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Theorem cdlemk4 30302
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use  X for their h, since  H is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
cdlemk4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 979 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 simp3l 983 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
5 cdlemk.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemk.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemk.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemk.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 29608 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
102, 3, 4, 9syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
11 simp2r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  e.  T )
125, 6, 7, 8ltrnat 29608 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( X `  P )  e.  A
)
132, 11, 4, 12syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  A
)
14 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
155, 14, 6hlatlej1 28843 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
161, 10, 13, 15syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
17 hllat 28832 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
181, 17syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
19 cdlemk.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2019, 6atbase 28758 . . . . . 6  |-  ( ( F `  P )  e.  A  ->  ( F `  P )  e.  B )
2110, 20syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  B
)
2219, 6atbase 28758 . . . . . 6  |-  ( ( X `  P )  e.  A  ->  ( X `  P )  e.  B )
2313, 22syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  B
)
2419, 14latjcl 14152 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  P )  e.  B  /\  ( X `  P )  e.  B )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  e.  B )
2518, 21, 23, 24syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  e.  B
)
26 simp1r 980 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
2719, 7lhpbase 29466 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2826, 27syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
295, 14, 6hlatlej2 28844 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
301, 10, 13, 29syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
31 cdlemk.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3219, 5, 14, 31, 6atmod3i1 29332 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X `  P )  e.  A  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  ( X `  P
)  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) ) )  ->  (
( X `  P
)  .\/  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
331, 13, 25, 28, 30, 32syl131anc 1195 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) ) )
347, 8ltrncnv 29614 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
352, 3, 34syl2anc 642 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
367, 8ltrnco 30187 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
372, 11, 35, 36syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
385, 6, 7, 8ltrnel 29607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
393, 38syld3an2 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
40 cdlemk.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
415, 14, 31, 6, 7, 8, 40trlval2 29631 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
422, 37, 39, 41syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
4319, 7, 8ltrn1o 29592 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
442, 3, 43syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
45 f1ococnv1 5468 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4644, 45syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4746coeq2d 4845 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( X  o.  (  _I  |`  B ) ) )
4819, 7, 8ltrn1o 29592 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T
)  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
492, 11, 48syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
50 f1of 5438 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B -1-1-onto-> B  ->  X : B
--> B )
51 fcoi1 5381 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B --> B  -> 
( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5249, 50, 513syl 18 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5347, 52eqtr2d 2317 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) ) )
54 coass 5189 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) )
5553, 54syl6eqr 2334 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) )
5655fveq1d 5488 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )
)
575, 6, 7, 8ltrncoval 29613 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
582, 37, 3, 4, 57syl121anc 1187 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
5956, 58eqtrd 2316 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )
6059oveq2d 5836 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) )
6160eqcomd 2289 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) ) )
6261oveq1d 5835 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) 
./\  W )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6342, 62eqtrd 2316 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6463oveq2d 5836 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F
) ) )  =  ( ( X `  P )  .\/  (
( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  W )
) )
655, 6, 7, 8ltrnel 29607 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
6611, 65syld3an2 1229 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
67 eqid 2284 . . . . . . 7  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
685, 14, 67, 6, 7lhpjat2 29489 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X `
 P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )  -> 
( ( X `  P )  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
692, 66, 68syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
7069oveq2d 5836 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( 1. `  K ) ) )
71 hlol 28830 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
721, 71syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
7319, 31, 67olm11 28696 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B )  ->  ( ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7472, 25, 73syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7570, 74eqtr2d 2317 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
7633, 64, 753eqtr4rd 2327 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( X `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
7716, 76breqtrd 4048 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   class class class wbr 4024    _I cid 4303   `'ccnv 4687    |` cres 4690    o. ccom 4692   -->wf 5217   -1-1-onto->wf1o 5220   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   Basecbs 13144   lecple 13211   joincjn 14074   meetcmee 14075   1.cp1 14140   Latclat 14147   OLcol 28643   Atomscatm 28732   HLchlt 28819   LHypclh 29452   LTrncltrn 29569   trLctrl 29626
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  30303
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-map 6770  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456  df-laut 29457  df-ldil 29572  df-ltrn 29573  df-trl 29627
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