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Theorem cdlemi2 31313
Description: Part of proof of Lemma I of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 18-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemi.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemi.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemi.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemi.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemi.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemi.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemi.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemi.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemi.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemi2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )

Proof of Theorem cdlemi2
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
3 simp21 990 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  U  e.  E )
4 simp1 957 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
5 simp23 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
6 simp22 991 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
7 cdlemi.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemi.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
97, 8ltrncnv 30640 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
104, 6, 9syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
117, 8ltrnco 31213 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
124, 5, 10, 11syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
13 cdlemi.e . . . . . . 7  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
147, 8, 13tendovalco 31259 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H  /\  U  e.  E )  /\  ( ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T
) )  ->  ( U `  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F ) )  =  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) )  o.  ( U `
 F ) ) )
151, 2, 3, 12, 6, 14syl32anc 1192 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( U `  ( ( G  o.  `' F )  o.  F
) )  =  ( ( U `  ( G  o.  `' F
) )  o.  ( U `  F )
) )
16 coass 5355 . . . . . . 7  |-  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( G  o.  ( `' F  o.  F
) )
17 cdlemi.b . . . . . . . . . . . 12  |-  B  =  ( Base `  K
)
1817, 7, 8ltrn1o 30618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
194, 6, 18syl2anc 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
20 f1ococnv1 5671 . . . . . . . . . 10  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2119, 20syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2221coeq2d 5002 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( G  o.  (  _I  |`  B ) ) )
2317, 7, 8ltrn1o 30618 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
244, 5, 23syl2anc 643 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
25 f1of 5641 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  G : B
--> B )
26 fcoi1 5584 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B --> B  -> 
( G  o.  (  _I  |`  B ) )  =  G )
2724, 25, 263syl 19 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  (  _I  |`  B ) )  =  G )
2822, 27eqtrd 2444 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  G )
2916, 28syl5eq 2456 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  G )
3029fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( U `  ( ( G  o.  `' F )  o.  F
) )  =  ( U `  G ) )
3115, 30eqtr3d 2446 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) )  o.  ( U `  F
) )  =  ( U `  G ) )
3231fveq1d 5697 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  ( G  o.  `' F
) )  o.  ( U `  F )
) `  P )  =  ( ( U `
 G ) `  P ) )
337, 8, 13tendocl 31261 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( U `  ( G  o.  `' F ) )  e.  T )
344, 3, 12, 33syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( U `  ( G  o.  `' F ) )  e.  T )
357, 8, 13tendocl 31261 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  U  e.  E  /\  F  e.  T
)  ->  ( U `  F )  e.  T
)
364, 3, 6, 35syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( U `  F )  e.  T
)
37 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
38 cdlemi.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
39 cdlemi.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4038, 39, 7, 8ltrncoval 30639 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( U `
 ( G  o.  `' F ) )  e.  T  /\  ( U `
 F )  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( U `  ( G  o.  `' F ) )  o.  ( U `  F
) ) `  P
)  =  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) ) `  ( ( U `  F ) `
 P ) ) )
414, 34, 36, 37, 40syl121anc 1189 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  ( G  o.  `' F
) )  o.  ( U `  F )
) `  P )  =  ( ( U `
 ( G  o.  `' F ) ) `  ( ( U `  F ) `  P
) ) )
4232, 41eqtr3d 2446 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  =  ( ( U `  ( G  o.  `' F
) ) `  (
( U `  F
) `  P )
) )
4338, 39, 7, 8ltrnel 30633 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U `  F )  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  F
) `  P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W ) )
4436, 43syld3an2 1231 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( U `  F
) `  P )  e.  A  /\  -.  (
( U `  F
) `  P )  .<_  W ) )
45 cdlemi.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
46 cdlemi.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
47 cdlemi.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4817, 38, 45, 46, 39, 7, 8, 47, 13cdlemi1 31312 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T )  /\  ( ( ( U `
 F ) `  P )  e.  A  /\  -.  ( ( U `
 F ) `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) ) `  ( ( U `  F ) `  P
) )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
494, 3, 12, 44, 48syl121anc 1189 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  ( G  o.  `' F ) ) `  ( ( U `  F ) `  P
) )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
5042, 49eqbrtrd 4200 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( U  e.  E  /\  F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( U `  G ) `  P )  .<_  ( ( ( U `  F
) `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4180    _I cid 4461   `'ccnv 4844    |` cres 4847    o. ccom 4849   -->wf 5417   -1-1-onto->wf1o 5420   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   Basecbs 13432   lecple 13499   joincjn 14364   meetcmee 14365   Atomscatm 29758   HLchlt 29845   LHypclh 30478   LTrncltrn 30595   trLctrl 30652   TEndoctendo 31246
This theorem is referenced by:  cdlemi  31314
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-id 4466  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-undef 6510  df-riota 6516  df-map 6987  df-poset 14366  df-plt 14378  df-lub 14394  df-glb 14395  df-join 14396  df-meet 14397  df-p0 14431  df-p1 14432  df-lat 14438  df-clat 14500  df-oposet 29671  df-ol 29673  df-oml 29674  df-covers 29761  df-ats 29762  df-atl 29793  df-cvlat 29817  df-hlat 29846  df-llines 29992  df-lplanes 29993  df-lvols 29994  df-lines 29995  df-psubsp 29997  df-pmap 29998  df-padd 30290  df-lhyp 30482  df-laut 30483  df-ldil 30598  df-ltrn 30599  df-trl 30653  df-tendo 31249
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