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Theorem cdlemk4 30273
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118, last line. We use  X for their h, since  H is already used. (Contributed by NM, 24-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
cdlemk4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk4
StepHypRef Expression
1 simp1l 984 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
2 simp1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 986 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
4 simp3l 988 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
5 cdlemk.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
6 cdlemk.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
7 cdlemk.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
8 cdlemk.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
95, 6, 7, 8ltrnat 29579 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( F `  P )  e.  A
)
102, 3, 4, 9syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  A
)
11 simp2r 987 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  e.  T )
125, 6, 7, 8ltrnat 29579 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( X `  P )  e.  A
)
132, 11, 4, 12syl3anc 1187 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  A
)
14 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
155, 14, 6hlatlej1 28814 . . 3  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
161, 10, 13, 15syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
17 hllat 28803 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
181, 17syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  Lat )
19 cdlemk.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
2019, 6atbase 28729 . . . . . 6  |-  ( ( F `  P )  e.  A  ->  ( F `  P )  e.  B )
2110, 20syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  e.  B
)
2219, 6atbase 28729 . . . . . 6  |-  ( ( X `  P )  e.  A  ->  ( X `  P )  e.  B )
2313, 22syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  e.  B
)
2419, 14latjcl 14119 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( F `  P )  e.  B  /\  ( X `  P )  e.  B )  ->  (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  e.  B )
2518, 21, 23, 24syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  e.  B
)
26 simp1r 985 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  H )
2719, 7lhpbase 29437 . . . . 5  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  B )
2826, 27syl 17 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  W  e.  B )
295, 14, 6hlatlej2 28815 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( F `  P )  e.  A  /\  ( X `  P )  e.  A )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
) )
301, 10, 13, 29syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  .<_  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
31 cdlemk.m . . . . 5  |-  ./\  =  ( meet `  K )
3219, 5, 14, 31, 6atmod3i1 29303 . . . 4  |-  ( ( K  e.  HL  /\  ( ( X `  P )  e.  A  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B  /\  W  e.  B )  /\  ( X `  P
)  .<_  ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) ) )  ->  (
( X `  P
)  .\/  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W ) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
331, 13, 25, 28, 30, 32syl131anc 1200 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)  =  ( ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) ) )
347, 8ltrncnv 29585 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
352, 3, 34syl2anc 645 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' F  e.  T )
367, 8ltrnco 30158 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
372, 11, 35, 36syl3anc 1187 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
385, 6, 7, 8ltrnel 29578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
393, 38syld3an2 1234 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )
40 cdlemk.r . . . . . . 7  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
415, 14, 31, 6, 7, 8, 40trlval2 29602 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  ( ( F `  P )  e.  A  /\  -.  ( F `  P )  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
422, 37, 39, 41syl3anc 1187 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  ./\  W
) )
4319, 7, 8ltrn1o 29563 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
442, 3, 43syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  F : B
-1-1-onto-> B )
45 f1ococnv1 5440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( F : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4644, 45syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' F  o.  F )  =  (  _I  |`  B ) )
4746coeq2d 4834 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' F  o.  F ) )  =  ( X  o.  (  _I  |`  B ) ) )
4819, 7, 8ltrn1o 29563 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T
)  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
492, 11, 48syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
50 f1of 5410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B -1-1-onto-> B  ->  X : B
--> B )
51 fcoi1 5353 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( X : B --> B  -> 
( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5249, 50, 513syl 20 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
5347, 52eqtr2d 2291 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) ) )
54 coass 5178 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( X  o.  `' F
)  o.  F )  =  ( X  o.  ( `' F  o.  F
) )
5553, 54syl6eqr 2308 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  =  ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) )
5655fveq1d 5460 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )
)
575, 6, 7, 8ltrncoval 29584 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  o.  `' F )  e.  T  /\  F  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
582, 37, 3, 4, 57syl121anc 1192 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' F )  o.  F
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `
 ( F `  P ) ) )
5956, 58eqtrd 2290 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )
6059oveq2d 5808 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) )
6160eqcomd 2263 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( ( X  o.  `' F ) `  ( F `  P )
) )  =  ( ( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) ) )
6261oveq1d 5807 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' F
) `  ( F `  P ) ) ) 
./\  W )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6342, 62eqtrd 2290 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  =  ( ( ( F `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  W )
)
6463oveq2d 5808 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F
) ) )  =  ( ( X `  P )  .\/  (
( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  W )
) )
655, 6, 7, 8ltrnel 29578 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
6611, 65syld3an2 1234 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )
67 eqid 2258 . . . . . . 7  |-  ( 1.
`  K )  =  ( 1. `  K
)
685, 14, 67, 6, 7lhpjat2 29460 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X `
 P )  e.  A  /\  -.  ( X `  P )  .<_  W ) )  -> 
( ( X `  P )  .\/  W
)  =  ( 1.
`  K ) )
692, 66, 68syl2anc 645 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X `  P )  .\/  W )  =  ( 1. `  K ) )
7069oveq2d 5808 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( 1. `  K ) ) )
71 hlol 28801 . . . . . 6  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  OL )
721, 71syl 17 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  K  e.  OL )
7319, 31, 67olm11 28667 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  OL  /\  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B )  ->  ( ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7472, 25, 73syl2anc 645 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( F `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( 1. `  K ) )  =  ( ( F `  P ) 
.\/  ( X `  P ) ) )
7570, 74eqtr2d 2291 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( X `  P )  .\/  W ) ) )
7633, 64, 753eqtr4rd 2301 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( F `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( X `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
7716, 76breqtrd 4021 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  .<_  ( ( X `  P ) 
.\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   class class class wbr 3997    _I cid 4276   `'ccnv 4660    |` cres 4663    o. ccom 4665   -->wf 4669   -1-1-onto->wf1o 4672   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   Basecbs 13111   lecple 13178   joincjn 14041   meetcmee 14042   1.cp1 14107   Latclat 14114   OLcol 28614   Atomscatm 28703   HLchlt 28790   LHypclh 29423   LTrncltrn 29540   trLctrl 29597
This theorem is referenced by:  cdlemk5a  30274
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-map 6742  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-p1 14109  df-lat 14115  df-clat 14177  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-llines 28937  df-lplanes 28938  df-lvols 28939  df-lines 28940  df-psubsp 28942  df-pmap 28943  df-padd 29235  df-lhyp 29427  df-laut 29428  df-ldil 29543  df-ltrn 29544  df-trl 29598
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