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Theorem cdleme5 30768
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113.  G represents fs(r). We show r  \/ fs(r)) = p  \/ q at the top of p. 114. (Contributed by NM, 7-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme4.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme4.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme4.g  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
Assertion
Ref Expression
cdleme5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  G
)  =  ( P 
.\/  Q ) )

Proof of Theorem cdleme5
StepHypRef Expression
1 cdleme4.g . . 3  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
21oveq2i 6078 . 2  |-  ( R 
.\/  G )  =  ( R  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )
3 simp1l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 simp23l 1078 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  e.  A )
5 simp21 990 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  P  e.  A )
6 simp22 991 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  Q  e.  A )
7 eqid 2430 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 cdleme4.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdleme4.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
107, 8, 9hlatjcl 29895 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
113, 5, 6, 10syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
12 hllat 29892 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
133, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  Lat )
14 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
15 simp3ll 1028 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  S  e.  A )
16 cdleme4.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
17 cdleme4.m . . . . . . 7  |-  ./\  =  ( meet `  K )
18 cdleme4.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
19 cdleme4.u . . . . . . 7  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
20 cdleme4.f . . . . . . 7  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
2116, 8, 17, 9, 18, 19, 20, 7cdleme1b 30754 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  S  e.  A ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
2214, 5, 6, 15, 21syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
237, 8, 9hlatjcl 29895 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
243, 4, 15, 23syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
25 simp1r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  W  e.  H )
267, 18lhpbase 30526 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
287, 17latmcl 14463 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  e.  ( Base `  K ) )
2913, 24, 27, 28syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )
307, 8latjcl 14462 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)
3113, 22, 29, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
)  e.  ( Base `  K ) )
32 simp3r 986 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
337, 16, 8, 17, 9atmod3i1 30392 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K )  /\  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( R  .\/  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) ) ) )
343, 4, 11, 31, 32, 33syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) ) ) )
357, 9atbase 29818 . . . . . . 7  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
3615, 35syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
377, 16, 8latlej2 14473 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  Q )  .<_  ( S  .\/  ( P 
.\/  Q ) ) )
3813, 36, 11, 37syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<_  ( S  .\/  ( P  .\/  Q ) ) )
397, 9atbase 29818 . . . . . . . . 9  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
404, 39syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K ) )
417, 8latj12 14508 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  e.  ( Base `  K )  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  S ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  S ) ) )
4213, 40, 22, 36, 41syl13anc 1186 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  S ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  S ) ) )
4316, 8, 17, 9, 18, 19, 7cdleme0aa 30738 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A
)  ->  U  e.  ( Base `  K )
)
4414, 5, 6, 43syl3anc 1184 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  U  e.  ( Base `  K ) )
457, 8latj12 14508 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( S  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  U  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( S  .\/  ( R  .\/  U ) )  =  ( R  .\/  ( S  .\/  U ) ) )
4613, 36, 40, 44, 45syl13anc 1186 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( R  .\/  U ) )  =  ( R  .\/  ( S  .\/  U ) ) )
4716, 8, 17, 9, 18, 19cdleme4 30766 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  =  ( R 
.\/  U ) )
48473adant3l 1180 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  =  ( R 
.\/  U ) )
4948oveq2d 6083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( S  .\/  ( R  .\/  U ) ) )
507, 8latjcom 14471 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  F  e.  ( Base `  K )  /\  S  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( F  .\/  S )  =  ( S  .\/  F
) )
5113, 22, 36, 50syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  S
)  =  ( S 
.\/  F ) )
52 simp3l 985 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
5316, 8, 17, 9, 18, 19, 20cdleme1 30755 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) ) )  ->  ( S  .\/  F )  =  ( S  .\/  U ) )
5414, 5, 6, 52, 53syl13anc 1186 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  F
)  =  ( S 
.\/  U ) )
5551, 54eqtrd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  S
)  =  ( S 
.\/  U ) )
5655oveq2d 6083 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  S ) )  =  ( R  .\/  ( S  .\/  U ) ) )
5746, 49, 563eqtr4d 2472 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  S ) ) )
5816, 8, 9hlatlej1 29903 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  R  .<_  ( R  .\/  S ) )
593, 4, 15, 58syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  R  .<_  ( R  .\/  S ) )
607, 16, 8, 17, 9atmod3i1 30392 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) )  /\  R  .<_  ( R  .\/  S
) )  ->  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  =  ( ( R  .\/  S
)  ./\  ( R  .\/  W ) ) )
613, 4, 24, 27, 59, 60syl131anc 1197 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
)  =  ( ( R  .\/  S ) 
./\  ( R  .\/  W ) ) )
62 simp23r 1079 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
63 eqid 2430 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
6416, 8, 63, 9, 18lhpjat2 30549 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  -> 
( R  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
6514, 4, 62, 64syl12anc 1182 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
6665oveq2d 6083 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( R  .\/  W ) )  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  ( 1. `  K ) ) )
67 hlol 29890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
683, 67syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  K  e.  OL )
697, 17, 63olm11 29756 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( R  .\/  S
)  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( R  .\/  S
) )
7068, 24, 69syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( R  .\/  S
) )
7166, 70eqtrd 2462 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( R  .\/  W ) )  =  ( R  .\/  S
) )
7261, 71eqtrd 2462 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
)  =  ( R 
.\/  S ) )
7372oveq2d 6083 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  S ) ) )
7442, 57, 733eqtr4d 2472 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
757, 8latj12 14508 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  ( Base `  K )  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )
7613, 22, 40, 29, 75syl13anc 1186 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( F  .\/  ( R  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )
7774, 76eqtrd 2462 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( S  .\/  ( P  .\/  Q ) )  =  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
7838, 77breqtrd 4223 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  .<_  ( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S ) 
./\  W ) ) ) )
797, 8latjcl 14462 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  R  e.  ( Base `  K )  /\  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)
8013, 40, 31, 79syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  ( F  .\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  e.  ( Base `  K
) )
817, 16, 17latleeqm1 14491 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  .<_  ( R  .\/  ( F 
.\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F 
.\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
8213, 11, 80, 81syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  .<_  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) )  <->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F 
.\/  ( ( R 
.\/  S )  ./\  W ) ) ) )  =  ( P  .\/  Q ) ) )
8378, 82mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( R  .\/  ( F  .\/  (
( R  .\/  S
)  ./\  W )
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
8434, 83eqtrd 2462 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  (
( P  .\/  Q
)  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) ) )  =  ( P  .\/  Q
) )
852, 84syl5eq 2474 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  -> 
( R  .\/  G
)  =  ( P 
.\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   class class class wbr 4199   ` cfv 5440  (class class class)co 6067   Basecbs 13452   lecple 13519   joincjn 14384   meetcmee 14385   1.cp1 14450   Latclat 14457   OLcol 29703   Atomscatm 29792   HLchlt 29879   LHypclh 30512
This theorem is referenced by:  cdleme6  30769  cdleme7e  30775  cdleme18b  30820  cdleme50trn2a  31078
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-op 3810  df-uni 4003  df-iun 4082  df-iin 4083  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-id 4485  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-undef 6529  df-riota 6535  df-poset 14386  df-plt 14398  df-lub 14414  df-glb 14415  df-join 14416  df-meet 14417  df-p0 14451  df-p1 14452  df-lat 14458  df-clat 14520  df-oposet 29705  df-ol 29707  df-oml 29708  df-covers 29795  df-ats 29796  df-atl 29827  df-cvlat 29851  df-hlat 29880  df-psubsp 30031  df-pmap 30032  df-padd 30324  df-lhyp 30516
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