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Theorem cdlemi 31314
Description: Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 19-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemi.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemi.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemi.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemi.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemi.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemi.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemi.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
cdlemi.s  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemi  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  =  S )

Proof of Theorem cdlemi
StepHypRef Expression
1 simp11l 1068 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp11r 1069 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  W  e.  H
)
3 simp2l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  U  e.  E
)
4 simp13 989 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  G  e.  T
)
5 simp2r 984 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
6 cdlemi.b . . . . . 6  |-  B  =  ( Base `  K
)
7 cdlemi.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
8 cdlemi.j . . . . . 6  |-  .\/  =  ( join `  K )
9 cdlemi.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
10 cdlemi.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
11 cdlemi.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdlemi.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
13 cdlemi.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
14 cdlemi.e . . . . . 6  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
156, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 31312 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )
161, 2, 3, 4, 5, 15syl221anc 1195 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  G ) ) )
17 simp12 988 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  F  e.  T
)
186, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi2 31313 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
191, 2, 3, 17, 4, 5, 18syl231anc 1204 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
20 hllat 29858 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
211, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  Lat )
22 simp11 987 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2311, 12, 14tendocl 31261 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  G  e.  T
)  ->  ( U `  G )  e.  T
)
2422, 3, 4, 23syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( U `  G )  e.  T
)
25 simp2rl 1026 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  A
)
266, 10atbase 29784 . . . . . . 7  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
2725, 26syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  P  e.  B
)
286, 11, 12ltrncl 30619 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  G )  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( U `  G ) `  P )  e.  B
)
2922, 24, 27, 28syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  e.  B
)
306, 11, 12, 13trlcl 30658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  ( R `  G )  e.  B
)
3122, 4, 30syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  G )  e.  B
)
326, 8latjcl 14442 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  B  /\  ( R `  G )  e.  B )  -> 
( P  .\/  ( R `  G )
)  e.  B )
3321, 27, 31, 32syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  G ) )  e.  B )
3411, 12, 14tendocl 31261 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( U `  F )  e.  T
)
3522, 3, 17, 34syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( U `  F )  e.  T
)
366, 11, 12ltrncl 30619 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  F )  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( ( U `  F ) `  P )  e.  B
)
3722, 35, 27, 36syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 F ) `  P )  e.  B
)
3811, 12ltrncnv 30640 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
3922, 17, 38syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  `' F  e.  T )
4011, 12ltrnco 31213 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
4122, 4, 39, 40syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
426, 11, 12, 13trlcl 30658 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
4322, 41, 42syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
446, 8latjcl 14442 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( U `  F ) `  P
)  e.  B  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
4521, 37, 43, 44syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
466, 7, 9latlem12 14470 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( U `
 G ) `  P )  e.  B  /\  ( P  .\/  ( R `  G )
)  e.  B  /\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  e.  B ) )  ->  ( ( ( ( U `  G
) `  P )  .<_  ( P  .\/  ( R `  G )
)  /\  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  <-> 
( ( U `  G ) `  P
)  .<_  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) ) )
4721, 29, 33, 45, 46syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( ( U `  G
) `  P )  .<_  ( P  .\/  ( R `  G )
)  /\  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  <-> 
( ( U `  G ) `  P
)  .<_  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) ) )
4816, 19, 47mpbi2and 888 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) )
49 hlatl 29855 . . . . 5  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  AtLat )
501, 49syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  K  e.  AtLat )
517, 10, 11, 12ltrnat 30634 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  G )  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( ( U `  G ) `  P )  e.  A
)
5222, 24, 25, 51syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  e.  A
)
537, 10, 11, 12ltrnel 30633 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  F )  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  F
) `  P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W ) )
5422, 35, 5, 53syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( U `  F ) `
 P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W ) )
556, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14cdlemi1 31312 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  F ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) )
561, 2, 3, 17, 5, 55syl221anc 1195 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 F ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) )
575, 54, 563jca 1134 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  e.  A  /\  -.  ( ( U `
 F ) `  P )  .<_  W )  /\  ( ( U `
 F ) `  P )  .<_  ( P 
.\/  ( R `  F ) ) ) )
58 eqid 2412 . . . . . . 7  |-  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
596, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 58cdlemh 31311 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W )  /\  (
( U `  F
) `  P )  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A  /\  -.  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) ) 
.<_  W ) )
6059simpld 446 . . . . 5  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  (
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W )  /\  (
( U `  F
) `  P )  .<_  ( P  .\/  ( R `  F )
) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A )
6157, 60syld3an2 1231 . . . 4  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( R `  G ) )  ./\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  e.  A )
627, 10atcmp 29806 . . . 4  |-  ( ( K  e.  AtLat  /\  (
( U `  G
) `  P )  e.  A  /\  (
( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  e.  A )  -> 
( ( ( U `
 G ) `  P )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )  <->  ( ( U `  G ) `  P )  =  ( ( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) ) ) )
6350, 52, 61, 62syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( ( U `  G ) `
 P )  .<_  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )  <-> 
( ( U `  G ) `  P
)  =  ( ( P  .\/  ( R `
 G ) ) 
./\  ( ( ( U `  F ) `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) ) ) )
6448, 63mpbid 202 . 2  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  =  ( ( P  .\/  ( R `  G )
)  ./\  ( (
( U `  F
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) ) ) ) )
65 cdlemi.s . 2  |-  S  =  ( ( P  .\/  ( R `  G ) )  ./\  ( (
( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
6664, 65syl6eqr 2462 1  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( U  e.  E  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  /\  ( F  =/=  (  _I  |`  B )  /\  G  =/=  (  _I  |`  B )  /\  ( R `  F )  =/=  ( R `  G ) ) )  ->  ( ( U `
 G ) `  P )  =  S )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180    _I cid 4461   `'ccnv 4844    |` cres 4847    o. ccom 4849   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   lecple 13499   joincjn 14364   meetcmee 14365   Latclat 14437   Atomscatm 29758   AtLatcal 29759   HLchlt 29845   LHypclh 30478   LTrncltrn 30595   trLctrl 30652   TEndoctendo 31246
This theorem is referenced by:  cdlemj1  31315
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-map 6987  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-p1 14432  df-lat 14438  df-clat 14500  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993  df-lvols 29994  df-lines 29995  df-psubsp 29997  df-pmap 29998  df-padd 30290  df-lhyp 30482  df-laut 30483  df-ldil 30598  df-ltrn 30599  df-trl 30653  df-tendo 31249
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