Theorem ceim1lt 6251

Description: One less than the ceiling of a real number is strictly less than that number. (Contributed by Jeffrey Hankins, 10-Jun-2007.)

Assertion

Ref	Expression
ceim1lt	|- (A e. RR -> (-u(|_` -uA) - 1) < A)

Proof of Theorem ceim1lt

Step	Hyp	Ref	Expression
1		renegclt 5449	. . . . . 6 |- (A e. RR -> -uA e. RR)
2		flreclt 6229	. . . . . 6 |- (-uA e. RR -> (|_` -uA) e. RR)
3	1, 2	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> (|_` -uA) e. RR)
4	3	recnd 5327	. . . 4 |- (A e. RR -> (|_` -uA) e. CC)
5		ax1cn 5281	. . . . 5 |- 1 e. CC
6		negdit 5467	. . . . 5 |- (((|_` -uA) e. CC /\ 1 e. CC) -> -u((|_` -uA) + 1) = (-u(|_` -uA) + -u1))
7	5, 6	mpan2 698	. . . 4 |- ((|_` -uA) e. CC -> -u((|_` -uA) + 1) = (-u(|_` -uA) + -u1))
8	4, 7	syl 10	. . 3 |- (A e. RR -> -u((|_` -uA) + 1) = (-u(|_` -uA) + -u1))
9		negclt 5380	. . . 4 |- ((|_` -uA) e. CC -> -u(|_` -uA) e. CC)
10		negsubt 5394	. . . . 5 |- ((-u(|_` -uA) e. CC /\ 1 e. CC) -> (-u(|_` -uA) + -u1) = (-u(|_` -uA) - 1))
11	5, 10	mpan2 698	. . . 4 |- (-u(|_` -uA) e. CC -> (-u(|_` -uA) + -u1) = (-u(|_` -uA) - 1))
12	4, 9, 11	3syl 20	. . 3 |- (A e. RR -> (-u(|_` -uA) + -u1) = (-u(|_` -uA) - 1))
13	8, 12	eqtr2d 1511	. 2 |- (A e. RR -> (-u(|_` -uA) - 1) = -u((|_` -uA) + 1))
14		peano2re 5448	. . . 4 |- ((|_` -uA) e. RR -> ((|_` -uA) + 1) e. RR)
15	3, 14	syl 10	. . 3 |- (A e. RR -> ((|_` -uA) + 1) e. RR)
16		flltp1t 6232	. . . . . 6 |- (-uA e. RR -> -uA < ((|_` -uA) + 1))
17	1, 16	syl 10	. . . . 5 |- (A e. RR -> -uA < ((|_` -uA) + 1))
18	17	adantr 391	. . . 4 |- ((A e. RR /\ ((|_` -uA) + 1) e. RR) -> -uA < ((|_` -uA) + 1))
19		ltnegcon1t 5668	. . . 4 |- ((A e. RR /\ ((|_` -uA) + 1) e. RR) -> (-uA < ((|_` -uA) + 1) <-> -u((|_` -uA) + 1) < A))
20	18, 19	mpbid 195	. . 3 |- ((A e. RR /\ ((|_` -uA) + 1) e. RR) -> -u((|_` -uA) + 1) < A)
21	15, 20	mpdan 706	. 2 |- (A e. RR -> -u((|_` -uA) + 1) < A)
22	13, 21	eqbrtrd 2640	1 |- (A e. RR -> (-u(|_` -uA) - 1) < A)

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223   = wceq 958   e. wcel 960   class class class wbr 2624  ` cfv 3188  (class class class)co 3969  CCcc 5244  RRcr 5245  1c1 5247   + caddc 5249   - cmin 5304  -ucneg 5305   < clt 5498  |_cfl 6225

This theorem is referenced by:  ceilet 6252

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-n 5927  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226

Copyright terms: Public domain