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Theorem cdlemkvcl 31566
Description: Part of proof of Lemma K of [Crawley] p. 118. (Contributed by NM, 27-Jun-2013.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemk.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemk.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemk.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemk.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemk.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemk.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemk.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemk.m  |-  ./\  =  ( meet `  K )
cdlemk.v1  |-  V  =  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemkvcl  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  V  e.  B )

Proof of Theorem cdlemkvcl
StepHypRef Expression
1 cdlemk.v1 . 2  |-  V  =  ( ( ( G `
 P )  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )
2 simp1l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  K  e.  HL )
3 hllat 30088 . . . 4  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
42, 3syl 16 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  K  e.  Lat )
5 simp1 957 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
6 simp22 991 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  G  e.  T )
7 cdlemk.b . . . . . . 7  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 cdlemk.a . . . . . . 7  |-  A  =  ( Atoms `  K )
97, 8atbase 30014 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  B )
1093ad2ant3 980 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  P  e.  B )
11 cdlemk.h . . . . . 6  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
12 cdlemk.t . . . . . 6  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
137, 11, 12ltrncl 30849 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( G `  P )  e.  B
)
145, 6, 10, 13syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( G `  P )  e.  B )
15 simp23 992 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  X  e.  T )
167, 11, 12ltrncl 30849 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  P  e.  B
)  ->  ( X `  P )  e.  B
)
175, 15, 10, 16syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( X `  P )  e.  B )
18 cdlemk.j . . . . 5  |-  .\/  =  ( join `  K )
197, 18latjcl 14471 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( G `  P )  e.  B  /\  ( X `  P )  e.  B )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  e.  B )
204, 14, 17, 19syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  e.  B )
21 simp21 990 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  F  e.  T )
2211, 12ltrncnv 30870 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  `' F  e.  T )
235, 21, 22syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  `' F  e.  T )
2411, 12ltrnco 31443 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  G  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( G  o.  `' F )  e.  T
)
255, 6, 23, 24syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( G  o.  `' F
)  e.  T )
26 cdlemk.r . . . . . 6  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
277, 11, 12, 26trlcl 30888 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( G  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
285, 25, 27syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B )
2911, 12ltrnco 31443 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  X  e.  T  /\  `' F  e.  T
)  ->  ( X  o.  `' F )  e.  T
)
305, 15, 23, 29syl3anc 1184 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( X  o.  `' F
)  e.  T )
317, 11, 12, 26trlcl 30888 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( X  o.  `' F )  e.  T
)  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  e.  B )
325, 30, 31syl2anc 643 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  e.  B )
337, 18latjcl 14471 . . . 4  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( R `  ( G  o.  `' F ) )  e.  B  /\  ( R `  ( X  o.  `' F ) )  e.  B )  ->  ( ( R `
 ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) )  e.  B
)
344, 28, 32, 33syl3anc 1184 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( R `  ( G  o.  `' F
) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) )  e.  B )
35 cdlemk.m . . . 4  |-  ./\  =  ( meet `  K )
367, 35latmcl 14472 . . 3  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( G `  P )  .\/  ( X `  P )
)  e.  B  /\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) )  e.  B
)  ->  ( (
( G `  P
)  .\/  ( X `  P ) )  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )  e.  B )
374, 20, 34, 36syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  (
( ( G `  P )  .\/  ( X `  P )
)  ./\  ( ( R `  ( G  o.  `' F ) )  .\/  ( R `  ( X  o.  `' F ) ) ) )  e.  B )
381, 37syl5eqel 2519 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  G  e.  T  /\  X  e.  T )  /\  P  e.  A )  ->  V  e.  B )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1652    e. wcel 1725   `'ccnv 4869    o. ccom 4874   ` cfv 5446  (class class class)co 6073   Basecbs 13461   lecple 13528   joincjn 14393   meetcmee 14394   Latclat 14466   Atomscatm 29988   HLchlt 30075   LHypclh 30708   LTrncltrn 30825   trLctrl 30882
This theorem is referenced by:  cdlemk7  31572  cdlemk11  31573  cdlemk7u  31594  cdlemk11u  31595
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-op 3815  df-uni 4008  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-id 4490  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-undef 6535  df-riota 6541  df-map 7012  df-poset 14395  df-plt 14407  df-lub 14423  df-glb 14424  df-join 14425  df-meet 14426  df-p0 14460  df-p1 14461  df-lat 14467  df-clat 14529  df-oposet 29901  df-ol 29903  df-oml 29904  df-covers 29991  df-ats 29992  df-atl 30023  df-cvlat 30047  df-hlat 30076  df-llines 30222  df-lplanes 30223  df-lvols 30224  df-lines 30225  df-psubsp 30227  df-pmap 30228  df-padd 30520  df-lhyp 30712  df-laut 30713  df-ldil 30828  df-ltrn 30829  df-trl 30883
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