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Theorem cdlemk2 30300
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 22-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
Assertion
Ref Expression
cdlemk2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk2
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 simp2r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
3 simp2l 981 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 cdlemk.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 cdlemk.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
64, 5ltrncnv 29614 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
71, 3, 6syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
84, 5ltrnco 30187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
91, 2, 7, 8syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
10 cdlemk.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
11 cdlemk.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
1210, 11, 4, 5ltrnel 29607 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
13123adant2r 1177 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
14 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
15 cdlemk.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
1610, 14, 11, 4, 5, 15trljat3 29636 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
171, 9, 13, 16syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
18 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
1910, 11, 4, 5ltrncoval 29613 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( G  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
201, 9, 3, 18, 19syl121anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( G  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
21 coass 5189 . . . . . 6  |-  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( G  o.  ( `' F  o.  F
) )
22 cdlemk.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
2322, 4, 5ltrn1o 29592 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
241, 3, 23syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
25 f1ococnv1 5468 . . . . . . . . 9  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
2726coeq2d 4845 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( G  o.  (  _I  |`  B ) ) )
2822, 4, 5ltrn1o 29592 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
291, 2, 28syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
30 f1of 5438 . . . . . . . 8  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  G : B
--> B )
31 fcoi1 5381 . . . . . . . 8  |-  ( G : B --> B  -> 
( G  o.  (  _I  |`  B ) )  =  G )
3229, 30, 313syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  (  _I  |`  B ) )  =  G )
3327, 32eqtrd 2316 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( G  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  G )
3421, 33syl5eq 2328 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
)  o.  F )  =  G )
3534fveq1d 5488 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( G `  P ) )
3620, 35eqtr3d 2318 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G  o.  `' F
) `  ( F `  P ) )  =  ( G `  P
) )
3736oveq1d 5835 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( G  o.  `' F ) `  ( F `  P )
)  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) )  =  ( ( G `
 P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
3817, 37eqtr2d 2317 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F
) ) )  =  ( ( F `  P )  .\/  ( R `  ( G  o.  `' F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   class class class wbr 4024    _I cid 4303   `'ccnv 4687    |` cres 4690    o. ccom 4692   -->wf 5217   -1-1-onto->wf1o 5220   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144   lecple 13211   joincjn 14074   Atomscatm 28732   HLchlt 28819   LHypclh 29452   LTrncltrn 29569   trLctrl 29626
This theorem is referenced by:  cdlemk5  30304  cdlemk5u  30329
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-map 6770  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456  df-laut 29457  df-ldil 29572  df-ltrn 29573  df-trl 29627
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