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Theorem cdlemm10N 31284
Description: The image of the map  G is the entire one-dimensional subspace  ( I `  V ). Remark after Lemma M of [Crawley] p. 121 line 23. (Contributed by NM, 24-Nov-2013.) (New usage is discouraged.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemm10.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemm10.j  |-  .\/  =  ( join `  K )
cdlemm10.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemm10.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemm10.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemm10.r  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
cdlemm10.i  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
cdlemm10.c  |-  C  =  { r  e.  A  |  ( r  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  r  .<_  W ) }
cdlemm10.f  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  s )
cdlemm10.g  |-  G  =  ( q  e.  C  |->  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  q ) )
Assertion
Ref Expression
cdlemm10N  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ran  G  =  ( I `  V
) )
Distinct variable groups:    f, r,
s,  .<_    .\/ , r    A, f,
r, s    s, q, C    G, s    f, H, s    f, K, s   
f, q, P, r, s    R, f, s    T, f, q, s    f, V, r, s    f, W, r, s
Allowed substitution hints:    A( q)    C( f, r)    R( r, q)    T( r)    F( f, s, r, q)    G( f, r, q)    H( r, q)    I( f, s, r, q)    .\/ ( f, s, q)    K( r, q)    .<_ ( q)    V( q)    W( q)

Proof of Theorem cdlemm10N
Dummy variable  g is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 riotaex 6482 . . . . 5  |-  ( iota_ f  e.  T ( f `
 P )  =  q )  e.  _V
2 cdlemm10.g . . . . 5  |-  G  =  ( q  e.  C  |->  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  q ) )
31, 2fnmpti 5506 . . . 4  |-  G  Fn  C
4 fvelrnb 5706 . . . 4  |-  ( G  Fn  C  ->  (
g  e.  ran  G  <->  E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g ) )
53, 4ax-mp 8 . . 3  |-  ( g  e.  ran  G  <->  E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g )
6 eqeq2 2389 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( q  =  s  ->  (
( f `  P
)  =  q  <->  ( f `  P )  =  s ) )
76riotabidv 6480 . . . . . . . . . . 11  |-  ( q  =  s  ->  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  q )  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  s ) )
8 riotaex 6482 . . . . . . . . . . 11  |-  ( iota_ f  e.  T ( f `
 P )  =  s )  e.  _V
97, 2, 8fvmpt 5738 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  e.  C  ->  ( G `  s )  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  s ) )
10 cdlemm10.f . . . . . . . . . 10  |-  F  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  s )
119, 10syl6eqr 2430 . . . . . . . . 9  |-  ( s  e.  C  ->  ( G `  s )  =  F )
1211adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  ( G `  s )  =  F )
1312eqeq1d 2388 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  (
( G `  s
)  =  g  <->  F  =  g ) )
1413rexbidva 2659 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <->  E. s  e.  C  F  =  g )
)
15 simpl1 960 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
16 simprl 733 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
g  e.  T )
17 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  P  e.  A )
18 cdlemm10.l . . . . . . . . . . . 12  |-  .<_  =  ( le `  K )
19 cdlemm10.a . . . . . . . . . . . 12  |-  A  =  ( Atoms `  K )
20 cdlemm10.h . . . . . . . . . . . 12  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
21 cdlemm10.t . . . . . . . . . . . 12  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
2218, 19, 20, 21ltrnat 30305 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  P  e.  A
)  ->  ( g `  P )  e.  A
)
2315, 16, 17, 22syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  A )
24 eqid 2380 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
25 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  K  e.  HL )
26 hllat 29529 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( K  e.  HL  ->  K  e.  Lat )
2725, 26syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  K  e.  Lat )
2824, 19atbase 29455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2917, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  P  e.  ( Base `  K ) )
3024, 20, 21ltrncl 30290 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  P  e.  ( Base `  K ) )  ->  ( g `  P )  e.  (
Base `  K )
)
3115, 16, 29, 30syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  ( Base `  K ) )
32 cdlemm10.j . . . . . . . . . . . . . 14  |-  .\/  =  ( join `  K )
3324, 32latjcl 14399 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  (
g `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  ( P  .\/  ( g `  P ) )  e.  ( Base `  K
) )
3427, 29, 31, 33syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  (
g `  P )
)  e.  ( Base `  K ) )
35 simpl3l 1012 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  V  e.  A )
3624, 32, 19hlatjcl 29532 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3725, 17, 35, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K ) )
3824, 18, 32latlej2 14410 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  P  e.  ( Base `  K )  /\  (
g `  P )  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
g `  P )  .<_  ( P  .\/  (
g `  P )
) )
3927, 29, 31, 38syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  ( g `  P
) ) )
40 simpl2 961 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
41 cdlemm10.r . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  R  =  ( ( trL `  K
) `  W )
4218, 32, 19, 20, 21, 41trljat1 30331 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( P  .\/  ( R `  g
) )  =  ( P  .\/  ( g `
 P ) ) )
4315, 16, 40, 42syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  =  ( P 
.\/  ( g `  P ) ) )
44 simprr 734 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( R `  g
)  .<_  V )
4524, 20, 21, 41trlcl 30329 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T
)  ->  ( R `  g )  e.  (
Base `  K )
)
4615, 16, 45syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( R `  g
)  e.  ( Base `  K ) )
4724, 19atbase 29455 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( V  e.  A  ->  V  e.  ( Base `  K
) )
4835, 47syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  V  e.  ( Base `  K ) )
4924, 18, 32latjlej2 14415 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( R `  g )  e.  (
Base `  K )  /\  V  e.  ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K ) ) )  ->  ( ( R `
 g )  .<_  V  ->  ( P  .\/  ( R `  g ) )  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5027, 46, 48, 29, 49syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( ( R `  g )  .<_  V  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
5144, 50mpd 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  ( R `  g )
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5243, 51eqbrtrrd 4168 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( P  .\/  (
g `  P )
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5324, 18, 27, 31, 34, 37, 39, 52lattrd 14407 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  V ) )
5418, 19, 20, 21ltrnel 30304 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
g `  P )  e.  A  /\  -.  (
g `  P )  .<_  W ) )
5554simprd 450 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  g  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  -.  (
g `  P )  .<_  W )
5615, 16, 40, 55syl3anc 1184 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  -.  ( g `  P
)  .<_  W )
5753, 56jca 519 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  ( g `  P
)  .<_  W ) )
58 breq1 4149 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  V )  <->  ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
59 breq1 4149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
r  .<_  W  <->  ( g `  P )  .<_  W ) )
6059notbid 286 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  ( -.  r  .<_  W  <->  -.  (
g `  P )  .<_  W ) )
6158, 60anbi12d 692 . . . . . . . . . . 11  |-  ( r  =  ( g `  P )  ->  (
( r  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  r  .<_  W )  <-> 
( ( g `  P )  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  ( g `  P
)  .<_  W ) ) )
62 cdlemm10.c . . . . . . . . . . 11  |-  C  =  { r  e.  A  |  ( r  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  r  .<_  W ) }
6361, 62elrab2 3030 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( g `  P )  e.  C  <->  ( (
g `  P )  e.  A  /\  (
( g `  P
)  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  (
g `  P )  .<_  W ) ) )
6423, 57, 63sylanbrc 646 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( g `  P
)  e.  C )
6518, 19, 20, 21cdlemeiota 30750 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  g  e.  T )  ->  g  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
6615, 40, 16, 65syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
g  =  ( iota_ f  e.  T ( f `
 P )  =  ( g `  P
) ) )
6766eqcomd 2385 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  -> 
( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  ( g `
 P ) )  =  g )
68 eqeq2 2389 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  (
( f `  P
)  =  s  <->  ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
6968riotabidv 6480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  s )  =  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  ( g `
 P ) ) )
7010, 69syl5eq 2424 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  F  =  ( iota_ f  e.  T ( f `  P )  =  ( g `  P ) ) )
7170eqeq1d 2388 . . . . . . . . . 10  |-  ( s  =  ( g `  P )  ->  ( F  =  g  <->  ( iota_ f  e.  T ( f `
 P )  =  ( g `  P
) )  =  g ) )
7271rspcev 2988 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( g `  P
)  e.  C  /\  ( iota_ f  e.  T
( f `  P
)  =  ( g `
 P ) )  =  g )  ->  E. s  e.  C  F  =  g )
7364, 67, 72syl2anc 643 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) )  ->  E. s  e.  C  F  =  g )
7473ex 424 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V )  ->  E. s  e.  C  F  =  g ) )
75 breq1 4149 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .<_  ( P  .\/  V )  <->  s  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
76 breq1 4149 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( r  =  s  ->  (
r  .<_  W  <->  s  .<_  W ) )
7776notbid 286 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( r  =  s  ->  ( -.  r  .<_  W  <->  -.  s  .<_  W ) )
7875, 77anbi12d 692 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( r  =  s  ->  (
( r  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  r  .<_  W )  <-> 
( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )
7978, 62elrab2 3030 . . . . . . . . . . 11  |-  ( s  e.  C  <->  ( s  e.  A  /\  (
s  .<_  ( P  .\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )
80 simpl1 960 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
81 simpl2l 1010 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  A )
82 simpl2r 1011 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  -.  P  .<_  W )
83 simprl 733 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  A )
84 simprrr 742 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  -.  s  .<_  W )
8518, 19, 20, 21, 10ltrniotacl 30744 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
8618, 19, 20, 21, 10ltrniotaval 30746 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  s )
8785, 86jca 519 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  (
s  e.  A  /\  -.  s  .<_  W ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )
8880, 81, 82, 83, 84, 87syl122anc 1193 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )
89 simp3l 985 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  F  e.  T
)
90 simp11 987 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
91 simp12 988 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
92 eqid 2380 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( meet `  K )  =  (
meet `  K )
9318, 32, 92, 19, 20, 21, 41trlval2 30328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
9490, 89, 91, 93syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  ( F `  P )
) ( meet `  K
) W ) )
95 simp3r 986 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( F `  P )  =  s )
9695oveq2d 6029 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( P  .\/  ( F `  P ) )  =  ( P 
.\/  s ) )
9796oveq1d 6028 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( ( P 
.\/  ( F `  P ) ) (
meet `  K ) W )  =  ( ( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W ) )
9894, 97eqtrd 2412 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  =  ( ( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W ) )
99 simpl1l 1008 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  HL )
100 simpl3l 1012 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  V  e.  A )
10118, 32, 19hlatlej1 29540 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  V  e.  A )  ->  P  .<_  ( P  .\/  V ) )
10299, 81, 100, 101syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  .<_  ( P  .\/  V
) )
103 simprrl 741 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  .<_  ( P  .\/  V
) )
10499, 26syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  K  e.  Lat )
10581, 28syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
10624, 19atbase 29455 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( s  e.  A  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
107106ad2antrl 709 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  s  e.  ( Base `  K
) )
10899, 81, 100, 36syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) )
10924, 18, 32latjle12 14411 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( P  e.  ( Base `  K )  /\  s  e.  ( Base `  K )  /\  ( P  .\/  V )  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .<_  ( P  .\/  V )  /\  s  .<_  ( P 
.\/  V ) )  <-> 
( P  .\/  s
)  .<_  ( P  .\/  V ) ) )
110104, 105, 107, 108, 109syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  s  .<_  ( P  .\/  V ) )  <->  ( P  .\/  s )  .<_  ( P 
.\/  V ) ) )
111102, 103, 110mpbi2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  s )  .<_  ( P  .\/  V ) )
11224, 32, 19hlatjcl 29532 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( K  e.  HL  /\  P  e.  A  /\  s  e.  A )  ->  ( P  .\/  s
)  e.  ( Base `  K ) )
11399, 81, 83, 112syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( P  .\/  s )  e.  ( Base `  K
) )
114 simpl1r 1009 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  H )
11524, 20lhpbase 30163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( W  e.  H  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
116114, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  W  e.  ( Base `  K
) )
11724, 18, 92latmlem1 14430 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( K  e.  Lat  /\  ( ( P  .\/  s )  e.  (
Base `  K )  /\  ( P  .\/  V
)  e.  ( Base `  K )  /\  W  e.  ( Base `  K
) ) )  -> 
( ( P  .\/  s )  .<_  ( P 
.\/  V )  -> 
( ( P  .\/  s ) ( meet `  K ) W ) 
.<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) ) )
118104, 113, 108, 116, 117syl13anc 1186 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
)  .<_  ( P  .\/  V )  ->  ( ( P  .\/  s ) (
meet `  K ) W )  .<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) ) )
119111, 118mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W )  .<_  ( ( P  .\/  V ) ( meet `  K
) W ) )
12018, 32, 92, 19, 20lhpat4N 30209 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( P 
.\/  V ) (
meet `  K ) W )  =  V )
121120adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  V
) ( meet `  K
) W )  =  V )
122119, 121breqtrd 4170 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  (
( P  .\/  s
) ( meet `  K
) W )  .<_  V )
1231223adant3 977 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( ( P 
.\/  s ) (
meet `  K ) W )  .<_  V )
12498, 123eqbrtrd 4166 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( R `  F )  .<_  V )
12589, 124jca 519 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) )  /\  ( F  e.  T  /\  ( F `  P )  =  s ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `
 F )  .<_  V ) )
12688, 125mpd3an3 1280 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  (
s  e.  A  /\  ( s  .<_  ( P 
.\/  V )  /\  -.  s  .<_  W ) ) )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V ) )
12779, 126sylan2b 462 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  /\  s  e.  C )  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V ) )
128127ex 424 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( s  e.  C  ->  ( F  e.  T  /\  ( R `  F )  .<_  V ) ) )
129 eleq1 2440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  g  ->  ( F  e.  T  <->  g  e.  T ) )
130 fveq2 5661 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( F  =  g  ->  ( R `  F )  =  ( R `  g ) )
131130breq1d 4156 . . . . . . . . . . 11  |-  ( F  =  g  ->  (
( R `  F
)  .<_  V  <->  ( R `  g )  .<_  V ) )
132129, 131anbi12d 692 . . . . . . . . . 10  |-  ( F  =  g  ->  (
( F  e.  T  /\  ( R `  F
)  .<_  V )  <->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V ) ) )
133132biimpcd 216 . . . . . . . . 9  |-  ( ( F  e.  T  /\  ( R `  F ) 
.<_  V )  ->  ( F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g ) 
.<_  V ) ) )
134128, 133syl6 31 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( s  e.  C  ->  ( F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V ) ) ) )
135134rexlimdv 2765 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  F  =  g  ->  ( g  e.  T  /\  ( R `
 g )  .<_  V ) ) )
13674, 135impbid 184 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( ( g  e.  T  /\  ( R `  g )  .<_  V )  <->  E. s  e.  C  F  =  g ) )
13714, 136bitr4d 248 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
( g  e.  T  /\  ( R `  g
)  .<_  V ) ) )
138 fveq2 5661 . . . . . . 7  |-  ( f  =  g  ->  ( R `  f )  =  ( R `  g ) )
139138breq1d 4156 . . . . . 6  |-  ( f  =  g  ->  (
( R `  f
)  .<_  V  <->  ( R `  g )  .<_  V ) )
140139elrab 3028 . . . . 5  |-  ( g  e.  { f  e.  T  |  ( R `
 f )  .<_  V }  <->  ( g  e.  T  /\  ( R `
 g )  .<_  V ) )
141137, 140syl6bbr 255 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
g  e.  { f  e.  T  |  ( R `  f ) 
.<_  V } ) )
142 simp1l 981 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  K  e.  HL )
143 simp1r 982 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  W  e.  H
)
144 simp3l 985 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  e.  A
)
145144, 47syl 16 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  e.  (
Base `  K )
)
146 simp3r 986 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  V  .<_  W )
147 cdlemm10.i . . . . . . 7  |-  I  =  ( ( DIsoA `  K
) `  W )
14824, 18, 20, 21, 41, 147diaval 31198 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( V  e.  ( Base `  K
)  /\  V  .<_  W ) )  ->  (
I `  V )  =  { f  e.  T  |  ( R `  f )  .<_  V }
)
149142, 143, 145, 146, 148syl22anc 1185 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( I `  V )  =  {
f  e.  T  | 
( R `  f
)  .<_  V } )
150149eleq2d 2447 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( g  e.  ( I `  V
)  <->  g  e.  {
f  e.  T  | 
( R `  f
)  .<_  V } ) )
151141, 150bitr4d 248 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( E. s  e.  C  ( G `  s )  =  g  <-> 
g  e.  ( I `
 V ) ) )
1525, 151syl5bb 249 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ( g  e. 
ran  G  <->  g  e.  ( I `  V ) ) )
153152eqrdv 2378 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( V  e.  A  /\  V  .<_  W ) )  ->  ran  G  =  ( I `  V
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717   E.wrex 2643   {crab 2646   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200   ran crn 4812    Fn wfn 5382   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   iota_crio 6471   Basecbs 13389   lecple 13456   joincjn 14321   meetcmee 14322   Latclat 14394   Atomscatm 29429   HLchlt 29516   LHypclh 30149   LTrncltrn 30266   trLctrl 30323   DIsoAcdia 31194
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-op 3759  df-uni 3951  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-id 4432  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-undef 6472  df-riota 6478  df-map 6949  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153  df-laut 30154  df-ldil 30269  df-ltrn 30270  df-trl 30324  df-disoa 31195
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