Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme40m Unicode version

Theorem cdleme40m 30995
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Show that f(x) is one-to-one on  P  .\/  Q line. TODO: FIX COMMENT Use proof idea from cdleme32sn1awN 30960. (Contributed by NM, 18-Mar-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme40.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdleme40.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme40.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme40.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme40.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme40.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme40.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme40.e  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme40.g  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme40.i  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  G ) )
cdleme40.n  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  D
)
cdleme40a1.y  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
cdleme40a1.c  |-  C  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
cdleme40.t  |-  T  =  ( ( v  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  v )  ./\  W
) ) )
cdleme40.f  |-  F  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( T  .\/  ( ( S  .\/  v )  ./\  W
) ) )
Assertion
Ref Expression
cdleme40m  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  F )
Distinct variable groups:    v, A    v, B    v, H    v,  .\/    v, K    v,  .<_    v,  ./\    v, P    v, Q    v, R    v, U    v, W, s, t, y    A, s   
y, t, A    B, s, t, y    E, s   
t, F    t, H, y    .\/ , s, t, y   
t, K, y    .<_ , s, t, y    ./\ , s,
t, y    P, s,
t, y    Q, s,
t, y    R, s,
t, y    t, U, y    W, s, t, y   
y, Y    t, S, v, y    T, s, t, y
Allowed substitution hints:    C( y, v, t, s)    D( y, v, t, s)    S( s)    T( v)    U( s)    E( y, v, t)    F( y, v, s)    G( y, v, t, s)    H( s)    I( y, v, t, s)    K( s)    N( y, v, t, s)    Y( v, t, s)

Proof of Theorem cdleme40m
StepHypRef Expression
1 simp22l 1076 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  e.  A )
2 simp3l1 1062 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )
3 cdleme40.g . . . 4  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( s  .\/  t )  ./\  W
) ) )
4 cdleme40.i . . . 4  |-  I  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  G ) )
5 cdleme40.n . . . 4  |-  N  =  if ( s  .<_  ( P  .\/  Q ) ,  I ,  D
)
6 cdleme40a1.y . . . 4  |-  Y  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( E  .\/  ( ( R  .\/  t )  ./\  W
) ) )
7 cdleme40a1.c . . . 4  |-  C  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
83, 4, 5, 6, 7cdleme31sn1c 30916 . . 3  |-  ( ( R  e.  A  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =  C )
91, 2, 8syl2anc 643 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =  C )
10 cdleme40.b . . . 4  |-  B  =  ( Base `  K
)
11 fvex 5728 . . . 4  |-  ( Base `  K )  e.  _V
1210, 11eqeltri 2500 . . 3  |-  B  e. 
_V
13 nfv 1629 . . . 4  |-  F/ t ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )
14 nfra1 2743 . . . . . . . 8  |-  F/ t A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y )
15 nfcv 2566 . . . . . . . 8  |-  F/_ t B
1614, 15nfriota 6545 . . . . . . 7  |-  F/_ t
( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  y  =  Y ) )
177, 16nfcxfr 2563 . . . . . 6  |-  F/_ t C
18 nfcv 2566 . . . . . 6  |-  F/_ t F
1917, 18nfne 2684 . . . . 5  |-  F/ t  C  =/=  F
2019a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  F/ t  C  =/=  F
)
217a1i 11 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =  ( iota_ y  e.  B A. t  e.  A  ( ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  y  =  Y ) ) )
22 neeq1 2601 . . . . 5  |-  ( Y  =  C  ->  ( Y  =/=  F  <->  C  =/=  F ) )
2322adantl 453 . . . 4  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  Y  =  C )  ->  ( Y  =/=  F  <->  C  =/=  F ) )
24 simpl1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
25 simpl2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) ) )
26 simpl3l 1012 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  S  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  R  =/= 
S ) )
27 simprl 733 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
t  e.  A )
28 simprrl 741 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  W )
29 simprrr 742 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  -.  t  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3027, 28, 29jca31 521 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
31 simp3r1 1065 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  v  e.  A )
32 simp3r2 1066 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  v  .<_  W )
33 simp3r3 1067 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) )
3431, 32, 33jca31 521 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W )  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
3534adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  -> 
( ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W )  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
36 cdleme40.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
37 cdleme40.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
38 cdleme40.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
39 cdleme40.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
40 cdleme40.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41 cdleme40.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
42 cdleme40.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( t  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  t )  ./\  W
) ) )
43 cdleme40.t . . . . . . 7  |-  T  =  ( ( v  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  v )  ./\  W
) ) )
44 cdleme40.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( T  .\/  ( ( S  .\/  v )  ./\  W
) ) )
4536, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 6, 43, 44cdleme39n 30994 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( ( t  e.  A  /\  -.  t  .<_  W )  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) )  /\  (
( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W )  /\  -.  v  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  Y  =/=  F )
4624, 25, 26, 30, 35, 45syl113anc 1196 . . . . 5  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  (
t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) ) )  ->  Y  =/=  F )
4746ex 424 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( t  e.  A  /\  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Y  =/=  F ) )
48 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  (
( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) ) )
49 simp22r 1077 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
50 simp21 990 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  P  =/=  Q )
5110, 36, 37, 38, 39, 40, 41, 42, 6, 7cdleme25cl 30885 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( P  =/= 
Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  C  e.  B )
5248, 1, 49, 50, 2, 51syl122anc 1193 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  e.  B )
53 simp11 987 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
54 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
55 simp13 989 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
5636, 37, 39, 40cdlemb2 30569 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  P  =/= 
Q )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
5753, 54, 55, 50, 56syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  E. t  e.  A  ( -.  t  .<_  W  /\  -.  t  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )
5813, 20, 21, 23, 47, 52, 57riotasv3d 6584 . . 3  |-  ( ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  /\  B  e.  _V )  ->  C  =/=  F )
5912, 58mpan2 653 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  C  =/=  F )
609, 59eqnetrd 2611 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( ( R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  =/=  S )  /\  ( v  e.  A  /\  -.  v  .<_  W  /\  -.  v  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) ) )  ->  [_ R  /  s ]_ N  =/=  F )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   F/wnf 1553    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593   A.wral 2692   E.wrex 2693   _Vcvv 2943   [_csb 3238   ifcif 3726   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   iota_crio 6528   Basecbs 13452   lecple 13519   joincjn 14384   meetcmee 14385   Atomscatm 29792   HLchlt 29879   LHypclh 30512
This theorem is referenced by:  cdleme40n  30996
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-undef 6529  df-riota 6535  df-poset 14386  df-plt 14398  df-lub 14414  df-glb 14415  df-join 14416  df-meet 14417  df-p0 14451  df-p1 14452  df-lat 14458  df-clat 14520  df-oposet 29705  df-ol 29707  df-oml 29708  df-covers 29795  df-ats 29796  df-atl 29827  df-cvlat 29851  df-hlat 29880  df-llines 30026  df-lplanes 30027  df-lvols 30028  df-lines 30029  df-psubsp 30031  df-pmap 30032  df-padd 30324  df-lhyp 30516
  Copyright terms: Public domain W3C validator