Users' Mathboxes Mathbox for Norm Megill < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >   Mathboxes  >  cdlemn7 Unicode version

Theorem cdlemn7 30672
Description: Part of proof of Lemma N of [Crawley] p. 121 line 36. (Contributed by NM, 26-Feb-2014.)
Hypotheses
Ref Expression
cdlemn8.b  |-  B  =  ( Base `  K
)
cdlemn8.l  |-  .<_  =  ( le `  K )
cdlemn8.a  |-  A  =  ( Atoms `  K )
cdlemn8.h  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
cdlemn8.p  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
cdlemn8.o  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
cdlemn8.t  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
cdlemn8.e  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
cdlemn8.u  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
cdlemn8.s  |-  .+  =  ( +g  `  U )
cdlemn8.f  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
cdlemn8.g  |-  G  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  R )
Assertion
Ref Expression
cdlemn7  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( G  =  ( (
s `  F )  o.  g )  /\  (  _I  |`  T )  =  s ) )
Distinct variable groups:    .<_ , h    A, h    B, h    h, H   
h, K    T, h    P, h    Q, h    h, W
Allowed substitution hints:    A( g, s)    B( g, s)    P( g, s)    .+ ( g, h, s)    Q( g, s)    R( g, h, s)    T( g, s)    U( g, h, s)    E( g, h, s)    F( g, h, s)    G( g, h, s)    H( g, s)    K( g, s)    .<_ ( g, s)    O( g, h, s)    W( g, s)

Proof of Theorem cdlemn7
StepHypRef Expression
1 simp33 993 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
)
2 simp1 955 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( K  e.  HL  /\  W  e.  H ) )
3 simp2l 981 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W ) )
4 simp2r 982 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )
5 simp31 991 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  s  e.  E )
6 simp32 992 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  g  e.  T )
7 cdlemn8.b . . . . 5  |-  B  =  ( Base `  K
)
8 cdlemn8.l . . . . 5  |-  .<_  =  ( le `  K )
9 cdlemn8.a . . . . 5  |-  A  =  ( Atoms `  K )
10 cdlemn8.h . . . . 5  |-  H  =  ( LHyp `  K
)
11 cdlemn8.p . . . . 5  |-  P  =  ( ( oc `  K ) `  W
)
12 cdlemn8.o . . . . 5  |-  O  =  ( h  e.  T  |->  (  _I  |`  B ) )
13 cdlemn8.t . . . . 5  |-  T  =  ( ( LTrn `  K
) `  W )
14 cdlemn8.e . . . . 5  |-  E  =  ( ( TEndo `  K
) `  W )
15 cdlemn8.u . . . . 5  |-  U  =  ( ( DVecH `  K
) `  W )
16 cdlemn8.s . . . . 5  |-  .+  =  ( +g  `  U )
17 cdlemn8.f . . . . 5  |-  F  =  ( iota_ h  e.  T
( h `  P
)  =  Q )
187, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17cdlemn6 30671 . . . 4  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T ) )  -> 
( <. ( s `  F ) ,  s
>.  .+  <. g ,  O >. )  =  <. (
( s `  F
)  o.  g ) ,  s >. )
192, 3, 4, 5, 6, 18syl122anc 1191 . . 3  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( <. ( s `  F
) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )  =  <. (
( s `  F
)  o.  g ) ,  s >. )
201, 19eqtrd 2316 . 2  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  <. ( ( s `  F )  o.  g ) ,  s >. )
21 fvex 5500 . . . 4  |-  ( s `
 F )  e. 
_V
22 vex 2792 . . . 4  |-  g  e. 
_V
2321, 22coex 5214 . . 3  |-  ( ( s `  F )  o.  g )  e. 
_V
24 vex 2792 . . 3  |-  s  e. 
_V
2523, 24opth2 4247 . 2  |-  ( <. G ,  (  _I  |`  T ) >.  =  <. ( ( s `  F
)  o.  g ) ,  s >.  <->  ( G  =  ( ( s `
 F )  o.  g )  /\  (  _I  |`  T )  =  s ) )
2620, 25sylib 188 1  |-  ( ( ( K  e.  HL  /\  W  e.  H )  /\  ( ( Q  e.  A  /\  -.  Q  .<_  W )  /\  ( R  e.  A  /\  -.  R  .<_  W ) )  /\  ( s  e.  E  /\  g  e.  T  /\  <. G , 
(  _I  |`  T )
>.  =  ( <. ( s `  F ) ,  s >.  .+  <. g ,  O >. )
) )  ->  ( G  =  ( (
s `  F )  o.  g )  /\  (  _I  |`  T )  =  s ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    /\ wa 358    /\ w3a 934    = wceq 1623    e. wcel 1685   <.cop 3644   class class class wbr 4024    e. cmpt 4078    _I cid 4303    |` cres 4690    o. ccom 4692   ` cfv 5221  (class class class)co 5820   iota_crio 6291   Basecbs 13144   +g cplusg 13204   lecple 13211   occoc 13212   Atomscatm 28732   HLchlt 28819   LHypclh 29452   LTrncltrn 29569   TEndoctendo 30220   DVecHcdvh 30547
This theorem is referenced by:  cdlemn8  30673
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1636  ax-8 1644  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1868  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8789  ax-resscn 8790  ax-1cn 8791  ax-icn 8792  ax-addcl 8793  ax-addrcl 8794  ax-mulcl 8795  ax-mulrcl 8796  ax-mulcom 8797  ax-addass 8798  ax-mulass 8799  ax-distr 8800  ax-i2m1 8801  ax-1ne0 8802  ax-1rid 8803  ax-rnegex 8804  ax-rrecex 8805  ax-cnre 8806  ax-pre-lttri 8807  ax-pre-lttrn 8808  ax-pre-ltadd 8809  ax-pre-mulgt0 8810
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1631  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-iin 3909  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5823  df-oprab 5824  df-mpt2 5825  df-1st 6084  df-2nd 6085  df-iota 6253  df-undef 6292  df-riota 6300  df-recs 6384  df-rdg 6419  df-1o 6475  df-oadd 6479  df-er 6656  df-map 6770  df-en 6860  df-dom 6861  df-sdom 6862  df-fin 6863  df-pnf 8865  df-mnf 8866  df-xr 8867  df-ltxr 8868  df-le 8869  df-sub 9035  df-neg 9036  df-nn 9743  df-2 9800  df-3 9801  df-4 9802  df-5 9803  df-6 9804  df-n0 9962  df-z 10021  df-uz 10227  df-fz 10779  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-poset 14076  df-plt 14088  df-lub 14104  df-glb 14105  df-join 14106  df-meet 14107  df-p0 14141  df-p1 14142  df-lat 14148  df-clat 14210  df-oposet 28645  df-ol 28647  df-oml 28648  df-covers 28735  df-ats 28736  df-atl 28767  df-cvlat 28791  df-hlat 28820  df-llines 28966  df-lplanes 28967  df-lvols 28968  df-lines 28969  df-psubsp 28971  df-pmap 28972  df-padd 29264  df-lhyp 29456  df-laut 29457  df-ldil 29572  df-ltrn 29573  df-trl 29627  df-tendo 30223  df-edring 30225  df-dvech 30548
  Copyright terms: Public domain W3C validator