Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn4a Unicode version

Theorem cdlemn4a 31365
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemn4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemn4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemn4.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
cdlemn4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemn4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemn4.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
cdlemn4.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
cdlemn4.f  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
cdlemn4.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
cdlemn4.j  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
cdlemn4a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
cdlemn4a.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
Assertion
Ref Expression
cdlemn4a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  C_  (
( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } ) 
.(+)  ( N `  { <. J ,  O >. } ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , h    A, h    B, h    h, H   
h, K    P, h    Q, h    R, h    T, h   
h, W
Allowed substitution hints:    .(+) ( h)    U( h)    F( h)    G( h)    J( h)    N( h)    O( h)

Proof of Theorem cdlemn4a
StepHypRef Expression
1 cdlemn4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdlemn4.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdlemn4.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 cdlemn4.p . . . . 5  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
5 cdlemn4.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdlemn4.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
7 cdlemn4.o . . . . 5  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
8 cdlemn4.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 cdlemn4.f . . . . 5  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
10 cdlemn4.g . . . . 5  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
11 cdlemn4.j . . . . 5  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
12 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemn4 31364 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. F ,  (  _I  |`  T )
>. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) )
1413sneqd 3763 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  { <. G , 
(  _I  |`  T )
>. }  =  { (
<. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U ) <. J ,  O >. ) } )
1514fveq2d 5665 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  =  ( N `  { (
<. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U ) <. J ,  O >. ) } ) )
16 simp1 957 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
175, 8, 16dvhlmod 31276 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  U  e.  LMod )
182, 3, 5, 4lhpocnel2 30184 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
19183ad2ant1 978 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 simp2 958 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
212, 3, 5, 6, 9ltrniotacl 30744 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
23 eqid 2380 . . . . . 6  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
245, 6, 23tendoidcl 30934 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) )
25243ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) )
26 eqid 2380 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
275, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 31254 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  <. F ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( Base `  U
) )
2816, 22, 25, 27syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. F , 
(  _I  |`  T )
>.  e.  ( Base `  U
) )
292, 3, 5, 6, 11ltrniotacl 30744 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  J  e.  T )
301, 5, 6, 23, 7tendo0cl 30955 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
31303ad2ant1 978 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
325, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 31254 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )  ->  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )
3316, 29, 31, 32syl12anc 1182 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )
34 cdlemn4a.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
35 cdlemn4a.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
3626, 12, 34, 35lspsntri 16089 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. F ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( Base `  U
)  /\  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )  -> 
( N `  {
( <. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) } )  C_  ( ( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } )  .(+)  ( N `
 { <. J ,  O >. } ) ) )
3717, 28, 33, 36syl3anc 1184 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { ( <. F , 
(  _I  |`  T )
>. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) } )  C_  ( ( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } )  .(+)  ( N `
 { <. J ,  O >. } ) ) )
3815, 37eqsstrd 3318 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  C_  (
( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } ) 
.(+)  ( N `  { <. J ,  O >. } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 359    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1717    C_ wss 3256   {csn 3750   <.cop 3753   class class class wbr 4146    e. cmpt 4200    _I cid 4427    |` cres 4813   ` cfv 5387  (class class class)co 6013   iota_crio 6471   Basecbs 13389   +g cplusg 13449   lecple 13456   occoc 13457   LSSumclsm 15188   LModclmod 15870   LSpanclspn 15967   Atomscatm 29429   HLchlt 29516   LHypclh 30149   LTrncltrn 30266   TEndoctendo 30917   DVecHcdvh 31244
This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  31366
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2361  ax-rep 4254  ax-sep 4264  ax-nul 4272  ax-pow 4311  ax-pr 4337  ax-un 4634  ax-cnex 8972  ax-resscn 8973  ax-1cn 8974  ax-icn 8975  ax-addcl 8976  ax-addrcl 8977  ax-mulcl 8978  ax-mulrcl 8979  ax-mulcom 8980  ax-addass 8981  ax-mulass 8982  ax-distr 8983  ax-i2m1 8984  ax-1ne0 8985  ax-1rid 8986  ax-rnegex 8987  ax-rrecex 8988  ax-cnre 8989  ax-pre-lttri 8990  ax-pre-lttrn 8991  ax-pre-ltadd 8992  ax-pre-mulgt0 8993
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-fal 1326  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2235  df-mo 2236  df-clab 2367  df-cleq 2373  df-clel 2376  df-nfc 2505  df-ne 2545  df-nel 2546  df-ral 2647  df-rex 2648  df-reu 2649  df-rmo 2650  df-rab 2651  df-v 2894  df-sbc 3098  df-csb 3188  df-dif 3259  df-un 3261  df-in 3263  df-ss 3270  df-pss 3272  df-nul 3565  df-if 3676  df-pw 3737  df-sn 3756  df-pr 3757  df-tp 3758  df-op 3759  df-uni 3951  df-int 3986  df-iun 4030  df-iin 4031  df-br 4147  df-opab 4201  df-mpt 4202  df-tr 4237  df-eprel 4428  df-id 4432  df-po 4437  df-so 4438  df-fr 4475  df-we 4477  df-ord 4518  df-on 4519  df-lim 4520  df-suc 4521  df-om 4779  df-xp 4817  df-rel 4818  df-cnv 4819  df-co 4820  df-dm 4821  df-rn 4822  df-res 4823  df-ima 4824  df-iota 5351  df-fun 5389  df-fn 5390  df-f 5391  df-f1 5392  df-fo 5393  df-f1o 5394  df-fv 5395  df-ov 6016  df-oprab 6017  df-mpt2 6018  df-1st 6281  df-2nd 6282  df-tpos 6408  df-undef 6472  df-riota 6478  df-recs 6562  df-rdg 6597  df-1o 6653  df-oadd 6657  df-er 6834  df-map 6949  df-en 7039  df-dom 7040  df-sdom 7041  df-fin 7042  df-pnf 9048  df-mnf 9049  df-xr 9050  df-ltxr 9051  df-le 9052  df-sub 9218  df-neg 9219  df-nn 9926  df-2 9983  df-3 9984  df-4 9985  df-5 9986  df-6 9987  df-n0 10147  df-z 10208  df-uz 10414  df-fz 10969  df-struct 13391  df-ndx 13392  df-slot 13393  df-base 13394  df-sets 13395  df-ress 13396  df-plusg 13462  df-mulr 13463  df-sca 13465  df-vsca 13466  df-0g 13647  df-poset 14323  df-plt 14335  df-lub 14351  df-glb 14352  df-join 14353  df-meet 14354  df-p0 14388  df-p1 14389  df-lat 14395  df-clat 14457  df-mnd 14610  df-submnd 14659  df-grp 14732  df-minusg 14733  df-sbg 14734  df-subg 14861  df-cntz 15036  df-lsm 15190  df-cmn 15334  df-abl 15335  df-mgp 15569  df-rng 15583  df-ur 15585  df-oppr 15648  df-dvdsr 15666  df-unit 15667  df-invr 15697  df-dvr 15708  df-drng 15757  df-lmod 15872  df-lss 15929  df-lsp 15968  df-lvec 16095  df-oposet 29342  df-ol 29344  df-oml 29345  df-covers 29432  df-ats 29433  df-atl 29464  df-cvlat 29488  df-hlat 29517  df-llines 29663  df-lplanes 29664  df-lvols 29665  df-lines 29666  df-psubsp 29668  df-pmap 29669  df-padd 29961  df-lhyp 30153  df-laut 30154  df-ldil 30269  df-ltrn 30270  df-trl 30324  df-tendo 30920  df-edring 30922  df-dvech 31245
  Copyright terms: Public domain W3C validator