Theorem cdlemn4a 30668

Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 32. (Contributed by NM, 24-Feb-2014.)

Hypotheses

Ref	Expression
cdlemn4.b	|- B = ( Base ` K )
cdlemn4.l	|- .<_ = ( le ` K )
cdlemn4.a	|- A = ( Atoms ` K )
cdlemn4.p	|- P = ( ( oc ` K ) ` W )
cdlemn4.h	|- H = ( LHyp ` K )
cdlemn4.t	|- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
cdlemn4.o	|- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
cdlemn4.u	|- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
cdlemn4.f	|- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
cdlemn4.g	|- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
cdlemn4.j	|- J = ( iota_ h e. T ( h ` Q ) = R )
cdlemn4a.n	|- N = ( LSpan ` U )
cdlemn4a.s	|- .(+) = ( LSSum ` U )

Assertion

Ref	Expression
cdlemn4a	|- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { <. G , ( _I |` T ) >. } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )

Distinct variable groups:   .<_ , h   A, h   B, h   h, H   h, K   P, h   Q, h   R, h   T, h   h, W

Allowed substitution hints:   .(+) ( h)   U( h)   F( h)   G( h)   J( h)   N( h)   O( h)

Proof of Theorem cdlemn4a

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cdlemn4.b	. . . . 5 |- B = ( Base ` K )
2		cdlemn4.l	. . . . 5 |- .<_ = ( le ` K )
3		cdlemn4.a	. . . . 5 |- A = ( Atoms ` K )
4		cdlemn4.p	. . . . 5 |- P = ( ( oc ` K ) ` W )
5		cdlemn4.h	. . . . 5 |- H = ( LHyp ` K )
6		cdlemn4.t	. . . . 5 |- T = ( ( LTrn ` K ) ` W )
7		cdlemn4.o	. . . . 5 |- O = ( h e. T |-> ( _I |` B ) )
8		cdlemn4.u	. . . . 5 |- U = ( ( DVecH ` K ) ` W )
9		cdlemn4.f	. . . . 5 |- F = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = Q )
10		cdlemn4.g	. . . . 5 |- G = ( iota_ h e. T ( h ` P ) = R )
11		cdlemn4.j	. . . . 5 |- J = ( iota_ h e. T ( h ` Q ) = R )
12		eqid 2284	. . . . 5 |- ( +g ` U ) = ( +g ` U )
13	1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12	cdlemn4 30667	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> <. G , ( _I |` T ) >. = ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) )
14	13	sneqd 3654	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> { <. G , ( _I |` T ) >. } = { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } )
15	14	fveq2d 5490	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { <. G , ( _I |` T ) >. } ) = ( N ` { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } ) )
16		simp1 955	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( K e. HL /\ W e. H ) )
17	5, 8, 16	dvhlmod 30579	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> U e. LMod )
18	2, 3, 5, 4	lhpocnel2 29487	. . . . . 6 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
19	18	3ad2ant1 976	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( P e. A /\ -. P .<_ W ) )
20		simp2 956	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) )
21	2, 3, 5, 6, 9	ltrniotacl 30047	. . . . 5 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( P e. A /\ -. P .<_ W ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) ) -> F e. T )
22	16, 19, 20, 21	syl3anc 1182	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> F e. T )
23		eqid 2284	. . . . . 6 |- ( ( TEndo ` K ) ` W ) = ( ( TEndo ` K ) ` W )
24	5, 6, 23	tendoidcl 30237	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> ( _I |` T ) e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
25	24	3ad2ant1 976	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( _I |` T ) e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
26		eqid 2284	. . . . 5 |- ( Base ` U ) = ( Base ` U )
27	5, 6, 23, 8, 26	dvhelvbasei 30557	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( F e. T /\ ( _I |` T ) e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) ) -> <. F , ( _I |` T ) >. e. ( Base ` U ) )
28	16, 22, 25, 27	syl12anc 1180	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> <. F , ( _I |` T ) >. e. ( Base ` U ) )
29	2, 3, 5, 6, 11	ltrniotacl 30047	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> J e. T )
30	1, 5, 6, 23, 7	tendo0cl 30258	. . . . 5 |- ( ( K e. HL /\ W e. H ) -> O e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
31	30	3ad2ant1 976	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> O e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) )
32	5, 6, 23, 8, 26	dvhelvbasei 30557	. . . 4 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( J e. T /\ O e. ( ( TEndo ` K ) ` W ) ) ) -> <. J , O >. e. ( Base ` U ) )
33	16, 29, 31, 32	syl12anc 1180	. . 3 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> <. J , O >. e. ( Base ` U ) )
34		cdlemn4a.n	. . . 4 |- N = ( LSpan ` U )
35		cdlemn4a.s	. . . 4 |- .(+) = ( LSSum ` U )
36	26, 12, 34, 35	lspsntri 15846	. . 3 |- ( ( U e. LMod /\ <. F , ( _I |` T ) >. e. ( Base ` U ) /\ <. J , O >. e. ( Base ` U ) ) -> ( N ` { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )
37	17, 28, 33, 36	syl3anc 1182	. 2 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { ( <. F , ( _I |` T ) >. ( +g ` U ) <. J , O >. ) } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )
38	15, 37	eqsstrd 3213	1 |- ( ( ( K e. HL /\ W e. H ) /\ ( Q e. A /\ -. Q .<_ W ) /\ ( R e. A /\ -. R .<_ W ) ) -> ( N ` { <. G , ( _I |` T ) >. } ) C_ ( ( N ` { <. F , ( _I |` T ) >. } ) .(+) ( N ` { <. J , O >. } ) ) )

Syntax hints:   -. wn 3   -> wi 4   /\ wa 358   /\ w3a 934   = wceq 1623   e. wcel 1685   C_ wss 3153   {csn 3641   <.cop 3644   class class class wbr 4024   e. cmpt 4078   _I cid 4303   |` cres 4690   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   iota_crio 6291   Basecbs 13144   +g cplusg 13204   lecple 13211   occoc 13212   LSSumclsm 14941   LModclmod 15623   LSpanclspn 15724   Atomscatm 28732   HLchlt 28819   LHypclh 29452   LTrncltrn 29569   TEndoctendo 30220   DVecHcdvh 30547

This theorem is referenced by:  cdlemn5pre  30669

This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810

This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-fal 1311  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-tpos 6196  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10779  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-0g 13400  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-grp 14485  df-minusg 14486  df-sbg 14487  df-subg 14614  df-cntz 14789  df-lsm 14943  df-cmn 15087  df-abl 15088  df-mgp 15322  df-rng 15336  df-ur 15338  df-oppr 15401  df-dvdsr 15419  df-unit 15420  df-invr 15450  df-dvr 15461  df-drng 15510  df-lmod 15625  df-lss 15686  df-lsp 15725  df-lvec 15852  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456  df-laut 29457  df-ldil 29572  df-ltrn 29573  df-trl 29627  df-tendo 30223  df-edring 30225  df-dvech 30548