Theorem cdlemn4a 30639

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn4.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemn4.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemn4.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemn4.p	|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
cdlemn4.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemn4.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemn4.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
cdlemn4.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
cdlemn4.f	|- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
cdlemn4.g	|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
cdlemn4.j	|- J = ( iota_ h e. T ( h ` Q ) = R )
cdlemn4a.n	|- N = ( LSpan ` U )
cdlemn4a.s	|- .(+) = ( LSSum ` U )

Assertion

Ref	Expression
cdlemn4a	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { <. G , ( _I |` T ) >. } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , h   A, h   B, h   h, H   h, K   P, h   Q, h   R, h   T, h   h, W

Allowed substitution hints:   .(+) ( h)   U( h)   F( h)   G( h)   J( h)   N( h)   O( h)

Proof of Theorem cdlemn4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemn4.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		cdlemn4.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemn4.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
4		cdlemn4.p	. . . . 5 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
5		cdlemn4.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemn4.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7		cdlemn4.o	. . . . 5 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
8		cdlemn4.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
9		cdlemn4.f	. . . . 5 |- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
10		cdlemn4.g	. . . . 5 |- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
11		cdlemn4.j	. . . . 5 |- J = ( iota_ h e. T ( h ` Q ) = R )
12		eqid 2258	. . . . 5 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemn4 30638	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) )
14	13	sneqd 3627	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> { <. G , ( _I |` T ) >. } = { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } )
15	14	fveq2d 5462	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { <. G , ( _I |` T ) >. } ) = ( N ` { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } ) )
16		simp1 960	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
17	5, 8, 16	dvhlmod 30550	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> U e. LMod )
18	2, 3, 5, 4	lhpocnel2 29458	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
19	18	3ad2ant1 981	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
20		simp2 961	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
21	2, 3, 5, 6, 9	ltrniotacl 30018	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. T )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 1187	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> F e. T )
23		eqid 2258	. . . . . 6 |- ( ( TEndo ` K ) ` W ) = ( ( TEndo ` K ) ` W )
24	5, 6, 23	tendoidcl 30208	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
25	24	3ad2ant1 981	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( _I |` T ) e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
26		eqid 2258	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
27	5, 6, 23, 8, 26	dvhelvbasei 30528	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( _I |` T ) e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) ) -> <. F , ( _I |` T ) >. e. ( Base ` U ) )
28	16, 22, 25, 27	syl12anc 1185	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> <. F , ( _I |` T ) >. e. ( Base ` U ) )
29	2, 3, 5, 6, 11	ltrniotacl 30018	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> J e. T )
30	1, 5, 6, 23, 7	tendo0cl 30229	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
31	30	3ad2ant1 981	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> O e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
32	5, 6, 23, 8, 26	dvhelvbasei 30528	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( J e. T /\ O e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) ) -> <. J , O >. e. ( Base ` U ) )
33	16, 29, 31, 32	syl12anc 1185	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> <. J , O >. e. ( Base ` U ) )
34		cdlemn4a.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` U )
35		cdlemn4a.s	. . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` U )
36	26, 12, 34, 35	lspsntri 15813	. . 3 |- ( ( U e. LMod /\ <. F , ( _I |` T ) >. e. ( Base ` U ) /\ <. J , O >. e. ( Base ` U ) ) -> ( N ` { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )
37	17, 28, 33, 36	syl3anc 1187	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )
38	15, 37	eqsstrd 3187	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { <. G , ( _I |` T ) >. } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 5   -> wi 6   /\ wa 360   /\ w3a 939   = wceq 1619   e. wcel 1621   C_ wss 3127   {csn 3614   <.cop 3617   class class class wbr 3997   e. cmpt 4051   _I cid 4276   |` cres 4663   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   iota_crio 6263   Basecbs 13111   +g cplusg 13171   lecple 13178   occoc 13179   LSSumclsm 14908   LModclmod 15590   LSpanclspn 15691   Atomscatm 28703   HLchlt 28790   LHypclh 29423   LTrncltrn 29540   TEndoctendo 30191   DVecHcdvh 30518

This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  30640

This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782

This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-tpos 6168  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-fz 10750  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-sets 13117  df-ress 13118  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-0g 13367  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-p1 14109  df-lat 14115  df-clat 14177  df-mnd 14330  df-submnd 14379  df-grp 14452  df-minusg 14453  df-sbg 14454  df-subg 14581  df-cntz 14756  df-lsm 14910  df-cmn 15054  df-abl 15055  df-mgp 15289  df-ring 15303  df-ur 15305  df-oppr 15368  df-dvdsr 15386  df-unit 15387  df-invr 15417  df-dvr 15428  df-drng 15477  df-lmod 15592  df-lss 15653  df-lsp 15692  df-lvec 15819  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-llines 28937  df-lplanes 28938  df-lvols 28939  df-lines 28940  df-psubsp 28942  df-pmap 28943  df-padd 29235  df-lhyp 29427  df-laut 29428  df-ldil 29543  df-ltrn 29544  df-trl 29598  df-tendo 30194  df-edring 30196  df-dvech 30519