Theorem cdleme50f1o 30014

Description: Part of proof of Lemma D in [Crawley] p. 113. TODO: fix comment. (Contributed by NM, 9-Apr-2013.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemef50.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemef50.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemef50.j	|- .\/ = ( join ` K )
cdlemef50.m	|- ./\ = ( meet ` K )
cdlemef50.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemef50.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemef50.u	|- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
cdlemef50.d	|- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemefs50.e	|- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
cdlemef50.f	|- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )

Assertion

Ref	Expression
cdleme50f1o	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Distinct variable groups:   t, s, x, y, z, ./\   .\/ , s, t, x, y, z   .<_ , s, t, x, y, z   A, s, t, x, y, z   B, s, t, x, y, z   D, s, x, y, z   x, E, y, z   H, s, t, x, y, z   K, s, t, x, y, z   P, s, t, x, y, z   Q, s, t, x, y, z   U, s, t, x, y, z   W, s, t, x, y, z

Allowed substitution hints:   D( t)   E( t, s)   F( x, y, z, t, s)

Proof of Theorem cdleme50f1o

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemef50.b	. . 3 |- B = ( Base ` K )
2		cdlemef50.l	. . 3 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemef50.j	. . 3 |- .\/ = ( join ` K )
4		cdlemef50.m	. . 3 |- ./\ = ( meet ` K )
5		cdlemef50.a	. . 3 |- A = ( Atoms ` K )
6		cdlemef50.h	. . 3 |- H = ( LHyp ` K )
7		cdlemef50.u	. . 3 |- U = ( ( P .\/ Q ) ./\ W )
8		cdlemef50.d	. . 3 |- D = ( ( t .\/ U ) ./\ ( Q .\/ ( ( P .\/ t ) ./\ W ) ) )
9		cdlemefs50.e	. . 3 |- E = ( ( P .\/ Q ) ./\ ( D .\/ ( ( s .\/ t ) ./\ W ) ) )
10		cdlemef50.f	. . 3 |- F = ( x e. B |-> if ( ( P =/= Q /\ -. x .<_ W ) , ( iota_ z e. B A. s e. A ( ( -. s .<_ W /\ ( s .\/ ( x ./\ W ) ) = x ) -> z = ( if ( s .<_ ( P .\/ Q ) , ( iota_ y e. B A. t e. A ( ( -. t .<_ W /\ -. t .<_ ( P .\/ Q ) ) -> y = E ) ) , [_ s / t ]_ D ) .\/ ( x ./\ W ) ) ) ) , x ) )
11	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme50f1 30011	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-> B )
12	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10	cdleme50rn 30013	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> ran F = B )
13		dff1o5 5447	. 2 |- ( F : B -1-1-onto-> B <-> ( F : B -1-1-> B /\ ran F = B ) )
14	11, 12, 13	sylanbrc 645	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F : B -1-1-onto-> B )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1623   e. wcel 1685   =/= wne 2447   A.wral 2544   [_csb 3082   ifcif 3566   class class class wbr 4024   e. cmpt 4078   ran crn 4689   -1-1->wf1 5218   -1-1-onto->wf1o 5220   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   iota_crio 6291   Basecbs 13144   lecple 13211   joincjn 14074   meetcmee 14075   Atomscatm 28732   HLchlt 28819   LHypclh 29452

This theorem is referenced by:  cdleme50laut  30015  cdleme51finvfvN  30023  cdleme51finvN  30024

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456