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Theorem cdlemi2 30935
Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemi.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemi.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemi.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemi.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemi.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemi.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemi.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemi2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )

Proof of Theorem cdlemi2
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
3 simp21 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  U  e.  E )
4 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp23 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
6 simp22 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
7 cdlemi.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemi.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
97, 8ltrncnv 30262 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
104, 6, 9syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
117, 8ltrnco 30835 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
124, 5, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
13 cdlemi.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
147, 8, 13tendovalco 30881 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  U  e.  E )  /\  ( ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T
) )  ->  ( U `  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F ) )  =  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) )  o.  ( U `
 F ) ) )
151, 2, 3, 12, 6, 14syl32anc 1192 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( U `  ( ( G  o.  `' F )  o.  F
) )  =  ( ( U `  ( G  o.  `' F
) )  o.  ( U `  F )
) )
16 coass 5330 . . . . . . 7  |-  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( G  o.  ( `' F  o.  F
) )
17 cdlemi.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  K
)
1817, 7, 8ltrn1o 30240 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
194, 6, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
20 f1ococnv1 5646 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2221coeq2d 4977 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( G  o.  (  _I  |`  B ) ) )
2317, 7, 8ltrn1o 30240 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
244, 5, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
25 f1of 5616 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  G : B
--> B )
26 fcoi1 5559 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B --> B  -> 
( G  o.  (  _I  |`  B ) )  =  G )
2724, 25, 263syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  (  _I  |`  B ) )  =  G )
2822, 27eqtrd 2421 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  G )
2916, 28syl5eq 2433 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  G )
3029fveq2d 5674 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( U `  ( ( G  o.  `' F )  o.  F
) )  =  ( U `  G ) )
3115, 30eqtr3d 2423 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) )  o.  ( U `  F
) )  =  ( U `  G ) )
3231fveq1d 5672 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  ( G  o.  `' F
) )  o.  ( U `  F )
) `  P )  =  ( ( U `
 G ) `  P ) )
337, 8, 13tendocl 30883 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( U `  ( G  o.  `' F ) )  e.  T )
344, 3, 12, 33syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( U `  ( G  o.  `' F ) )  e.  T )
357, 8, 13tendocl 30883 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( U `  F )  e.  T
)
364, 3, 6, 35syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( U `  F )  e.  T
)
37 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
38 cdlemi.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
39 cdlemi.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4038, 39, 7, 8ltrncoval 30261 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( U `
 ( G  o.  `' F ) )  e.  T  /\  ( U `
 F )  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( U `  ( G  o.  `' F ) )  o.  ( U `  F
) ) `  P
)  =  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) ) `  ( ( U `  F ) `
 P ) ) )
414, 34, 36, 37, 40syl121anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  ( G  o.  `' F
) )  o.  ( U `  F )
) `  P )  =  ( ( U `
 ( G  o.  `' F ) ) `  ( ( U `  F ) `  P
) ) )
4232, 41eqtr3d 2423 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  =  ( ( U `  ( G  o.  `' F
) ) `  (
( U `  F
) `  P )
) )
4338, 39, 7, 8ltrnel 30255 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  F )  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  F
) `  P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W ) )
4436, 43syld3an2 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  F
) `  P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W ) )
45 cdlemi.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
46 cdlemi.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
47 cdlemi.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4817, 38, 45, 46, 39, 7, 8, 47, 13cdlemi1 30934 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T )  /\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  e.  A  /\  -.  ( ( U `
 F ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) ) `  ( ( U `  F ) `  P
) )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
494, 3, 12, 44, 48syl121anc 1189 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) ) `  ( ( U `  F ) `  P
) )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
5042, 49eqbrtrd 4175 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   class class class wbr 4155    _I cid 4436   `'ccnv 4819    |` cres 4822    o. ccom 4824   -->wf 5392   -1-1-onto->wf1o 5395   ` cfv 5396  (class class class)co 6022   Basecbs 13398   lecple 13465   joincjn 14330   meetcmee 14331   Atomscatm 29380   HLchlt 29467   LHypclh 30100   LTrncltrn 30217   trLctrl 30274   TEndoctendo 30868
This theorem is referenced by:  cdlemi  30936
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2370  ax-rep 4263  ax-sep 4273  ax-nul 4281  ax-pow 4320  ax-pr 4346  ax-un 4643
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2244  df-mo 2245  df-clab 2376  df-cleq 2382  df-clel 2385  df-nfc 2514  df-ne 2554  df-nel 2555  df-ral 2656  df-rex 2657  df-reu 2658  df-rmo 2659  df-rab 2660  df-v 2903  df-sbc 3107  df-csb 3197  df-dif 3268  df-un 3270  df-in 3272  df-ss 3279  df-nul 3574  df-if 3685  df-pw 3746  df-sn 3765  df-pr 3766  df-op 3768  df-uni 3960  df-iun 4039  df-iin 4040  df-br 4156  df-opab 4210  df-mpt 4211  df-id 4441  df-xp 4826  df-rel 4827  df-cnv 4828  df-co 4829  df-dm 4830  df-rn 4831  df-res 4832  df-ima 4833  df-iota 5360  df-fun 5398  df-fn 5399  df-f 5400  df-f1 5401  df-fo 5402  df-f1o 5403  df-fv 5404  df-ov 6025  df-oprab 6026  df-mpt2 6027  df-1st 6290  df-2nd 6291  df-undef 6481  df-riota 6487  df-map 6958  df-poset 14332  df-plt 14344  df-lub 14360  df-glb 14361  df-join 14362  df-meet 14363  df-p0 14397  df-p1 14398  df-lat 14404  df-clat 14466  df-oposet 29293  df-ol 29295  df-oml 29296  df-covers 29383  df-ats 29384  df-atl 29415  df-cvlat 29439  df-hlat 29468  df-llines 29614  df-lplanes 29615  df-lvols 29616  df-lines 29617  df-psubsp 29619  df-pmap 29620  df-padd 29912  df-lhyp 30104  df-laut 30105  df-ldil 30220  df-ltrn 30221  df-trl 30275  df-tendo 30871
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