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Theorem cdlemh1 31451
Description: Part of proof of Lemma H of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 17-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemh.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemh.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemh.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemh.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemh.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemh.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemh.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemh.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemh.s  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemh1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemh1
StepHypRef Expression
1 cdlemh.s . . 3  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
21oveq1i 6082 . 2  |-  ( S 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )
3 simp11l 1068 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
4 simp11 987 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp13 989 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
6 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
7 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  F )  =/=  ( R `  G )
)
87necomd 2681 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  =/=  ( R `  F )
)
9 cdlemh.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 cdlemh.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 cdlemh.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
12 cdlemh.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
139, 10, 11, 12trlcocnvat 31360 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  ( R `  G )  =/=  ( R `  F
) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
144, 5, 6, 8, 13syl121anc 1189 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )
15 hllat 30000 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
163, 15syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  Lat )
17 simp2l 983 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  A
)
18 cdlemh.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
1918, 9atbase 29926 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2017, 19syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  B
)
2118, 10, 11, 12trlcl 30800 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  B
)
224, 5, 21syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  B
)
23 cdlemh.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
2418, 23latjcl 14467 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( R `  G )  e.  B )  -> 
( P  .\/  ( R `  G )
)  e.  B )
2516, 20, 22, 24syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  e.  B )
26 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  e.  A
)
2718, 23, 9hlatjcl 30003 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
283, 26, 14, 27syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
29 cdlemh.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
3029, 23, 9hlatlej2 30012 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  Q  e.  A  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
313, 26, 14, 30syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
32 cdlemh.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3318, 29, 23, 32, 9atmod4i1 30502 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  A  /\  ( P 
.\/  ( R `  G ) )  e.  B  /\  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B )  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
343, 14, 25, 28, 31, 33syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
3510, 11ltrncnv 30782 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
364, 6, 35syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
3723, 10, 11, 12trljco2 31377 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( ( R `  G )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( R `  `' F )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
384, 5, 36, 37syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( R `
 G )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `  `' F )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
3910, 11, 12trlcnv 30801 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
404, 6, 39syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  `' F )  =  ( R `  F ) )
4140oveq1d 6087 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( R `
 `' F ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
4238, 41eqtrd 2467 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( R `
 G )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( R `  F
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
4342oveq2d 6088 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( ( R `  G )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( P 
.\/  ( ( R `
 F )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
4410, 11ltrnco 31355 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
454, 5, 36, 44syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
4618, 10, 11, 12trlcl 30800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
474, 45, 46syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
4818, 23latjass 14512 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( R `  G
)  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B ) )  ->  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( P  .\/  ( ( R `  G ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
4916, 20, 22, 47, 48syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( P  .\/  ( ( R `  G ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
5018, 10, 11, 12trlcl 30800 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  ( R `  F )  e.  B
)
514, 6, 50syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  F )  e.  B
)
5218, 23latjass 14512 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  B  /\  ( R `  F
)  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B ) )  ->  ( ( P  .\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( P  .\/  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
5316, 20, 51, 47, 52syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( P  .\/  ( ( R `  F ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
5443, 49, 533eqtr4d 2477 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  F )
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
5554oveq1d 6087 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
56 simp3l 985 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) )
5718, 9atbase 29926 . . . . . . 7  |-  ( Q  e.  A  ->  Q  e.  B )
5826, 57syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  Q  e.  B
)
5918, 23latjcl 14467 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( R `  F )  e.  B )  -> 
( P  .\/  ( R `  F )
)  e.  B )
6016, 20, 51, 59syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  F ) )  e.  B )
6118, 29, 23latjlej1 14482 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  e.  B  /\  ( P  .\/  ( R `  F )
)  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B ) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
)  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
6216, 58, 60, 47, 61syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  .<_  ( P  .\/  ( R `
 F ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 F ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
6356, 62mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 F ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
6418, 23latjcl 14467 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  .\/  ( R `
 F ) )  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  (
( P  .\/  ( R `  F )
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B )
6516, 60, 47, 64syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
6618, 29, 32latleeqm2 14497 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B  /\  (
( P  .\/  ( R `  F )
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B )  -> 
( ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 F ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  <-> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
6716, 28, 65, 66syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) 
.<_  ( ( P  .\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) )  <-> 
( ( ( P 
.\/  ( R `  F ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  ./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( Q 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
6863, 67mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 F ) ) 
.\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
6934, 55, 683eqtrd 2471 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( Q  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
702, 69syl5eq 2479 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  Q  e.  A )  /\  ( Q  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( S  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( Q  .\/  ( R `
 ( G  o.  `' F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2598   class class class wbr 4204   `'ccnv 4868    o. ccom 4873   ` cfv 5445  (class class class)co 6072   Basecbs 13457   lecple 13524   joincjn 14389   meetcmee 14390   Latclat 14462   Atomscatm 29900   HLchlt 29987   LHypclh 30620   LTrncltrn 30737   trLctrl 30794
This theorem is referenced by:  cdlemh  31453
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-ov 6075  df-oprab 6076  df-mpt2 6077  df-1st 6340  df-2nd 6341  df-undef 6534  df-riota 6540  df-map 7011  df-poset 14391  df-plt 14403  df-lub 14419  df-glb 14420  df-join 14421  df-meet 14422  df-p0 14456  df-p1 14457  df-lat 14463  df-clat 14525  df-oposet 29813  df-ol 29815  df-oml 29816  df-covers 29903  df-ats 29904  df-atl 29935  df-cvlat 29959  df-hlat 29988  df-llines 30134  df-lplanes 30135  df-lvols 30136  df-lines 30137  df-psubsp 30139  df-pmap 30140  df-padd 30432  df-lhyp 30624  df-laut 30625  df-ldil 30740  df-ltrn 30741  df-trl 30795
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