Theorem cdlemn4a 31686

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn4.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemn4.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemn4.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemn4.p	|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
cdlemn4.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemn4.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemn4.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
cdlemn4.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
cdlemn4.f	|- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
cdlemn4.g	|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
cdlemn4.j	|- J = ( iota_ h e. T ( h ` Q ) = R )
cdlemn4a.n	|- N = ( LSpan ` U )
cdlemn4a.s	|- .(+) = ( LSSum ` U )

Assertion

Ref	Expression
cdlemn4a	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { <. G , ( _I |` T ) >. } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , h   A, h   B, h   h, H   h, K   P, h   Q, h   R, h   T, h   h, W

Allowed substitution hints:   .(+) ( h)   U( h)   F( h)   G( h)   J( h)   N( h)   O( h)

Proof of Theorem cdlemn4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemn4.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		cdlemn4.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemn4.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
4		cdlemn4.p	. . . . 5 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
5		cdlemn4.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemn4.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7		cdlemn4.o	. . . . 5 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
8		cdlemn4.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
9		cdlemn4.f	. . . . 5 |- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
10		cdlemn4.g	. . . . 5 |- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
11		cdlemn4.j	. . . . 5 |- J = ( iota_ h e. T ( h ` Q ) = R )
12		eqid 2408	. . . . 5 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemn4 31685	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) )
14	13	sneqd 3791	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> { <. G , ( _I |` T ) >. } = { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } )
15	14	fveq2d 5695	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { <. G , ( _I |` T ) >. } ) = ( N ` { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } ) )
16		simp1 957	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
17	5, 8, 16	dvhlmod 31597	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> U e. LMod )
18	2, 3, 5, 4	lhpocnel2 30505	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
19	18	3ad2ant1 978	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
20		simp2 958	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
21	2, 3, 5, 6, 9	ltrniotacl 31065	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. T )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 1184	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> F e. T )
23		eqid 2408	. . . . . 6 |- ( ( TEndo ` K ) ` W ) = ( ( TEndo ` K ) ` W )
24	5, 6, 23	tendoidcl 31255	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
25	24	3ad2ant1 978	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( _I |` T ) e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
26		eqid 2408	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
27	5, 6, 23, 8, 26	dvhelvbasei 31575	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( _I |` T ) e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) ) -> <. F , ( _I |` T ) >. e. ( Base ` U ) )
28	16, 22, 25, 27	syl12anc 1182	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> <. F , ( _I |` T ) >. e. ( Base ` U ) )
29	2, 3, 5, 6, 11	ltrniotacl 31065	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> J e. T )
30	1, 5, 6, 23, 7	tendo0cl 31276	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
31	30	3ad2ant1 978	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> O e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
32	5, 6, 23, 8, 26	dvhelvbasei 31575	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( J e. T /\ O e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) ) -> <. J , O >. e. ( Base ` U ) )
33	16, 29, 31, 32	syl12anc 1182	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> <. J , O >. e. ( Base ` U ) )
34		cdlemn4a.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` U )
35		cdlemn4a.s	. . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` U )
36	26, 12, 34, 35	lspsntri 16128	. . 3 |- ( ( U e. LMod /\ <. F , ( _I |` T ) >. e. ( Base ` U ) /\ <. J , O >. e. ( Base ` U ) ) -> ( N ` { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )
37	17, 28, 33, 36	syl3anc 1184	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )
38	15, 37	eqsstrd 3346	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { <. G , ( _I |` T ) >. } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 359   /\ w3a 936   = wceq 1649   e. wcel 1721   C_ wss 3284   {csn 3778   <.cop 3781   class class class wbr 4176   e. cmpt 4230   _I cid 4457   |` cres 4843   ` cfv 5417  (class class class)co 6044   iota_crio 6505   Basecbs 13428   +g cplusg 13488   lecple 13495   occoc 13496   LSSumclsm 15227   LModclmod 15909   LSpanclspn 16006   Atomscatm 29750   HLchlt 29837   LHypclh 30470   LTrncltrn 30587   TEndoctendo 31238   DVecHcdvh 31565

This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  31687

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2389  ax-rep 4284  ax-sep 4294  ax-nul 4302  ax-pow 4341  ax-pr 4367  ax-un 4664  ax-cnex 9006  ax-resscn 9007  ax-1cn 9008  ax-icn 9009  ax-addcl 9010  ax-addrcl 9011  ax-mulcl 9012  ax-mulrcl 9013  ax-mulcom 9014  ax-addass 9015  ax-mulass 9016  ax-distr 9017  ax-i2m1 9018  ax-1ne0 9019  ax-1rid 9020  ax-rnegex 9021  ax-rrecex 9022  ax-cnre 9023  ax-pre-lttri 9024  ax-pre-lttrn 9025  ax-pre-ltadd 9026  ax-pre-mulgt0 9027

This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2262  df-mo 2263  df-clab 2395  df-cleq 2401  df-clel 2404  df-nfc 2533  df-ne 2573  df-nel 2574  df-ral 2675  df-rex 2676  df-reu 2677  df-rmo 2678  df-rab 2679  df-v 2922  df-sbc 3126  df-csb 3216  df-dif 3287  df-un 3289  df-in 3291  df-ss 3298  df-pss 3300  df-nul 3593  df-if 3704  df-pw 3765  df-sn 3784  df-pr 3785  df-tp 3786  df-op 3787  df-uni 3980  df-int 4015  df-iun 4059  df-iin 4060  df-br 4177  df-opab 4231  df-mpt 4232  df-tr 4267  df-eprel 4458  df-id 4462  df-po 4467  df-so 4468  df-fr 4505  df-we 4507  df-ord 4548  df-on 4549  df-lim 4550  df-suc 4551  df-om 4809  df-xp 4847  df-rel 4848  df-cnv 4849  df-co 4850  df-dm 4851  df-rn 4852  df-res 4853  df-ima 4854  df-iota 5381  df-fun 5419  df-fn 5420  df-f 5421  df-f1 5422  df-fo 5423  df-f1o 5424  df-fv 5425  df-ov 6047  df-oprab 6048  df-mpt2 6049  df-1st 6312  df-2nd 6313  df-tpos 6442  df-undef 6506  df-riota 6512  df-recs 6596  df-rdg 6631  df-1o 6687  df-oadd 6691  df-er 6868  df-map 6983  df-en 7073  df-dom 7074  df-sdom 7075  df-fin 7076  df-pnf 9082  df-mnf 9083  df-xr 9084  df-ltxr 9085  df-le 9086  df-sub 9253  df-neg 9254  df-nn 9961  df-2 10018  df-3 10019  df-4 10020  df-5 10021  df-6 10022  df-n0 10182  df-z 10243  df-uz 10449  df-fz 11004  df-struct 13430  df-ndx 13431  df-slot 13432  df-base 13433  df-sets 13434  df-ress 13435  df-plusg 13501  df-mulr 13502  df-sca 13504  df-vsca 13505  df-0g 13686  df-poset 14362  df-plt 14374  df-lub 14390  df-glb 14391  df-join 14392  df-meet 14393  df-p0 14427  df-p1 14428  df-lat 14434  df-clat 14496  df-mnd 14649  df-submnd 14698  df-grp 14771  df-minusg 14772  df-sbg 14773  df-subg 14900  df-cntz 15075  df-lsm 15229  df-cmn 15373  df-abl 15374  df-mgp 15608  df-rng 15622  df-ur 15624  df-oppr 15687  df-dvdsr 15705  df-unit 15706  df-invr 15736  df-dvr 15747  df-drng 15796  df-lmod 15911  df-lss 15968  df-lsp 16007  df-lvec 16134  df-oposet 29663  df-ol 29665  df-oml 29666  df-covers 29753  df-ats 29754  df-atl 29785  df-cvlat 29809  df-hlat 29838  df-llines 29984  df-lplanes 29985  df-lvols 29986  df-lines 29987  df-psubsp 29989  df-pmap 29990  df-padd 30282  df-lhyp 30474  df-laut 30475  df-ldil 30590  df-ltrn 30591  df-trl 30645  df-tendo 31241  df-edring 31243  df-dvech 31566