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Theorem cdleme5 30502
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113.  G represents fs(r). We show r  \/ fs(r)) = p  \/ q at the top of p. 114. (Contributed by NM, 7-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme4.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme4.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme4.g  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  G
)  =  ( P 
.\/  Q ) )

Proof of Theorem cdleme5
StepHypRef Expression
1 cdleme4.g . . 3  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
21oveq2i 5871 . 2  |-  ( R 
.\/  G )  =  ( R  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
3 simp1l 979 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 simp23l 1076 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  e.  A )
5 simp21 988 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
6 simp22 989 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  A )
7 eqid 2285 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 cdleme4.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdleme4.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
107, 8, 9hlatjcl 29629 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
113, 5, 6, 10syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
12 hllat 29626 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
133, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  Lat )
14 simp1 955 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 simp3ll 1026 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  S  e.  A )
16 cdleme4.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
17 cdleme4.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
18 cdleme4.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
19 cdleme4.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
20 cdleme4.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
2116, 8, 17, 9, 18, 19, 20, 7cdleme1b 30488 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
2214, 5, 6, 15, 21syl13anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
237, 8, 9hlatjcl 29629 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
243, 4, 15, 23syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
25 simp1r 980 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  W  e.  H )
267, 18lhpbase 30260 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2725, 26syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
287, 17latmcl 14159 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
2913, 24, 27, 28syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
307, 8latjcl 14158 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)
3113, 22, 29, 30syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
32 simp3r 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
337, 16, 8, 17, 9atmod3i1 30126 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( R  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) ) ) )
343, 4, 11, 31, 32, 33syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) ) ) )
357, 9atbase 29552 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
3615, 35syl 15 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
377, 16, 8latlej2 14169 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( S  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
3813, 36, 11, 37syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<_  ( S  .\/  ( P  .\/  Q ) ) )
397, 9atbase 29552 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
404, 39syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K ) )
417, 8latj12 14204 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  S ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  S ) ) )
4213, 40, 22, 36, 41syl13anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  S ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  S ) ) )
4316, 8, 17, 9, 18, 19, 7cdleme0aa 30472 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
4414, 5, 6, 43syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  U  e.  ( Base `  K ) )
457, 8latj12 14204 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( S  .\/  ( R  .\/  U ) )  =  ( R  .\/  ( S  .\/  U ) ) )
4613, 36, 40, 44, 45syl13anc 1184 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( R  .\/  U ) )  =  ( R  .\/  ( S  .\/  U ) ) )
4716, 8, 17, 9, 18, 19cdleme4 30500 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( R 
.\/  U ) )
48473adant3l 1178 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  =  ( R 
.\/  U ) )
4948oveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( S  .\/  ( R  .\/  U ) ) )
507, 8latjcom 14167 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  S )  =  ( S  .\/  F
) )
5113, 22, 36, 50syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  S
)  =  ( S 
.\/  F ) )
52 simp3l 983 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
5316, 8, 17, 9, 18, 19, 20cdleme1 30489 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) ) )  ->  ( S  .\/  F )  =  ( S  .\/  U ) )
5414, 5, 6, 52, 53syl13anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  F
)  =  ( S 
.\/  U ) )
5551, 54eqtrd 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  S
)  =  ( S 
.\/  U ) )
5655oveq2d 5876 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  S ) )  =  ( R  .\/  ( S  .\/  U ) ) )
5746, 49, 563eqtr4d 2327 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  S ) ) )
5816, 8, 9hlatlej1 29637 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  R  .<_  ( R  .\/  S ) )
593, 4, 15, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( R  .\/  S ) )
607, 16, 8, 17, 9atmod3i1 30126 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  R  .<_  ( R  .\/  S
) )  ->  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( ( R  .\/  S
)  ./\  ( R  .\/  W ) ) )
613, 4, 24, 27, 59, 60syl131anc 1195 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
)  =  ( ( R  .\/  S ) 
./\  ( R  .\/  W ) ) )
62 simp23r 1077 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
63 eqid 2285 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
6416, 8, 63, 9, 18lhpjat2 30283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  -> 
( R  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
6514, 4, 62, 64syl12anc 1180 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
6665oveq2d 5876 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( R  .\/  W ) )  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  ( 1. `  K ) ) )
67 hlol 29624 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
683, 67syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  OL )
697, 17, 63olm11 29490 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R  .\/  S
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( R  .\/  S
) )
7068, 24, 69syl2anc 642 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( R  .\/  S
) )
7166, 70eqtrd 2317 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( R  .\/  W ) )  =  ( R  .\/  S
) )
7261, 71eqtrd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
)  =  ( R 
.\/  S ) )
7372oveq2d 5876 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  S ) ) )
7442, 57, 733eqtr4d 2327 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
757, 8latj12 14204 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )
7613, 22, 40, 29, 75syl13anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )
7774, 76eqtrd 2317 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
7838, 77breqtrd 4049 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<_  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
797, 8latjcl 14158 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
8013, 40, 31, 79syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  e.  ( Base `  K
) )
817, 16, 17latleeqm1 14187 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  ( R  .\/  ( F 
.\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F 
.\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
8213, 11, 80, 81syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .<_  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F 
.\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
8378, 82mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
8434, 83eqtrd 2317 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
852, 84syl5eq 2329 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  G
)  =  ( P 
.\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1625    e. wcel 1686   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Basecbs 13150   lecple 13217   joincjn 14080   meetcmee 14081   1.cp1 14146   Latclat 14153   OLcol 29437   Atomscatm 29526   HLchlt 29613   LHypclh 30246
This theorem is referenced by:  cdleme6  30503  cdleme7e  30509  cdleme18b  30554  cdleme50trn2a  30812
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-op 3651  df-uni 3830  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-id 4311  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-undef 6300  df-riota 6306  df-poset 14082  df-plt 14094  df-lub 14110  df-glb 14111  df-join 14112  df-meet 14113  df-p0 14147  df-p1 14148  df-lat 14154  df-clat 14216  df-oposet 29439  df-ol 29441  df-oml 29442  df-covers 29529  df-ats 29530  df-atl 29561  df-cvlat 29585  df-hlat 29614  df-psubsp 29765  df-pmap 29766  df-padd 30058  df-lhyp 30250
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