Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn4a Unicode version

Theorem cdlemn4a 30519
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn4.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemn4.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemn4.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemn4.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
cdlemn4.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemn4.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemn4.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
cdlemn4.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
cdlemn4.f  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
cdlemn4.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
cdlemn4.j  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
cdlemn4a.n  |-  N  =  ( LSpan `  U )
cdlemn4a.s  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
Assertion
Ref Expression
cdlemn4a  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  C_  (
( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } ) 
.(+)  ( N `  { <. J ,  O >. } ) ) )
Distinct variable groups:    .<_ , h    A, h    B, h    h, H   
h, K    P, h    Q, h    R, h    T, h   
h, W
Allowed substitution hints:    .(+) ( h)    U( h)    F( h)    G( h)    J( h)    N( h)    O( h)

Proof of Theorem cdlemn4a
StepHypRef Expression
1 cdlemn4.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
2 cdlemn4.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
3 cdlemn4.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
4 cdlemn4.p . . . . 5  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
5 cdlemn4.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
6 cdlemn4.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
7 cdlemn4.o . . . . 5  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
8 cdlemn4.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
9 cdlemn4.f . . . . 5  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
10 cdlemn4.g . . . . 5  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
11 cdlemn4.j . . . . 5  |-  J  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  Q
)  =  R )
12 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( +g  `  U )  =  ( +g  `  U )
131, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12cdlemn4 30518 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. F ,  (  _I  |`  T )
>. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) )
1413sneqd 3594 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  { <. G , 
(  _I  |`  T )
>. }  =  { (
<. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U ) <. J ,  O >. ) } )
1514fveq2d 5427 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  =  ( N `  { (
<. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U ) <. J ,  O >. ) } ) )
16 simp1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
175, 8, 16dvhlmod 30430 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  U  e.  LMod )
182, 3, 5, 4lhpocnel2 29338 . . . . . 6  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
19183ad2ant1 981 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W ) )
20 simp2 961 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
212, 3, 5, 6, 9ltrniotacl 29898 . . . . 5  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( P  e.  A  /\  -.  P  .<_  W )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
2216, 19, 20, 21syl3anc 1187 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  F  e.  T )
23 eqid 2256 . . . . . 6  |-  ( (
TEndo `  K ) `  W )  =  ( ( TEndo `  K ) `  W )
245, 6, 23tendoidcl 30088 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W
) )
25243ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) )
26 eqid 2256 . . . . 5  |-  ( Base `  U )  =  (
Base `  U )
275, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 30408 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( F  e.  T  /\  (  _I  |`  T )  e.  ( ( TEndo `  K ) `  W ) ) )  ->  <. F ,  (  _I  |`  T ) >.  e.  ( Base `  U
) )
2816, 22, 25, 27syl12anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. F , 
(  _I  |`  T )
>.  e.  ( Base `  U
) )
292, 3, 5, 6, 11ltrniotacl 29898 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  J  e.  T )
301, 5, 6, 23, 7tendo0cl 30109 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  ->  O  e.  ( (
TEndo `  K ) `  W ) )
31303ad2ant1 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
)
325, 6, 23, 8, 26dvhelvbasei 30408 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( J  e.  T  /\  O  e.  ( ( TEndo `  K
) `  W )
) )  ->  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )
3316, 29, 31, 32syl12anc 1185 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )
34 cdlemn4a.n . . . 4  |-  N  =  ( LSpan `  U )
35 cdlemn4a.s . . . 4  |-  .(+)  =  (
LSSum `  U )
3626, 12, 34, 35lspsntri 15777 . . 3  |-  ( ( U  e.  LMod  /\  <. F ,  (  _I  |`  T )
>.  e.  ( Base `  U
)  /\  <. J ,  O >.  e.  ( Base `  U ) )  -> 
( N `  {
( <. F ,  (  _I  |`  T ) >. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) } )  C_  ( ( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } )  .(+)  ( N `
 { <. J ,  O >. } ) ) )
3717, 28, 33, 36syl3anc 1187 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { ( <. F , 
(  _I  |`  T )
>. ( +g  `  U
) <. J ,  O >. ) } )  C_  ( ( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } )  .(+)  ( N `
 { <. J ,  O >. } ) ) )
3815, 37eqsstrd 3154 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  ->  ( N `  { <. G ,  (  _I  |`  T ) >. } )  C_  (
( N `  { <. F ,  (  _I  |`  T ) >. } ) 
.(+)  ( N `  { <. J ,  O >. } ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621    C_ wss 3094   {csn 3581   <.cop 3584   class class class wbr 3963    e. cmpt 4017    _I cid 4241    |` cres 4628   ` cfv 4638  (class class class)co 5757   iota_crio 6228   Basecbs 13075   +g cplusg 13135   lecple 13142   occoc 13143   LSSumclsm 14872   LModclmod 15554   LSpanclspn 15655   Atomscatm 28583   HLchlt 28670   LHypclh 29303   LTrncltrn 29420   TEndoctendo 30071   DVecHcdvh 30398
This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  30520
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4071  ax-sep 4081  ax-nul 4089  ax-pow 4126  ax-pr 4152  ax-un 4449  ax-cnex 8726  ax-resscn 8727  ax-1cn 8728  ax-icn 8729  ax-addcl 8730  ax-addrcl 8731  ax-mulcl 8732  ax-mulrcl 8733  ax-mulcom 8734  ax-addass 8735  ax-mulass 8736  ax-distr 8737  ax-i2m1 8738  ax-1ne0 8739  ax-1rid 8740  ax-rnegex 8741  ax-rrecex 8742  ax-cnre 8743  ax-pre-lttri 8744  ax-pre-lttrn 8745  ax-pre-ltadd 8746  ax-pre-mulgt0 8747
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-fal 1316  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-nel 2422  df-ral 2520  df-rex 2521  df-reu 2522  df-rab 2523  df-v 2742  df-sbc 2936  df-csb 3024  df-dif 3097  df-un 3099  df-in 3101  df-ss 3108  df-pss 3110  df-nul 3398  df-if 3507  df-pw 3568  df-sn 3587  df-pr 3588  df-tp 3589  df-op 3590  df-uni 3769  df-int 3804  df-iun 3848  df-iin 3849  df-br 3964  df-opab 4018  df-mpt 4019  df-tr 4054  df-eprel 4242  df-id 4246  df-po 4251  df-so 4252  df-fr 4289  df-we 4291  df-ord 4332  df-on 4333  df-lim 4334  df-suc 4335  df-om 4594  df-xp 4640  df-rel 4641  df-cnv 4642  df-co 4643  df-dm 4644  df-rn 4645  df-res 4646  df-ima 4647  df-fun 4648  df-fn 4649  df-f 4650  df-f1 4651  df-fo 4652  df-f1o 4653  df-fv 4654  df-ov 5760  df-oprab 5761  df-mpt2 5762  df-1st 6021  df-2nd 6022  df-tpos 6133  df-iota 6190  df-undef 6229  df-riota 6237  df-recs 6321  df-rdg 6356  df-1o 6412  df-oadd 6416  df-er 6593  df-map 6707  df-en 6797  df-dom 6798  df-sdom 6799  df-fin 6800  df-pnf 8802  df-mnf 8803  df-xr 8804  df-ltxr 8805  df-le 8806  df-sub 8972  df-neg 8973  df-n 9680  df-2 9737  df-3 9738  df-4 9739  df-5 9740  df-6 9741  df-n0 9898  df-z 9957  df-uz 10163  df-fz 10714  df-struct 13077  df-ndx 13078  df-slot 13079  df-base 13080  df-sets 13081  df-ress 13082  df-plusg 13148  df-mulr 13149  df-sca 13151  df-vsca 13152  df-0g 13331  df-poset 14007  df-plt 14019  df-lub 14035  df-glb 14036  df-join 14037  df-meet 14038  df-p0 14072  df-p1 14073  df-lat 14079  df-clat 14141  df-mnd 14294  df-submnd 14343  df-grp 14416  df-minusg 14417  df-sbg 14418  df-subg 14545  df-cntz 14720  df-lsm 14874  df-cmn 15018  df-abl 15019  df-mgp 15253  df-ring 15267  df-ur 15269  df-oppr 15332  df-dvdsr 15350  df-unit 15351  df-invr 15381  df-dvr 15392  df-drng 15441  df-lmod 15556  df-lss 15617  df-lsp 15656  df-lvec 15783  df-oposet 28496  df-ol 28498  df-oml 28499  df-covers 28586  df-ats 28587  df-atl 28618  df-cvlat 28642  df-hlat 28671  df-llines 28817  df-lplanes 28818  df-lvols 28819  df-lines 28820  df-psubsp 28822  df-pmap 28823  df-padd 29115  df-lhyp 29307  df-laut 29308  df-ldil 29423  df-ltrn 29424  df-trl 29478  df-tendo 30074  df-edring 30076  df-dvech 30399
  Copyright terms: Public domain W3C validator