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Theorem cdlemg44 29826
Description: Part of proof of Lemma G of [Crawley] p. 116, fifth line of third paragraph on p. 117: "and hence fg = gf." (Contributed by NM, 3-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemg44.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemg44.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemg44.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemg44  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )

Proof of Theorem cdlemg44
StepHypRef Expression
1 eqid 2253 . . . 4  |-  ( le
`  K )  =  ( le `  K
)
2 eqid 2253 . . . 4  |-  ( Atoms `  K )  =  (
Atoms `  K )
3 cdlemg44.h . . . 4  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
41, 2, 3lhpexnle 29099 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  E. p  e.  (
Atoms `  K )  -.  p ( le `  K ) W )
543ad2ant1 981 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  E. p  e.  ( Atoms `  K )  -.  p ( le `  K ) W )
6 simp11 990 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
7 simp12l 1073 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  F  e.  T
)
8 simp12r 1074 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  G  e.  T
)
9 cdlemg44.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
103, 9ltrnco 29812 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T
)  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
116, 7, 8, 10syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F  o.  G )  e.  T
)
123, 9ltrnco 29812 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
136, 8, 7, 12syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( G  o.  F )  e.  T
)
14 3simpc 959 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p ( le
`  K ) W ) )
15 simp13 992 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
16 cdlemg44.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
173, 9, 16, 1, 2cdlemg44b 29825 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  ( p  e.  ( Atoms `  K
)  /\  -.  p
( le `  K
) W ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)  ->  ( F `  ( G `  p
) )  =  ( G `  ( F `
 p ) ) )
186, 7, 8, 14, 15, 17syl131anc 1200 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F `  ( G `  p ) )  =  ( G `
 ( F `  p ) ) )
19 simp12 991 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F  e.  T  /\  G  e.  T ) )
20 simp2 961 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  p  e.  (
Atoms `  K ) )
211, 2, 3, 9ltrncoval 29238 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( F `  ( G `
 p ) ) )
226, 19, 20, 21syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( F `  ( G `
 p ) ) )
231, 2, 3, 9ltrncoval 29238 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  p  e.  ( Atoms `  K )
)  ->  ( ( G  o.  F ) `  p )  =  ( G `  ( F `
 p ) ) )
246, 8, 7, 20, 23syl121anc 1192 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( ( G  o.  F ) `  p )  =  ( G `  ( F `
 p ) ) )
2518, 22, 243eqtr4d 2295 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( ( G  o.  F
) `  p )
)
261, 2, 3, 9cdlemd 29300 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  o.  G )  e.  T  /\  ( G  o.  F )  e.  T )  /\  (
p  e.  ( Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  /\  ( ( F  o.  G ) `  p )  =  ( ( G  o.  F
) `  p )
)  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
276, 11, 13, 14, 25, 26syl311anc 1201 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F
)  =/=  ( R `
 G ) )  /\  p  e.  (
Atoms `  K )  /\  -.  p ( le `  K ) W )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
2827rexlimdv3a 2631 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( E. p  e.  ( Atoms `  K )  -.  p ( le `  K ) W  -> 
( F  o.  G
)  =  ( G  o.  F ) ) )
295, 28mpd 16 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G
) )  ->  ( F  o.  G )  =  ( G  o.  F ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412   E.wrex 2510   class class class wbr 3920    o. ccom 4584   ` cfv 4592   lecple 13089   Atomscatm 28357   HLchlt 28444   LHypclh 29077   LTrncltrn 29194   trLctrl 29251
This theorem is referenced by:  cdlemg47  29829  ltrncom  29831
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-op 3553  df-uni 3728  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-id 4202  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-map 6660  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-oposet 28270  df-ol 28272  df-oml 28273  df-covers 28360  df-ats 28361  df-atl 28392  df-cvlat 28416  df-hlat 28445  df-llines 28591  df-lplanes 28592  df-lvols 28593  df-lines 28594  df-psubsp 28596  df-pmap 28597  df-padd 28889  df-lhyp 29081  df-laut 29082  df-ldil 29197  df-ltrn 29198  df-trl 29252
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