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Theorem cdlemednpq 29738
Description: Part of proof of Lemma E in [Crawley] p. 113. Utility lemma.  D represents s2. (Contributed by NM, 18-Nov-2012.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemeda.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemeda.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemeda.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemeda.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemeda.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemeda.d  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemednpq  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  D  .<_  ( P 
.\/  Q ) )

Proof of Theorem cdlemednpq
StepHypRef Expression
1 cdlemeda.d . . . 4  |-  D  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )
2 simp1l 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 28803 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  Lat )
5 simp23l 1081 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  e.  A )
6 simp31l 1083 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  S  e.  A )
7 eqid 2258 . . . . . . 7  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
8 cdlemeda.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdlemeda.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
107, 8, 9hlatjcl 28806 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  R  e.  A  /\  S  e.  A )  ->  ( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
112, 5, 6, 10syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  S
)  e.  ( Base `  K ) )
12 simp1r 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  H )
13 cdlemeda.h . . . . . . 7  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
147, 13lhpbase 29437 . . . . . 6  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
1512, 14syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K ) )
16 cdlemeda.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
17 cdlemeda.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
187, 16, 17latmle2 14146 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  W )
194, 11, 15, 18syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  W )
201, 19syl5eqbr 4030 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  .<_  W )
21 simp23r 1082 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  R  .<_  W )
22 nbrne2 4015 . . 3  |-  ( ( D  .<_  W  /\  -.  R  .<_  W )  ->  D  =/=  R
)
2320, 21, 22syl2anc 645 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  =/=  R )
244adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  K  e.  Lat )
2511adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( R  .\/  S )  e.  (
Base `  K )
)
2615adantr 453 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  W  e.  ( Base `  K )
)
277, 16, 17latmle1 14145 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  W  e.  ( Base `  K )
)  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  ( R  .\/  S ) )
2824, 25, 26, 27syl3anc 1187 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  W )  .<_  ( R  .\/  S ) )
291, 28syl5eqbr 4030 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  .<_  ( R  .\/  S ) )
30 simpr 449 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )
31 simp31r 1084 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  S  .<_  W )
32 simp32 997 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  .<_  ( P  .\/  Q ) )
33 simp33 998 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
3416, 8, 17, 9, 13, 1cdlemeda 29737 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  e.  A )
352, 12, 6, 31, 5, 32, 33, 34syl223anc 1213 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  e.  A )
367, 9atbase 28729 . . . . . . . . . 10  |-  ( D  e.  A  ->  D  e.  ( Base `  K
) )
3735, 36syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  D  e.  ( Base `  K ) )
3837adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  e.  ( Base `  K )
)
39 simp21 993 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  P  e.  A )
40 simp22 994 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  Q  e.  A )
417, 8, 9hlatjcl 28806 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  Q  e.  A )  ->  ( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
422, 39, 40, 41syl3anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( P  .\/  Q
)  e.  ( Base `  K ) )
4342adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
)
447, 16, 17latlem12 14147 . . . . . . . 8  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( D  e.  ( Base `  K )  /\  ( R  .\/  S )  e.  ( Base `  K
)  /\  ( P  .\/  Q )  e.  (
Base `  K )
) )  ->  (
( D  .<_  ( R 
.\/  S )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  <->  D  .<_  ( ( R  .\/  S
)  ./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
4524, 38, 25, 43, 44syl13anc 1189 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( D  .<_  ( R  .\/  S )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  <->  D  .<_  ( ( R  .\/  S ) 
./\  ( P  .\/  Q ) ) ) )
4629, 30, 45mpbi2and 892 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  .<_  ( ( R  .\/  S
)  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )
47 hlatl 28800 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
482, 47syl 17 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  AtLat )
49 eqid 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0.
`  K )  =  ( 0. `  K
)
507, 16, 17, 49, 9atnle 28757 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  S  e.  A  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q )  <->  ( S  ./\  ( P  .\/  Q
) )  =  ( 0. `  K ) ) )
5148, 6, 42, 50syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( -.  S  .<_  ( P  .\/  Q )  <-> 
( S  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  ( 0. `  K ) ) )
5233, 51mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( S  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  ( 0. `  K ) )
5352oveq2d 5808 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  ( S  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )  =  ( R  .\/  ( 0. `  K ) ) )
547, 9atbase 28729 . . . . . . . . . 10  |-  ( S  e.  A  ->  S  e.  ( Base `  K
) )
556, 54syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  S  e.  ( Base `  K ) )
567, 16, 8, 17, 9atmod1i1 29296 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( R  e.  A  /\  S  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  Q )  e.  ( Base `  K
) )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q
) )  ->  ( R  .\/  ( S  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )  =  ( ( R  .\/  S
)  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )
572, 5, 55, 42, 32, 56syl131anc 1200 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  ( S  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )  =  ( ( R  .\/  S )  ./\  ( P  .\/  Q ) ) )
58 hlol 28801 . . . . . . . . . 10  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
592, 58syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  K  e.  OL )
607, 9atbase 28729 . . . . . . . . . 10  |-  ( R  e.  A  ->  R  e.  ( Base `  K
) )
615, 60syl 17 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  R  e.  ( Base `  K ) )
627, 8, 49olj01 28665 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  OL  /\  R  e.  ( Base `  K ) )  -> 
( R  .\/  ( 0. `  K ) )  =  R )
6359, 61, 62syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( R  .\/  ( 0. `  K ) )  =  R )
6453, 57, 633eqtr3d 2298 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( ( R  .\/  S )  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  R )
6564adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  ( ( R  .\/  S )  ./\  ( P  .\/  Q ) )  =  R )
6646, 65breqtrd 4021 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P 
.\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )  /\  D  .<_  ( P  .\/  Q ) )  ->  D  .<_  R )
6766ex 425 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  .<_  ( P 
.\/  Q )  ->  D  .<_  R ) )
6816, 9atcmp 28751 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  D  e.  A  /\  R  e.  A )  ->  ( D  .<_  R  <->  D  =  R ) )
6948, 35, 5, 68syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  .<_  R  <->  D  =  R ) )
7067, 69sylibd 207 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  .<_  ( P 
.\/  Q )  ->  D  =  R )
)
7170necon3ad 2457 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  -> 
( D  =/=  R  ->  -.  D  .<_  ( P 
.\/  Q ) ) )
7223, 71mpd 16 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( ( S  e.  A  /\  -.  S  .<_  W )  /\  R  .<_  ( P  .\/  Q )  /\  -.  S  .<_  ( P  .\/  Q
) ) )  ->  -.  D  .<_  ( P 
.\/  Q ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421   class class class wbr 3997   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Basecbs 13111   lecple 13178   joincjn 14041   meetcmee 14042   0.cp0 14106   Latclat 14114   OLcol 28614   Atomscatm 28703   AtLatcal 28704   HLchlt 28790   LHypclh 29423
This theorem is referenced by:  cdlemednuN  29739  cdleme20k  29758
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-p1 14109  df-lat 14115  df-clat 14177  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-psubsp 28942  df-pmap 28943  df-padd 29235  df-lhyp 29427
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