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Theorem cdlemk10 30299
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 29-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemk.v1  |-  V  =  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemk10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  V  .<_  ( R `  ( X  o.  `' G ) ) )

Proof of Theorem cdlemk10
StepHypRef Expression
1 cdlemk.v1 . 2  |-  V  =  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
2 simp1 957 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp22 991 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
4 simp21 990 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
5 cdlemk.h . . . . . . . . 9  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdlemk.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
75, 6ltrncnv 29602 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
82, 4, 7syl2anc 644 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
95, 6ltrnco 30175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
102, 3, 8, 9syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
11 cdlemk.l . . . . . . 7  |-  .<_  =  ( le `  K )
12 cdlemk.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1311, 5, 6, 12trlle 29640 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
142, 10, 13syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .<_  W )
15 simp23 992 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  e.  T )
165, 6ltrnco 30175 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
172, 15, 8, 16syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
1811, 5, 6, 12trlle 29640 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  .<_  W )
192, 17, 18syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  .<_  W )
20 simp1l 981 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
21 hllat 28820 . . . . . . 7  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2220, 21syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
23 cdlemk.b . . . . . . . 8  |-  B  =  ( Base `  K
)
2423, 5, 6, 12trlcl 29620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
252, 10, 24syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
2623, 5, 6, 12trlcl 29620 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  e.  B )
272, 17, 26syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  e.  B )
28 simp1r 982 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
2923, 5lhpbase 29454 . . . . . . 7  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
3028, 29syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
31 cdlemk.j . . . . . . 7  |-  .\/  =  ( join `  K )
3223, 11, 31latjle12 14162 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B  /\  ( R `
 ( X  o.  `' F ) )  e.  B  /\  W  e.  B ) )  -> 
( ( ( R `
 ( G  o.  `' F ) )  .<_  W  /\  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  .<_  W )  <->  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) )  .<_  W ) )
3322, 25, 27, 30, 32syl13anc 1186 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  .<_  W  /\  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  .<_  W )  <->  ( ( R `  ( G  o.  `' F
) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) 
.<_  W ) )
3414, 19, 33mpbi2and 889 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) )  .<_  W )
3523, 31latjcl 14150 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B  /\  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  ( ( R `
 ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
3622, 25, 27, 35syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
37 simp3l 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
38 cdlemk.a . . . . . . . 8  |-  A  =  ( Atoms `  K )
3911, 38, 5, 6ltrnat 29596 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( G `  P )  e.  A
)
402, 3, 37, 39syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  e.  A
)
4111, 38, 5, 6ltrnat 29596 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( X `  P )  e.  A
)
422, 15, 37, 41syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  A
)
4323, 31, 38hlatjcl 28823 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( G `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  e.  B )
4420, 40, 42, 43syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  e.  B
)
45 cdlemk.m . . . . . 6  |-  ./\  =  ( meet `  K )
4623, 11, 45latmlem2 14182 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( ( R `
 ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) )  e.  B  /\  W  e.  B  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B ) )  ->  ( (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) 
.<_  W  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )  .<_  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
) )
4722, 36, 30, 44, 46syl13anc 1186 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) 
.<_  W  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )  .<_  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
) )
4834, 47mpd 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )  .<_  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
49 simp3 959 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
5023, 11, 31, 38, 5, 6, 12, 45cdlemk9 30295 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )  =  ( R `
 ( X  o.  `' G ) ) )
5120, 28, 3, 15, 49, 50syl221anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )  =  ( R `
 ( X  o.  `' G ) ) )
5248, 51breqtrd 4048 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )  .<_  ( R `  ( X  o.  `' G ) ) )
531, 52syl5eqbr 4057 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  V  .<_  ( R `  ( X  o.  `' G ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 936    = wceq 1624    e. wcel 1685   class class class wbr 4024   `'ccnv 4687    o. ccom 4692   ` cfv 5221  (class class class)co 5819   Basecbs 13142   lecple 13209   joincjn 14072   meetcmee 14073   Latclat 14145   Atomscatm 28720   HLchlt 28807   LHypclh 29440   LTrncltrn 29557   trLctrl 29614
This theorem is referenced by:  cdlemk11  30305  cdlemk11u  30327
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-undef 6291  df-riota 6299  df-map 6769  df-poset 14074  df-plt 14086  df-lub 14102  df-glb 14103  df-join 14104  df-meet 14105  df-p0 14139  df-p1 14140  df-lat 14146  df-clat 14208  df-oposet 28633  df-ol 28635  df-oml 28636  df-covers 28723  df-ats 28724  df-atl 28755  df-cvlat 28779  df-hlat 28808  df-llines 28954  df-lplanes 28955  df-lvols 28956  df-lines 28957  df-psubsp 28959  df-pmap 28960  df-padd 29252  df-lhyp 29444  df-laut 29445  df-ldil 29560  df-ltrn 29561  df-trl 29615
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