Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn7 Unicode version

Theorem cdlemn7 30643
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemn8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemn8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemn8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemn8.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
cdlemn8.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
cdlemn8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemn8.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
cdlemn8.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
cdlemn8.s  |-  .+  =  ( +g  `  U )
cdlemn8.f  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
cdlemn8.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
Assertion
Ref Expression
cdlemn7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( G  =  ( (
s `  F )  o.  g )  /\  (  _I  |`  T )  =  s ) )
Distinct variable groups:    .<_ , h    A, h    B, h    h, H   
h, K    T, h    P, h    Q, h    h, W
Allowed substitution hints:    A( g, s)    B( g, s)    P( g, s)    .+ ( g, h, s)    Q( g, s)    R( g, h, s)    T( g, s)    U( g, h, s)    E( g, h, s)    F( g, h, s)    G( g, h, s)    H( g, s)    K( g, s)    .<_ ( g, s)    O( g, h, s)    W( g, s)

Proof of Theorem cdlemn7
StepHypRef Expression
1 simp33 998 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
)
2 simp1 960 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 986 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp2r 987 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp31 996 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  s  e.  E )
6 simp32 997 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  g  e.  T )
7 cdlemn8.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 cdlemn8.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdlemn8.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 cdlemn8.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 cdlemn8.p . . . . 5  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
12 cdlemn8.o . . . . 5  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
13 cdlemn8.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 cdlemn8.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
15 cdlemn8.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
16 cdlemn8.s . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
17 cdlemn8.f . . . . 5  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemn6 30642 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T ) )  -> 
( <. ( s `  F ) ,  s
>.  .+  <. g ,  O >. )  =  <. (
( s `  F
)  o.  g ) ,  s >. )
192, 3, 4, 5, 6, 18syl122anc 1196 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( <. ( s `  F
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  =  <. (
( s `  F
)  o.  g ) ,  s >. )
201, 19eqtrd 2290 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  <. ( ( s `  F )  o.  g ) ,  s >. )
21 fvex 5472 . . . 4  |-  ( s `
 F )  e. 
_V
22 vex 2766 . . . 4  |-  g  e. 
_V
2321, 22coex 5203 . . 3  |-  ( ( s `  F )  o.  g )  e. 
_V
24 vex 2766 . . 3  |-  s  e. 
_V
2523, 24opth2 4220 . 2  |-  ( <. G ,  (  _I  |`  T ) >.  =  <. ( ( s `  F
)  o.  g ) ,  s >.  <->  ( G  =  ( ( s `
 F )  o.  g )  /\  (  _I  |`  T )  =  s ) )
2620, 25sylib 190 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( G  =  ( (
s `  F )  o.  g )  /\  (  _I  |`  T )  =  s ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    /\ wa 360    /\ w3a 939    = wceq 1619    e. wcel 1621   <.cop 3617   class class class wbr 3997    e. cmpt 4051    _I cid 4276    |` cres 4663    o. ccom 4665   ` cfv 4673  (class class class)co 5792   iota_crio 6263   Basecbs 13111   +g cplusg 13171   lecple 13178   occoc 13179   Atomscatm 28703   HLchlt 28790   LHypclh 29423   LTrncltrn 29540   TEndoctendo 30191   DVecHcdvh 30518
This theorem is referenced by:  cdlemn8  30644
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-undef 6264  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-oadd 6451  df-er 6628  df-map 6742  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-5 9775  df-6 9776  df-n0 9934  df-z 9993  df-uz 10199  df-fz 10750  df-struct 13113  df-ndx 13114  df-slot 13115  df-base 13116  df-plusg 13184  df-mulr 13185  df-sca 13187  df-vsca 13188  df-poset 14043  df-plt 14055  df-lub 14071  df-glb 14072  df-join 14073  df-meet 14074  df-p0 14108  df-p1 14109  df-lat 14115  df-clat 14177  df-oposet 28616  df-ol 28618  df-oml 28619  df-covers 28706  df-ats 28707  df-atl 28738  df-cvlat 28762  df-hlat 28791  df-llines 28937  df-lplanes 28938  df-lvols 28939  df-lines 28940  df-psubsp 28942  df-pmap 28943  df-padd 29235  df-lhyp 29427  df-laut 29428  df-ldil 29543  df-ltrn 29544  df-trl 29598  df-tendo 30194  df-edring 30196  df-dvech 30519
  Copyright terms: Public domain W3C validator