W )  =  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
)
19 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( S  .\/  u ) 
./\  W )  =  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
)
20 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )
21 eqid 2283 . . . 4  |-  ( ( P  .\/  Q ) 
./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) )
2210, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20, 21cdleme21k 30527 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  (
t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( -.  t  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  u  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) ) )
231, 2, 3, 4, 5, 9, 22syl132anc 1200 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) ) )
24 simp11 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
25 simp12l 1068 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  e.  A )
26 simp13l 1070 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  Q  e.  A )
2710, 11, 12, 13, 14, 15cdleme4 30427 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( S 
.\/  U ) )
2824, 25, 26, 2, 8, 27syl131anc 1195 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( S  .\/  U
) )
29 cdleme37.v . . . . . . 7  |-  V  =  ( ( t  .\/  E )  ./\  W )
3010, 11, 12, 13, 14, 15, 16cdleme2 30417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W ) ) )  ->  ( (
t  .\/  E )  ./\  W )  =  U )
3124, 25, 26, 3, 30syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( t  .\/  E
)  ./\  W )  =  U )
3229, 31syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  V  =  U )
3332oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  .\/  V )  =  ( S  .\/  U
) )
3428, 33eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( S  .\/  V
) )
35 simp11l 1066 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  K  e.  HL )
36 simp23l 1076 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  S  e.  A )
373simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  t  e.  A )
3811, 13hlatjcom 29557 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  t  e.  A )  ->  ( S  .\/  t
)  =  ( t 
.\/  S ) )
3935, 36, 37, 38syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  .\/  t )  =  ( t  .\/  S
) )
4039oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( S  .\/  t
)  ./\  W )  =  ( ( t 
.\/  S )  ./\  W ) )
4140oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( E  .\/  ( ( S 
.\/  t )  ./\  W ) )  =  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S ) 
./\  W ) ) )
4234, 41oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t )  ./\  W
) ) )  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
43 cdleme37.c . . 3  |-  C  =  ( ( S  .\/  V )  ./\  ( E  .\/  ( ( t  .\/  S )  ./\  W )
) )
4442, 43syl6reqr 2334 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( S  .\/  t ) 
./\  W ) ) ) )
45 cdleme37.x . . . . . . 7  |-  X  =  ( ( u  .\/  D )  ./\  W )
4610, 11, 12, 13, 14, 15, 17cdleme2 30417 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W ) ) )  ->  ( (
u  .\/  D )  ./\  W )  =  U )
4724, 25, 26, 4, 46syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( u  .\/  D
)  ./\  W )  =  U )
4845, 47syl5eq 2327 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  X  =  U )
4948oveq2d 5874 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  .\/  X )  =  ( S  .\/  U
) )
5028, 49eqtr4d 2318 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( S  .\/  X
) )
514simpld 445 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  u  e.  A )
5211, 13hlatjcom 29557 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  S  e.  A  /\  u  e.  A )  ->  ( S  .\/  u
)  =  ( u 
.\/  S ) )
5335, 36, 51, 52syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( S  .\/  u )  =  ( u  .\/  S
) )
5453oveq1d 5873 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( S  .\/  u
)  ./\  W )  =  ( ( u 
.\/  S )  ./\  W ) )
5554oveq2d 5874 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( D  .\/  ( ( S 
.\/  u )  ./\  W ) )  =  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S ) 
./\  W ) ) )
5650, 55oveq12d 5876 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u )  ./\  W
) ) )  =  ( ( S  .\/  X )  ./\  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
57 cdleme37.g . . 3  |-  G  =  ( ( S  .\/  X )  ./\  ( D  .\/  ( ( u  .\/  S )  ./\  W )
) )
5856, 57syl6reqr 2334 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  G  =  ( ( P 
.\/  Q )  ./\  ( D  .\/  ( ( S  .\/  u ) 
./\  W ) ) ) )
5923, 44, 583eqtr4d 2325 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  /\  ( ( u  e.  A  /\  -.  u  .<_  W )  /\  -.  u  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173
This theorem is referenced by:  cdleme38m  30652
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177
  Copyright terms: Public domain W3C validator