Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemm10N Unicode version

Theorem cdlemm10N 30475
Description: The image of the map  G is the entire one-dimensional subspace  ( I `  V ). Remark after Lemma M of [Crawley] p. 121 line 23. (Contributed by NM, 24-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemm10.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemm10.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemm10.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemm10.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemm10.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemm10.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemm10.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
cdlemm10.c  |-  C  =  { r  e.  A  |  ( r  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  r  .<_  W ) }
cdlemm10.f  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  s )
cdlemm10.g  |-  G  =  ( q  e.  C  |->  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  q ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemm10N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ran  G  =  ( I `  V
) )
Distinct variable groups:    f, r,
s,  .<_    .\/ , r    A, f,
r, s    s, q, C    G, s    f, H, s    f, K, s   
f, q, P, r, s    R, f, s    T, f, q, s    f, V, r, s    f, W, r, s
Allowed substitution hints:    A( q)    C( f, r)    R( r, q)    T( r)    F( f, s, r, q)    G( f, r, q)    H( r, q)    I( f, s, r, q)    .\/ ( f, s, q)    K( r, q)    .<_ ( q)    V( q)    W( q)

Proof of Theorem cdlemm10N
StepHypRef Expression
1 riotaex 6276 . . . . 5  |-  ( iota_ f  e.  T ( f `
 P )  =  q )  e.  _V
2 cdlemm10.g . . . . 5  |-  G  =  ( q  e.  C  |->  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  q ) )
31, 2fnmpti 5310 . . . 4  |-  G  Fn  C
4 fvelrnb 5504 . . . 4  |-  ( G  Fn  C  ->  (
g  e.  ran  G  <->  E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g ) )
53, 4ax-mp 10 . . 3  |-  ( g  e.  ran  G  <->  E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g )
6 eqeq2 2267 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  s  ->  (
( f `  P
)  =  q  <->  ( f `  P )  =  s ) )
76riotabidv 6274 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  s  ->  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  q )  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  s ) )
8 riotaex 6276 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ f  e.  T ( f `
 P )  =  s )  e.  _V
97, 2, 8fvmpt 5536 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  C  ->  ( G `  s )  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  s ) )
10 cdlemm10.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  s )
119, 10syl6eqr 2308 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  C  ->  ( G `  s )  =  F )
1211adantl 454 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  ( G `  s )  =  F )
1312eqeq1d 2266 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  (
( G `  s
)  =  g  <->  F  =  g ) )
1413rexbidva 2535 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <->  E. s  e.  C  F  =  g )
)
15 simpl1 963 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simprl 735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
g  e.  T )
17 simpl2l 1013 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  P  e.  A )
18 cdlemm10.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 cdlemm10.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
20 cdlemm10.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
21 cdlemm10.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
2218, 19, 20, 21ltrnat 29496 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( g `  P )  e.  A
)
2315, 16, 17, 22syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  A )
24 eqid 2258 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
25 simpl1l 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  K  e.  HL )
26 hllat 28720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2725, 26syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  K  e.  Lat )
2824, 19atbase 28646 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2917, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
3024, 20, 21ltrncl 29481 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( g `  P )  e.  (
Base `  K )
)
3115, 16, 29, 30syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
32 cdlemm10.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .\/  =  ( join `  K )
3324, 32latjcl 14118 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  (
g `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( g `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
3427, 29, 31, 33syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  (
g `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
35 simpl3l 1015 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  V  e.  A )
3624, 32, 19hlatjcl 28723 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3725, 17, 35, 36syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3824, 18, 32latlej2 14129 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  (
g `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
g `  P )  .<_  ( P  .\/  (
g `  P )
) )
3927, 29, 31, 38syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  ( g `  P
) ) )
40 simpl2 964 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
41 cdlemm10.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4218, 32, 19, 20, 21, 41trljat1 29522 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  g
) )  =  ( P  .\/  ( g `
 P ) ) )
4315, 16, 40, 42syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  =  ( P 
.\/  ( g `  P ) ) )
44 simprr 736 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( R `  g
)  .<_  V )
4524, 20, 21, 41trlcl 29520 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T
)  ->  ( R `  g )  e.  (
Base `  K )
)
4615, 16, 45syl2anc 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( R `  g
)  e.  ( Base `  K ) )
4724, 19atbase 28646 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
4835, 47syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  V  e.  ( Base `  K ) )
4924, 18, 32latjlej2 14134 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  g )  e.  (
Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `
 g )  .<_  V  ->  ( P  .\/  ( R `  g ) )  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5027, 46, 48, 29, 49syl13anc 1189 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( ( R `  g )  .<_  V  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5144, 50mpd 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5243, 51eqbrtrrd 4019 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  (
g `  P )
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5324, 18, 27, 31, 34, 37, 39, 52lattrd 14126 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5418, 19, 20, 21ltrnel 29495 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
g `  P )  e.  A  /\  -.  (
g `  P )  .<_  W ) )
5554simprd 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  (
g `  P )  .<_  W )
5615, 16, 40, 55syl3anc 1187 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  -.  ( g `  P
)  .<_  W )
5753, 56jca 520 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  ( g `  P
)  .<_  W ) )
58 breq1 4000 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  V )  <->  ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
59 breq1 4000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
r  .<_  W  <->  ( g `  P )  .<_  W ) )
6059notbid 287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  ( -.  r  .<_  W  <->  -.  (
g `  P )  .<_  W ) )
6158, 60anbi12d 694 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
( r  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  r  .<_  W )  <-> 
( ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  ( g `  P
)  .<_  W ) ) )
62 cdlemm10.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  { r  e.  A  |  ( r  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  r  .<_  W ) }
6361, 62elrab2 2900 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  P )  e.  C  <->  ( (
g `  P )  e.  A  /\  (
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  (
g `  P )  .<_  W ) ) )
6423, 57, 63sylanbrc 648 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  C )
6518, 19, 20, 21cdlemeiota 29941 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  g  e.  T )  ->  g  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
6615, 40, 16, 65syl3anc 1187 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
g  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 P )  =  ( g `  P
) ) )
6766eqcomd 2263 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  ( g `
 P ) )  =  g )
68 eqeq2 2267 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  (
( f `  P
)  =  s  <->  ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
6968riotabidv 6274 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  s )  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  ( g `
 P ) ) )
7010, 69syl5eq 2302 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
7170eqeq1d 2266 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  ( F  =  g  <->  ( iota_ f  e.  T ( f `
 P )  =  ( g `  P
) )  =  g ) )
7271rcla4ev 2859 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g `  P
)  e.  C  /\  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  ( g `
 P ) )  =  g )  ->  E. s  e.  C  F  =  g )
7364, 67, 72syl2anc 645 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  E. s  e.  C  F  =  g )
7473ex 425 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V )  ->  E. s  e.  C  F  =  g ) )
75 breq1 4000 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  V )  <->  s  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
76 breq1 4000 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .<_  W  <->  s  .<_  W ) )
7776notbid 287 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  s  ->  ( -.  r  .<_  W  <->  -.  s  .<_  W ) )
7875, 77anbi12d 694 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  s  ->  (
( r  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  r  .<_  W )  <-> 
( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )
7978, 62elrab2 2900 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  C  <->  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )
80 simpl1 963 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
81 simpl2l 1013 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  A )
82 simpl2r 1014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  -.  P  .<_  W )
83 simprl 735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  A )
84 simprrr 744 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
8518, 19, 20, 21, 10ltrniotacl 29935 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
8618, 19, 20, 21, 10ltrniotaval 29937 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  s )
8785, 86jca 520 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )
8880, 81, 82, 83, 84, 87syl122anc 1196 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )
89 simp3l 988 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  F  e.  T
)
90 simp11 990 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91 simp12 991 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
92 eqid 2258 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
9318, 32, 92, 19, 20, 21, 41trlval2 29519 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
9490, 89, 91, 93syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
95 simp3r 989 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( F `  P )  =  s )
9695oveq2d 5808 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P ) )  =  ( P 
.\/  s ) )
9796oveq1d 5807 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W ) )
9894, 97eqtrd 2290 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W ) )
99 simpl1l 1011 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
100 simpl3l 1015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
10118, 32, 19hlatlej1 28731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  V ) )
10299, 81, 100, 101syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  V
) )
103 simprrl 743 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  V
) )
10499, 26syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
10581, 28syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
10624, 19atbase 28646 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
107106ad2antrl 711 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
10899, 81, 100, 36syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
10924, 18, 32latjle12 14130 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  s  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( P  .\/  V )  /\  s  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( P  .\/  s
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
110104, 105, 107, 108, 109syl13anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  s  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( P  .\/  s )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
111102, 103, 110mpbi2and 892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  s )  .<_  ( P  .\/  V ) )
11224, 32, 19hlatjcl 28723 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  s  e.  A )  ->  ( P  .\/  s
)  e.  ( Base `  K ) )
11399, 81, 83, 112syl3anc 1187 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  s )  e.  ( Base `  K
) )
114 simpl1r 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H )
11524, 20lhpbase 29354 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
116114, 115syl 17 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
11724, 18, 92latmlem1 14149 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  s )  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  s )  .<_  ( P 
.\/  V )  -> 
( ( P  .\/  s ) ( meet `  K ) W ) 
.<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) ) )
118104, 113, 108, 116, 117syl13anc 1189 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
)  .<_  ( P  .\/  V )  ->  ( ( P  .\/  s ) (
meet `  K ) W )  .<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) ) )
119111, 118mpd 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W )  .<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) )
12018, 32, 92, 19, 20lhpat4N 29400 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  V ) (
meet `  K ) W )  =  V )
121120adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  V
) ( meet `  K
) W )  =  V )
122119, 121breqtrd 4021 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W )  .<_  V )
1231223adant3 980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( ( P 
.\/  s ) (
meet `  K ) W )  .<_  V )
12498, 123eqbrtrd 4017 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  .<_  V )
12589, 124jca 520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `
 F )  .<_  V ) )
12688, 125mpd3an3 1283 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V ) )
12779, 126sylan2b 463 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V ) )
128127ex 425 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( s  e.  C  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F )  .<_  V ) ) )
129 eleq1 2318 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  g  ->  ( F  e.  T  <->  g  e.  T ) )
130 fveq2 5458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  g  ->  ( R `  F )  =  ( R `  g ) )
131130breq1d 4007 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  g  ->  (
( R `  F
)  .<_  V  <->  ( R `  g )  .<_  V ) )
132129, 131anbi12d 694 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  g  ->  (
( F  e.  T  /\  ( R `  F
)  .<_  V )  <->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V ) ) )
133132biimpcd 217 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V )  ->  ( F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) ) )
134128, 133syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( s  e.  C  ->  ( F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V ) ) ) )
135134rexlimdv 2641 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `
 g )  .<_  V ) ) )
13674, 135impbid 185 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V )  <->  E. s  e.  C  F  =  g ) )
13714, 136bitr4d 249 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
( g  e.  T  /\  ( R `  g
)  .<_  V ) ) )
138 fveq2 5458 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( R `  f )  =  ( R `  g ) )
139138breq1d 4007 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  V  <->  ( R `  g )  .<_  V ) )
140139elrab 2898 . . . . 5  |-  ( g  e.  { f  e.  T  |  ( R `
 f )  .<_  V }  <->  ( g  e.  T  /\  ( R `
 g )  .<_  V ) )
141137, 140syl6bbr 256 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
g  e.  { f  e.  T  |  ( R `  f ) 
.<_  V } ) )
142 simp1l 984 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
143 simp1r 985 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  W  e.  H
)
144 simp3l 988 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  e.  A
)
145144, 47syl 17 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  e.  (
Base `  K )
)
146 simp3r 989 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  .<_  W )
147 cdlemm10.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
14824, 18, 20, 21, 41, 147diaval 30389 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( V  e.  ( Base `  K
)  /\  V  .<_  W ) )  ->  (
I `  V )  =  { f  e.  T  |  ( R `  f )  .<_  V }
)
149142, 143, 145, 146, 148syl22anc 1188 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( I `  V )  =  {
f  e.  T  | 
( R `  f
)  .<_  V } )
150149eleq2d 2325 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( g  e.  ( I `  V
)  <->  g  e.  {
f  e.  T  | 
( R `  f
)  .<_  V } ) )
151141, 150bitr4d 249 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
g  e.  ( I `
 V ) ) )
1525, 151syl5bb 250 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( g  e. 
ran  G  <->  g  e.  ( I `  V ) ) )
153152eqrdv 2256 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ran  G  =  ( I `  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   E.wrex 2519   {crab 2522   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051   ran crn 4662    Fn wfn 4668   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   iota_crio 6263   Basecbs 13110   lecple 13177   joincjn 14040   meetcmee 14041   Latclat 14113   Atomscatm 28620   HLchlt 28707   LHypclh 29340   LTrncltrn 29457   trLctrl 29514   DIsoAcdia 30385
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-op 3623  df-uni 3802  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-id 4281  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-map 6742  df-poset 14042  df-plt 14054  df-lub 14070  df-glb 14071  df-join 14072  df-meet 14073  df-p0 14107  df-p1 14108  df-lat 14114  df-clat 14176  df-oposet 28533  df-ol 28535  df-oml 28536  df-covers 28623  df-ats 28624  df-atl 28655  df-cvlat 28679  df-hlat 28708  df-llines 28854  df-lplanes 28855  df-lvols 28856  df-lines 28857  df-psubsp 28859  df-pmap 28860  df-padd 29152  df-lhyp 29344  df-laut 29345  df-ldil 29460  df-ltrn 29461  df-trl 29515  df-disoa 30386
  Copyright terms: Public domain W3C validator