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Theorem cdlemn3 30666
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 31. (Contributed by NM, 21-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn3.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemn3.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemn3.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
cdlemn3.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemn3.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemn3.f  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
cdlemn3.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
cdlemn3.j  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
Assertion
Ref Expression
cdlemn3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J  o.  F )  =  G )
Distinct variable groups:    .<_ , h    A, h    h, H    h, K    P, h    Q, h    R, h    T, h    h, W
Allowed substitution hints:    F( h)    G( h)    J( h)

Proof of Theorem cdlemn3
StepHypRef Expression
1 simp1 955 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
2 cdlemn3.l . . . . . . . . . 10  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdlemn3.a . . . . . . . . . 10  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 cdlemn3.h . . . . . . . . . 10  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
5 cdlemn3.p . . . . . . . . . 10  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
62, 3, 4, 5lhpocnel2 29487 . . . . . . . . 9  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
763ad2ant1 976 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
8 simp2 956 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
9 cdlemn3.t . . . . . . . . 9  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
10 cdlemn3.f . . . . . . . . 9  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
112, 3, 4, 9, 10ltrniotacl 30047 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
121, 7, 8, 11syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
13 eqid 2284 . . . . . . . 8  |-  ( Base `  K )  =  (
Base `  K )
1413, 4, 9ltrn1o 29592 . . . . . . 7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  F  e.  T
)  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
151, 12, 14syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F :
( Base `  K ) -1-1-onto-> ( Base `  K ) )
16 f1of 5438 . . . . . 6  |-  ( F : ( Base `  K
)
-1-1-onto-> ( Base `  K )  ->  F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K ) )
1715, 16syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F :
( Base `  K ) --> ( Base `  K )
)
187simpld 445 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  P  e.  A )
1913, 3atbase 28758 . . . . . 6  |-  ( P  e.  A  ->  P  e.  ( Base `  K
) )
2018, 19syl 15 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  P  e.  ( Base `  K )
)
21 fvco3 5558 . . . . 5  |-  ( ( F : ( Base `  K ) --> ( Base `  K )  /\  P  e.  ( Base `  K
) )  ->  (
( J  o.  F
) `  P )  =  ( J `  ( F `  P ) ) )
2217, 20, 21syl2anc 642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( ( J  o.  F ) `  P )  =  ( J `  ( F `
 P ) ) )
232, 3, 4, 9, 10ltrniotaval 30049 . . . . . 6  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  Q )
241, 7, 8, 23syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( F `  P )  =  Q )
2524fveq2d 5490 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J `  ( F `  P
) )  =  ( J `  Q ) )
26 cdlemn3.j . . . . 5  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
272, 3, 4, 9, 26ltrniotaval 30049 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J `  Q )  =  R )
2822, 25, 273eqtrd 2320 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( ( J  o.  F ) `  P )  =  R )
29 cdlemn3.g . . . . 5  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
302, 3, 4, 9, 29ltrniotaval 30049 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  =  R )
317, 30syld3an2 1229 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( G `  P )  =  R )
3228, 31eqtr4d 2319 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( ( J  o.  F ) `  P )  =  ( G `  P ) )
332, 3, 4, 9, 26ltrniotacl 30047 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  J  e.  T )
344, 9ltrnco 30187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  J  e.  T  /\  F  e.  T
)  ->  ( J  o.  F )  e.  T
)
351, 33, 12, 34syl3anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J  o.  F )  e.  T
)
362, 3, 4, 9, 29ltrniotacl 30047 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
377, 36syld3an2 1229 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  G  e.  T )
382, 3, 4, 9ltrneq3 29676 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( J  o.  F )  e.  T  /\  G  e.  T )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )  ->  ( (
( J  o.  F
) `  P )  =  ( G `  P )  <->  ( J  o.  F )  =  G ) )
391, 35, 37, 7, 38syl121anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( (
( J  o.  F
) `  P )  =  ( G `  P )  <->  ( J  o.  F )  =  G ) )
4032, 39mpbid 201 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( J  o.  F )  =  G )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   class class class wbr 4024    o. ccom 4692   -->wf 5217   -1-1-onto->wf1o 5220   ` cfv 5221   iota_crio 6291   Basecbs 13144   lecple 13211   occoc 13212   Atomscatm 28732   HLchlt 28819   LHypclh 29452   LTrncltrn 29569
This theorem is referenced by:  cdlemn4  30667
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-op 3650  df-uni 3829  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-id 4308  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-map 6770  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456  df-laut 29457  df-ldil 29572  df-ltrn 29573  df-trl 29627
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