Theorem cdleme50f1o 29985

Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemef50.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemef50.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemef50.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemef50.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemef50.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemef50.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemef50.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdlemef50.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemefs50.e	|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemef50.f	|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme50f1o	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   t, s, x, y, z, ./\   .\/ , s, t, x, y, z   .<_ , s, t, x, y, z   A, s, t, x, y, z   B, s, t, x, y, z   D, s, x, y, z   x, E, y, z   H, s, t, x, y, z   K, s, t, x, y, z   P, s, t, x, y, z   Q, s, t, x, y, z   U, s, t, x, y, z   W, s, t, x, y, z

Allowed substitution hints:   D( t)   E( t, s)   F( x, y, z, t, s)

Proof of Theorem cdleme50f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef50.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		cdlemef50.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemef50.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemef50.m	. . 3 |- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemef50.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemef50.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemef50.u	. . 3 |- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdlemef50.d	. . 3 |- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9		cdlemefs50.e	. . 3 |- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemef50.f	. . 3 |- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme50f1 29982	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-> B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme50rn 29984	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ran F = B )
13		dff1o5 5419	. 2 |- ( F : B -1-1-onto-> B <-> ( F : B -1-1-> B /\ ran F = B ) )
14	11, 12, 13	sylanbrc 648	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 5   -> wi 6   /\ wa 360   /\ w3a 939   = wceq 1619   e. wcel 1621   =/= wne 2421   A.wral 2518   [_csb 3056   ifcif 3539   class class class wbr 3997   e. cmpt 4051   ran crn 4662   -1-1->wf1 4670   -1-1-onto->wf1o 4672   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   iota_crio 6263   Basecbs 13111   lecple 13178   joincjn 14041   meetcmee 14042   Atomscatm 28703   HLchlt 28790   LHypclh 29423

This theorem is referenced by:  cdleme50laut  29986  cdleme51finvfvN  29994  cdleme51finvN  29995

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-p1 14109  df-lat 14115  df-clat 14177  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-llines 28937  df-lplanes 28938  df-lvols 28939  df-lines 28940  df-psubsp 28942  df-pmap 28943  df-padd 29235  df-lhyp 29427