Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn4a Unicode version

Theorem cdlemn4a 30078
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemn4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemn4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemn4.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
cdlemn4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemn4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemn4.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
cdlemn4.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
cdlemn4.f  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
cdlemn4.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
cdlemn4.j  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
cdlemn4a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
cdlemn4a.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
Assertion
Ref Expression
cdlemn4a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  C_  (
( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } ) 
.(+)  ( N `  { <. J ,  O >. } ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , h    A, h    B, h    h, H   
h, K    P, h    Q, h    R, h    T, h   
h, W
Allowed substitution hints:    .(+) ( h)    U( h)    F( h)    G( h)    J( h)    N( h)    O( h)

Proof of Theorem cdlemn4a
StepHypRef Expression
1 cdlemn4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdlemn4.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdlemn4.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 cdlemn4.p . . . . 5  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
5 cdlemn4.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdlemn4.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
7 cdlemn4.o . . . . 5  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
8 cdlemn4.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 cdlemn4.f . . . . 5  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
10 cdlemn4.g . . . . 5  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
11 cdlemn4.j . . . . 5  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
12 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemn4 30077 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. F ,  (  _I  |`  T )
>. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) )
1413sneqd 3557 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  { <. G , 
(  _I  |`  T )
>. }  =  { (
<. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U ) <. J ,  O >. ) } )
1514fveq2d 5381 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  =  ( N `  { (
<. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U ) <. J ,  O >. ) } ) )
16 simp1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
175, 8, 16dvhlmod 29989 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  U  e.  LMod )
182, 3, 5, 4lhpocnel2 28897 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
19183ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 simp2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
212, 3, 5, 6, 9ltrniotacl 29457 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
23 eqid 2253 . . . . . 6  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
245, 6, 23tendoidcl 29647 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) )
25243ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) )
26 eqid 2253 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
275, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 29967 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  <. F ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( Base `  U
) )
2816, 22, 25, 27syl12anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. F , 
(  _I  |`  T )
>.  e.  ( Base `  U
) )
292, 3, 5, 6, 11ltrniotacl 29457 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  J  e.  T )
301, 5, 6, 23, 7tendo0cl 29668 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
31303ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
325, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 29967 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )  ->  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )
3316, 29, 31, 32syl12anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )
34 cdlemn4a.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
35 cdlemn4a.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
3626, 12, 34, 35lspsntri 15685 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. F ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( Base `  U
)  /\  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )  -> 
( N `  {
( <. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) } )  C_  ( ( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } )  .(+)  ( N `
 { <. J ,  O >. } ) ) )
3717, 28, 33, 36syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { ( <. F , 
(  _I  |`  T )
>. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) } )  C_  ( ( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } )  .(+)  ( N `
 { <. J ,  O >. } ) ) )
3815, 37eqsstrd 3133 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  C_  (
( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } ) 
.(+)  ( N `  { <. J ,  O >. } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3078   {csn 3544   <.cop 3547   class class class wbr 3920    e. cmpt 3974    _I cid 4197    |` cres 4582   ` cfv 4592  (class class class)co 5710   iota_crio 6181   Basecbs 13022   +g cplusg 13082   lecple 13089   occoc 13090   LSSumclsm 14780   LModclmod 15462   LSpanclspn 15563   Atomscatm 28142   HLchlt 28229   LHypclh 28862   LTrncltrn 28979   TEndoctendo 29630   DVecHcdvh 29957
This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  30079
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-tpos 6086  df-iota 6143  df-undef 6182  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-n0 9845  df-z 9904  df-uz 10110  df-fz 10661  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-0g 13278  df-poset 13924  df-plt 13936  df-lub 13952  df-glb 13953  df-join 13954  df-meet 13955  df-p0 13989  df-p1 13990  df-lat 13996  df-clat 14058  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-grp 14324  df-minusg 14325  df-sbg 14326  df-subg 14453  df-cntz 14628  df-lsm 14782  df-cmn 14926  df-abl 14927  df-mgp 15161  df-ring 15175  df-ur 15177  df-oppr 15240  df-dvdsr 15258  df-unit 15259  df-invr 15289  df-dvr 15300  df-drng 15349  df-lmod 15464  df-lss 15525  df-lsp 15564  df-lvec 15691  df-oposet 28055  df-ol 28057  df-oml 28058  df-covers 28145  df-ats 28146  df-atl 28177  df-cvlat 28201  df-hlat 28230  df-llines 28376  df-lplanes 28377  df-lvols 28378  df-lines 28379  df-psubsp 28381  df-pmap 28382  df-padd 28674  df-lhyp 28866  df-laut 28867  df-ldil 28982  df-ltrn 28983  df-trl 29037  df-tendo 29633  df-edring 29635  df-dvech 29958
  Copyright terms: Public domain W3C validator