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Theorem cdlemg44 31215
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, fifth line of third paragraph on p. 117: "and hence fg = gf." (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg44.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg44.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg44.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg44  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )

Proof of Theorem cdlemg44
Dummy variable  p is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 eqid 2404 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 eqid 2404 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3 cdlemg44.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhpexnle 30488 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K )  -.  p ( le `  K ) W )
543ad2ant1 978 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K )  -.  p ( le `  K ) W )
6 simp11 987 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp12l 1070 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  F  e.  T
)
8 simp12r 1071 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  G  e.  T
)
9 cdlemg44.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
103, 9ltrnco 31201 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
116, 7, 8, 10syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
123, 9ltrnco 31201 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
136, 8, 7, 12syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
14 3simpc 956 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p ( le
`  K ) W ) )
15 simp13 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
16 cdlemg44.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
173, 9, 16, 1, 2cdlemg44b 31214 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  p
( le `  K
) W ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)  ->  ( F `  ( G `  p
) )  =  ( G `  ( F `
 p ) ) )
186, 7, 8, 14, 15, 17syl131anc 1197 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F `  ( G `  p ) )  =  ( G `
 ( F `  p ) ) )
19 simp12 988 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )
20 simp2 958 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) )
211, 2, 3, 9ltrncoval 30627 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( F `  ( G `
 p ) ) )
226, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( F `  ( G `
 p ) ) )
231, 2, 3, 9ltrncoval 30627 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  p )  =  ( G `  ( F `
 p ) ) )
246, 8, 7, 20, 23syl121anc 1189 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( ( G  o.  F ) `  p )  =  ( G `  ( F `
 p ) ) )
2518, 22, 243eqtr4d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( ( G  o.  F
) `  p )
)
261, 2, 3, 9cdlemd 30689 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T  /\  ( G  o.  F )  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  /\  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( ( G  o.  F
) `  p )
)  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
276, 11, 13, 14, 25, 26syl311anc 1198 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
2827rexlimdv3a 2792 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )  -.  p ( le `  K ) W  -> 
( F  o.  G
)  =  ( G  o.  F ) ) )
295, 28mpd 15 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2567   E.wrex 2667   class class class wbr 4172    o. ccom 4841   ` cfv 5413   lecple 13491   Atomscatm 29746   HLchlt 29833   LHypclh 30466   LTrncltrn 30583   trLctrl 30640
This theorem is referenced by:  cdlemg47  31218  ltrncom  31220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-nel 2570  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-op 3783  df-uni 3976  df-iun 4055  df-iin 4056  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-id 4458  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-undef 6502  df-riota 6508  df-map 6979  df-poset 14358  df-plt 14370  df-lub 14386  df-glb 14387  df-join 14388  df-meet 14389  df-p0 14423  df-p1 14424  df-lat 14430  df-clat 14492  df-oposet 29659  df-ol 29661  df-oml 29662  df-covers 29749  df-ats 29750  df-atl 29781  df-cvlat 29805  df-hlat 29834  df-llines 29980  df-lplanes 29981  df-lvols 29982  df-lines 29983  df-psubsp 29985  df-pmap 29986  df-padd 30278  df-lhyp 30470  df-laut 30471  df-ldil 30586  df-ltrn 30587  df-trl 30641
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