Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdleme7d Unicode version

Theorem cdleme7d 29339
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Lemma leading to cdleme7ga 29341 and cdleme7 29342. (Contributed by NM, 8-Jun-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdleme4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdleme4.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdleme4.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdleme4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdleme4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdleme4.u  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
cdleme4.f  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme4.g  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
cdleme7.v  |-  V  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdleme7d  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  G  =/=  U )

Proof of Theorem cdleme7d
StepHypRef Expression
1 cdleme4.l . . . 4  |-  .<_  =  ( le `  K )
2 cdleme4.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
3 cdleme4.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4 cdleme4.a . . . 4  |-  A  =  ( Atoms `  K )
5 cdleme4.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdleme4.u . . . 4  |-  U  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )
7 cdleme4.f . . . 4  |-  F  =  ( ( S  .\/  U )  ./\  ( Q  .\/  ( ( P  .\/  S )  ./\  W )
) )
8 cdleme4.g . . . 4  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
) )
9 cdleme7.v . . . 4  |-  V  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
101, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme7a 29336 . . 3  |-  G  =  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  V ) )
11 simp11l 1071 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
12 hllat 28457 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
1311, 12syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  Lat )
14 simp12l 1073 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  A )
15 simp13l 1075 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Q  e.  A )
16 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1716, 2, 4hlatjcl 28460 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
1811, 14, 15, 17syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
19 simp11 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
20 simp12 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
21 simp13 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
22 simp2r 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )
23 simp31 996 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  =/=  Q )
24 simp33 998 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
251, 2, 3, 4, 5, 6, 7cdleme3fa 29329 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  F  e.  A )
2619, 20, 21, 22, 23, 24, 25syl132anc 1205 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  F  e.  A )
27 simp2l 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
28 simp2rl 1029 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  S  e.  A )
29 simp32 997 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
301, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme7b 29337 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q ) ) )  ->  V  e.  A )
3119, 27, 28, 24, 29, 30syl113anc 1199 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  V  e.  A )
3216, 2, 4hlatjcl 28460 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  F  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( F  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3311, 26, 31, 32syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( F  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3416, 1, 3latmle2 14027 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( F  .\/  V )  e.  (
Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  V ) )  .<_  ( F  .\/  V ) )
3513, 18, 33, 34syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  ( F  .\/  V ) )  .<_  ( F  .\/  V ) )
3610, 35syl5eqbr 3953 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  G  .<_  ( F  .\/  V ) )
371, 2, 3, 4, 5, 6, 7cdleme3 29330 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  -.  F  .<_  W )
3819, 20, 21, 22, 23, 24, 37syl132anc 1205 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  F  .<_  W )
391, 2, 3, 4, 5, 6lhpat2 29138 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  P  =/=  Q ) )  ->  U  e.  A
)
4019, 20, 15, 23, 39syl112anc 1191 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  U  e.  A )
41 simp2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) ) )
42 simp3 962 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
431, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9cdleme7c 29338 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  Q  e.  A
)  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  ->  U  =/=  V )
4419, 20, 15, 41, 42, 43syl311anc 1201 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  U  =/=  V )
451, 2, 4hlatexch2 28489 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( U  e.  A  /\  F  e.  A  /\  V  e.  A
)  /\  U  =/=  V )  ->  ( U  .<_  ( F  .\/  V
)  ->  F  .<_  ( U  .\/  V ) ) )
4611, 40, 26, 31, 44, 45syl131anc 1200 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( U  .<_  ( F 
.\/  V )  ->  F  .<_  ( U  .\/  V ) ) )
47 simp11r 1072 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  H )
4816, 5lhpbase 29091 . . . . . . . . 9  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
4947, 48syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
5016, 1, 3latmle2 14027 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
5113, 18, 49, 50syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( P  .\/  Q )  ./\  W )  .<_  W )
526, 51syl5eqbr 3953 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  U  .<_  W )
53 simp2ll 1027 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  e.  A )
5416, 2, 4hlatjcl 28460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
5511, 53, 28, 54syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
5616, 1, 3latmle2 14027 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  W )
5713, 55, 49, 56syl3anc 1187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  W )
589, 57syl5eqbr 3953 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  V  .<_  W )
5916, 4atbase 28383 . . . . . . . 8  |-  ( U  e.  A  ->  U  e.  ( Base `  K
) )
6040, 59syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  U  e.  ( Base `  K ) )
6116, 4atbase 28383 . . . . . . . 8  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
6231, 61syl 17 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  V  e.  ( Base `  K ) )
6316, 1, 2latjle12 14012 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( U  e.  ( Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( U  .<_  W  /\  V  .<_  W )  <-> 
( U  .\/  V
)  .<_  W ) )
6413, 60, 62, 49, 63syl13anc 1189 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( U  .<_  W  /\  V  .<_  W )  <-> 
( U  .\/  V
)  .<_  W ) )
6552, 58, 64mpbi2and 892 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( U  .\/  V
)  .<_  W )
6616, 4atbase 28383 . . . . . . 7  |-  ( F  e.  A  ->  F  e.  ( Base `  K
) )
6726, 66syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  F  e.  ( Base `  K ) )
6816, 2, 4hlatjcl 28460 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  HL  /\  U  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( U  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
6911, 40, 31, 68syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( U  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
7016, 1lattr 14006 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F  e.  ( Base `  K )  /\  ( U  .\/  V )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
) )  ->  (
( F  .<_  ( U 
.\/  V )  /\  ( U  .\/  V ) 
.<_  W )  ->  F  .<_  W ) )
7113, 67, 69, 49, 70syl13anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( F  .<_  ( U  .\/  V )  /\  ( U  .\/  V )  .<_  W )  ->  F  .<_  W )
)
7265, 71mpan2d 658 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( F  .<_  ( U 
.\/  V )  ->  F  .<_  W ) )
7346, 72syld 42 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( U  .<_  ( F 
.\/  V )  ->  F  .<_  W ) )
7438, 73mtod 170 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  U  .<_  ( F 
.\/  V ) )
75 nbrne2 3938 . 2  |-  ( ( G  .<_  ( F  .\/  V )  /\  -.  U  .<_  ( F  .\/  V ) )  ->  G  =/=  U )
7636, 74, 75syl2anc 645 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  /\  ( ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W ) )  /\  ( P  =/=  Q  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
)  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  G  =/=  U )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   class class class wbr 3920   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   Basecbs 13022   lecple 13089   joincjn 13922   meetcmee 13923   Latclat 13995   Atomscatm 28357   HLchlt 28444   LHypclh 29077
This theorem is referenced by:  cdleme7  29342
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28270  df-ol 28272  df-oml 28273  df-covers 28360  df-ats 28361  df-atl 28392  df-cvlat 28416  df-hlat 28445  df-lines 28594  df-psubsp 28596  df-pmap 28597  df-padd 28889  df-lhyp 29081
  Copyright terms: Public domain W3C validator