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Theorem cdlemk8 31697
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 26-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
cdlemk8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk8
StepHypRef Expression
1 coass 5390 . . . . . 6  |-  ( ( X  o.  `' G
)  o.  G )  =  ( X  o.  ( `' G  o.  G
) )
2 simp1 958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 984 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
4 cdlemk.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cdlemk.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdlemk.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
74, 5, 6ltrn1o 30983 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
82, 3, 7syl2anc 644 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
9 f1ococnv1 5706 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
108, 9syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
1110coeq2d 5037 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' G  o.  G ) )  =  ( X  o.  (  _I  |`  B ) ) )
12 simp2r 985 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  e.  T )
134, 5, 6ltrn1o 30983 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T
)  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
142, 12, 13syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
15 f1of 5676 . . . . . . . 8  |-  ( X : B -1-1-onto-> B  ->  X : B
--> B )
16 fcoi1 5619 . . . . . . . 8  |-  ( X : B --> B  -> 
( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
1714, 15, 163syl 19 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
1811, 17eqtrd 2470 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' G  o.  G ) )  =  X )
191, 18syl5eq 2482 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X  o.  `' G
)  o.  G )  =  X )
2019fveq1d 5732 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' G )  o.  G
) `  P )  =  ( X `  P ) )
215, 6ltrncnv 31005 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
222, 3, 21syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' G  e.  T )
235, 6ltrnco 31578 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' G )  e.  T
)
242, 12, 22, 23syl3anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  `' G )  e.  T
)
25 simp3l 986 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
26 cdlemk.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
27 cdlemk.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2826, 27, 5, 6ltrncoval 31004 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  o.  `' G )  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( X  o.  `' G )  o.  G
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' G ) `
 ( G `  P ) ) )
292, 24, 3, 25, 28syl121anc 1190 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' G )  o.  G
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' G ) `
 ( G `  P ) ) )
3020, 29eqtr3d 2472 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( X  o.  `' G ) `  ( G `  P )
) )
3130oveq2d 6099 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' G
) `  ( G `  P ) ) ) )
3226, 27, 5, 6ltrnel 30998 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
33323adant2r 1180 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
34 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
35 cdlemk.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
3626, 34, 27, 5, 6, 35trljat1 31025 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' G )  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G
) ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  (
( X  o.  `' G ) `  ( G `  P )
) ) )
372, 24, 33, 36syl3anc 1185 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G
) ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  (
( X  o.  `' G ) `  ( G `  P )
) ) )
3831, 37eqtr4d 2473 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 360    /\ w3a 937    = wceq 1653    e. wcel 1726   class class class wbr 4214    _I cid 4495   `'ccnv 4879    |` cres 4882    o. ccom 4884   -->wf 5452   -1-1-onto->wf1o 5455   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Basecbs 13471   lecple 13538   joincjn 14403   meetcmee 14404   Atomscatm 30123   HLchlt 30210   LHypclh 30843   LTrncltrn 30960   trLctrl 31017
This theorem is referenced by:  cdlemk9  31698  cdlemk9bN  31699
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-op 3825  df-uni 4018  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-id 4500  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-undef 6545  df-riota 6551  df-map 7022  df-poset 14405  df-plt 14417  df-lub 14433  df-glb 14434  df-join 14435  df-meet 14436  df-p0 14470  df-p1 14471  df-lat 14477  df-clat 14539  df-oposet 30036  df-ol 30038  df-oml 30039  df-covers 30126  df-ats 30127  df-atl 30158  df-cvlat 30182  df-hlat 30211  df-llines 30357  df-lplanes 30358  df-lvols 30359  df-lines 30360  df-psubsp 30362  df-pmap 30363  df-padd 30655  df-lhyp 30847  df-laut 30848  df-ldil 30963  df-ltrn 30964  df-trl 31018
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