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Theorem cdlemk8 31027
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 26-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
Assertion
Ref Expression
cdlemk8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G ) ) ) )

Proof of Theorem cdlemk8
StepHypRef Expression
1 coass 5191 . . . . . 6  |-  ( ( X  o.  `' G
)  o.  G )  =  ( X  o.  ( `' G  o.  G
) )
2 simp1 955 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 981 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
4 cdlemk.b . . . . . . . . . . 11  |-  B  =  ( Base `  K
)
5 cdlemk.h . . . . . . . . . . 11  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdlemk.t . . . . . . . . . . 11  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
74, 5, 6ltrn1o 30313 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
82, 3, 7syl2anc 642 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  G : B
-1-1-onto-> B )
9 f1ococnv1 5502 . . . . . . . . 9  |-  ( G : B -1-1-onto-> B  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
108, 9syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( `' G  o.  G )  =  (  _I  |`  B ) )
1110coeq2d 4846 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' G  o.  G ) )  =  ( X  o.  (  _I  |`  B ) ) )
12 simp2r 982 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X  e.  T )
134, 5, 6ltrn1o 30313 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T
)  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
142, 12, 13syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  X : B
-1-1-onto-> B )
15 f1of 5472 . . . . . . . 8  |-  ( X : B -1-1-onto-> B  ->  X : B
--> B )
16 fcoi1 5415 . . . . . . . 8  |-  ( X : B --> B  -> 
( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
1714, 15, 163syl 18 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  (  _I  |`  B ) )  =  X )
1811, 17eqtrd 2315 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  ( `' G  o.  G ) )  =  X )
191, 18syl5eq 2327 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( X  o.  `' G
)  o.  G )  =  X )
2019fveq1d 5527 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' G )  o.  G
) `  P )  =  ( X `  P ) )
215, 6ltrncnv 30335 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T
)  ->  `' G  e.  T )
222, 3, 21syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  `' G  e.  T )
235, 6ltrnco 30908 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' G  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' G )  e.  T
)
242, 12, 22, 23syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X  o.  `' G )  e.  T
)
25 simp3l 983 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
26 cdlemk.l . . . . . 6  |-  .<_  =  ( le `  K )
27 cdlemk.a . . . . . 6  |-  A  =  ( Atoms `  K )
2826, 27, 5, 6ltrncoval 30334 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( X  o.  `' G )  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( X  o.  `' G )  o.  G
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' G ) `
 ( G `  P ) ) )
292, 24, 3, 25, 28syl121anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( X  o.  `' G )  o.  G
) `  P )  =  ( ( X  o.  `' G ) `
 ( G `  P ) ) )
3020, 29eqtr3d 2317 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( X `  P )  =  ( ( X  o.  `' G ) `  ( G `  P )
) )
3130oveq2d 5874 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( ( X  o.  `' G
) `  ( G `  P ) ) ) )
3226, 27, 5, 6ltrnel 30328 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
33323adant2r 1177 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )
34 cdlemk.j . . . 4  |-  .\/  =  ( join `  K )
35 cdlemk.r . . . 4  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
3626, 34, 27, 5, 6, 35trljat1 30355 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' G )  e.  T  /\  ( ( G `  P )  e.  A  /\  -.  ( G `  P )  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G
) ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  (
( X  o.  `' G ) `  ( G `  P )
) ) )
372, 24, 33, 36syl3anc 1182 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G
) ) )  =  ( ( G `  P )  .\/  (
( X  o.  `' G ) `  ( G `  P )
) ) )
3831, 37eqtr4d 2318 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P
) )  =  ( ( G `  P
)  .\/  ( R `  ( X  o.  `' G ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1684   class class class wbr 4023    _I cid 4304   `'ccnv 4688    |` cres 4691    o. ccom 4693   -->wf 5251   -1-1-onto->wf1o 5254   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   Basecbs 13148   lecple 13215   joincjn 14078   meetcmee 14079   Atomscatm 29453   HLchlt 29540   LHypclh 30173   LTrncltrn 30290   trLctrl 30347
This theorem is referenced by:  cdlemk9  31028  cdlemk9bN  31029
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-op 3649  df-uni 3828  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-id 4309  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-undef 6298  df-riota 6304  df-map 6774  df-poset 14080  df-plt 14092  df-lub 14108  df-glb 14109  df-join 14110  df-meet 14111  df-p0 14145  df-p1 14146  df-lat 14152  df-clat 14214  df-oposet 29366  df-ol 29368  df-oml 29369  df-covers 29456  df-ats 29457  df-atl 29488  df-cvlat 29512  df-hlat 29541  df-llines 29687  df-lplanes 29688  df-lvols 29689  df-lines 29690  df-psubsp 29692  df-pmap 29693  df-padd 29985  df-lhyp 30177  df-laut 30178  df-ldil 30293  df-ltrn 30294  df-trl 30348
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