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Theorem cdleme5 29679
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113.  G represents fs(r). We show r  \/ fs(r)) = p  \/ q at the top of p. 114. (Contributed by NM, 7-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme4.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme4.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme4.g  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  G
)  =  ( P 
.\/  Q ) )

Proof of Theorem cdleme5
StepHypRef Expression
1 cdleme4.g . . 3  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
21oveq2i 5803 . 2  |-  ( R 
.\/  G )  =  ( R  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
3 simp1l 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 simp23l 1081 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  e.  A )
5 simp21 993 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
6 simp22 994 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  A )
7 eqid 2258 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 cdleme4.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdleme4.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
107, 8, 9hlatjcl 28806 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
113, 5, 6, 10syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
12 hllat 28803 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
133, 12syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  Lat )
14 simp1 960 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 simp3ll 1031 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  S  e.  A )
16 cdleme4.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
17 cdleme4.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
18 cdleme4.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
19 cdleme4.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
20 cdleme4.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
2116, 8, 17, 9, 18, 19, 20, 7cdleme1b 29665 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
2214, 5, 6, 15, 21syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
237, 8, 9hlatjcl 28806 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
243, 4, 15, 23syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
25 simp1r 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  W  e.  H )
267, 18lhpbase 29437 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2725, 26syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
287, 17latmcl 14120 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
2913, 24, 27, 28syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
307, 8latjcl 14119 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)
3113, 22, 29, 30syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
32 simp3r 989 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
337, 16, 8, 17, 9atmod3i1 29303 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( R  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) ) ) )
343, 4, 11, 31, 32, 33syl131anc 1200 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) ) ) )
357, 9atbase 28729 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
3615, 35syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
377, 16, 8latlej2 14130 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( S  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
3813, 36, 11, 37syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<_  ( S  .\/  ( P  .\/  Q ) ) )
397, 9atbase 28729 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
404, 39syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K ) )
417, 8latj12 14165 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  S ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  S ) ) )
4213, 40, 22, 36, 41syl13anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  S ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  S ) ) )
4316, 8, 17, 9, 18, 19, 7cdleme0aa 29649 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
4414, 5, 6, 43syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  U  e.  ( Base `  K ) )
457, 8latj12 14165 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( S  .\/  ( R  .\/  U ) )  =  ( R  .\/  ( S  .\/  U ) ) )
4613, 36, 40, 44, 45syl13anc 1189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( R  .\/  U ) )  =  ( R  .\/  ( S  .\/  U ) ) )
4716, 8, 17, 9, 18, 19cdleme4 29677 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( R 
.\/  U ) )
48473adant3l 1183 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  =  ( R 
.\/  U ) )
4948oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( S  .\/  ( R  .\/  U ) ) )
507, 8latjcom 14128 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  S )  =  ( S  .\/  F
) )
5113, 22, 36, 50syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  S
)  =  ( S 
.\/  F ) )
52 simp3l 988 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
5316, 8, 17, 9, 18, 19, 20cdleme1 29666 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) ) )  ->  ( S  .\/  F )  =  ( S  .\/  U ) )
5414, 5, 6, 52, 53syl13anc 1189 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  F
)  =  ( S 
.\/  U ) )
5551, 54eqtrd 2290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  S
)  =  ( S 
.\/  U ) )
5655oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  S ) )  =  ( R  .\/  ( S  .\/  U ) ) )
5746, 49, 563eqtr4d 2300 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  S ) ) )
5816, 8, 9hlatlej1 28814 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  R  .<_  ( R  .\/  S ) )
593, 4, 15, 58syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( R  .\/  S ) )
607, 16, 8, 17, 9atmod3i1 29303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  R  .<_  ( R  .\/  S
) )  ->  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( ( R  .\/  S
)  ./\  ( R  .\/  W ) ) )
613, 4, 24, 27, 59, 60syl131anc 1200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
)  =  ( ( R  .\/  S ) 
./\  ( R  .\/  W ) ) )
62 simp23r 1082 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
63 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
6416, 8, 63, 9, 18lhpjat2 29460 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  -> 
( R  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
6514, 4, 62, 64syl12anc 1185 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
6665oveq2d 5808 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( R  .\/  W ) )  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  ( 1. `  K ) ) )
67 hlol 28801 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
683, 67syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  OL )
697, 17, 63olm11 28667 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R  .\/  S
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( R  .\/  S
) )
7068, 24, 69syl2anc 645 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( R  .\/  S
) )
7166, 70eqtrd 2290 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( R  .\/  W ) )  =  ( R  .\/  S
) )
7261, 71eqtrd 2290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
)  =  ( R 
.\/  S ) )
7372oveq2d 5808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  S ) ) )
7442, 57, 733eqtr4d 2300 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
757, 8latj12 14165 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )
7613, 22, 40, 29, 75syl13anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )
7774, 76eqtrd 2290 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
7838, 77breqtrd 4021 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<_  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
797, 8latjcl 14119 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
8013, 40, 31, 79syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  e.  ( Base `  K
) )
817, 16, 17latleeqm1 14148 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  ( R  .\/  ( F 
.\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F 
.\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
8213, 11, 80, 81syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .<_  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F 
.\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
8378, 82mpbid 203 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
8434, 83eqtrd 2290 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
852, 84syl5eq 2302 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  G
)  =  ( P 
.\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Basecbs 13111   lecple 13178   joincjn 14041   meetcmee 14042   1.cp1 14107   Latclat 14114   OLcol 28614   Atomscatm 28703   HLchlt 28790   LHypclh 29423
This theorem is referenced by:  cdleme6  29680  cdleme7e  29686  cdleme18b  29731  cdleme50trn2a  29989
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-p1 14109  df-lat 14115  df-clat 14177  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-psubsp 28942  df-pmap 28943  df-padd 29235  df-lhyp 29427
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