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Theorem cdlemk4 31320
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use  X for their h, since  H is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
cdlemk4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 981 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 simp3l 985 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
5 cdlemk.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemk.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemk.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemk.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 30626 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
102, 3, 4, 9syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
11 simp2r 984 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  e.  T )
125, 6, 7, 8ltrnat 30626 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( X `  P )  e.  A
)
132, 11, 4, 12syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  A
)
14 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
155, 14, 6hlatlej1 29861 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
161, 10, 13, 15syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
17 hllat 29850 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
181, 17syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
19 cdlemk.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2019, 6atbase 29776 . . . . . 6  |-  ( ( F `  P )  e.  A  ->  ( F `  P )  e.  B )
2110, 20syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  B
)
2219, 6atbase 29776 . . . . . 6  |-  ( ( X `  P )  e.  A  ->  ( X `  P )  e.  B )
2313, 22syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  B
)
2419, 14latjcl 14438 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  P )  e.  B  /\  ( X `  P )  e.  B )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  e.  B )
2518, 21, 23, 24syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  e.  B
)
26 simp1r 982 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
2719, 7lhpbase 30484 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2826, 27syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
295, 14, 6hlatlej2 29862 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
301, 10, 13, 29syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
31 cdlemk.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3219, 5, 14, 31, 6atmod3i1 30350 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X `  P )  e.  A  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  ( X `  P
)  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) ) )  ->  (
( X `  P
)  .\/  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
331, 13, 25, 28, 30, 32syl131anc 1197 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) ) )
347, 8ltrncnv 30632 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
352, 3, 34syl2anc 643 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
367, 8ltrnco 31205 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
372, 11, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
385, 6, 7, 8ltrnel 30625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
393, 38syld3an2 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
40 cdlemk.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
415, 14, 31, 6, 7, 8, 40trlval2 30649 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
422, 37, 39, 41syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
4319, 7, 8ltrn1o 30610 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
442, 3, 43syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
45 f1ococnv1 5667 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4644, 45syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4746coeq2d 4998 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( X  o.  (  _I  |`  B ) ) )
4819, 7, 8ltrn1o 30610 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T
)  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
492, 11, 48syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
50 f1of 5637 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B -1-1-onto-> B  ->  X : B
--> B )
51 fcoi1 5580 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B --> B  -> 
( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5249, 50, 513syl 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5347, 52eqtr2d 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) ) )
54 coass 5351 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) )
5553, 54syl6eqr 2458 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) )
5655fveq1d 5693 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )
)
575, 6, 7, 8ltrncoval 30631 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
582, 37, 3, 4, 57syl121anc 1189 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
5956, 58eqtrd 2440 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )
6059oveq2d 6060 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) )
6160eqcomd 2413 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) ) )
6261oveq1d 6059 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) 
./\  W )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6342, 62eqtrd 2440 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6463oveq2d 6060 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F
) ) )  =  ( ( X `  P )  .\/  (
( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  W )
) )
655, 6, 7, 8ltrnel 30625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
6611, 65syld3an2 1231 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
67 eqid 2408 . . . . . . 7  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
685, 14, 67, 6, 7lhpjat2 30507 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X `
 P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )  -> 
( ( X `  P )  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
692, 66, 68syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
7069oveq2d 6060 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( 1. `  K ) ) )
71 hlol 29848 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
721, 71syl 16 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
7319, 31, 67olm11 29714 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B )  ->  ( ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7472, 25, 73syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7570, 74eqtr2d 2441 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
7633, 64, 753eqtr4rd 2451 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( X `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
7716, 76breqtrd 4200 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721   class class class wbr 4176    _I cid 4457   `'ccnv 4840    |` cres 4843    o. ccom 4845   -->wf 5413   -1-1-onto->wf1o 5416   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   Basecbs 13428   lecple 13495   joincjn 14360   meetcmee 14361   1.cp1 14426   Latclat 14433   OLcol 29661   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LHypclh 30470   LTrncltrn 30587   trLctrl 30644
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  31321
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-op 3787  df-uni 3980  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-id 4462  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-undef 6506  df-riota 6512  df-map 6983  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645
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