Theorem cdleme50f1o 31032

Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemef50.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemef50.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemef50.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemef50.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemef50.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemef50.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemef50.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdlemef50.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemefs50.e	|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemef50.f	|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme50f1o	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   t, s, x, y, z, ./\   .\/ , s, t, x, y, z   .<_ , s, t, x, y, z   A, s, t, x, y, z   B, s, t, x, y, z   D, s, x, y, z   x, E, y, z   H, s, t, x, y, z   K, s, t, x, y, z   P, s, t, x, y, z   Q, s, t, x, y, z   U, s, t, x, y, z   W, s, t, x, y, z

Allowed substitution hints:   D( t)   E( t, s)   F( x, y, z, t, s)

Proof of Theorem cdleme50f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef50.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		cdlemef50.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemef50.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemef50.m	. . 3 |- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemef50.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemef50.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemef50.u	. . 3 |- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdlemef50.d	. . 3 |- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9		cdlemefs50.e	. . 3 |- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemef50.f	. . 3 |- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme50f1 31029	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-> B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme50rn 31031	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ran F = B )
13		dff1o5 5646	. 2 |- ( F : B -1-1-onto-> B <-> ( F : B -1-1-> B /\ ran F = B ) )
14	11, 12, 13	sylanbrc 646	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   =/= wne 2571   A.wral 2670   [_csb 3215   ifcif 3703   class class class wbr 4176   e. cmpt 4230   ran crn 4842   -1-1->wf1 5414   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   iota_crio 6505   Basecbs 13428   lecple 13495   joincjn 14360   meetcmee 14361   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LHypclh 30470

This theorem is referenced by:  cdleme50laut  31033  cdleme51finvfvN  31041  cdleme51finvN  31042

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474