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Theorem cfcof 7900
Description: If there is a cofinal map from  A to  B, then they have the same cofinality. This was used as Definition 11.1 of [TakeutiZaring] p. 100, who defines an equivalence relation cof  ( A ,  B ) and defines our  cf ( B ) as the minimum  B such that cof  ( A ,  B
). (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfcof  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  B
) ) )
Distinct variable groups:    w, f,
z, A    B, f, w, z

Proof of Theorem cfcof
Dummy variables  c 
g  h  k  r  s  t  x  y  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfcoflem 7898 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
21imp 418 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) ) )  -> 
( cf `  A
)  C_  ( cf `  B ) )
3 cff1 7884 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  E. g
( g : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A
) s  C_  (
g `  t )
) )
4 f1f 5437 . . . . . . . . 9  |-  ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  ->  g : ( cf `  A
) --> A )
54anim1i 551 . . . . . . . 8  |-  ( ( g : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A ) s  C_  ( g `  t
) )  ->  (
g : ( cf `  A ) --> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A ) s  C_  ( g `  t
) ) )
65eximi 1563 . . . . . . 7  |-  ( E. g ( g : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A
) s  C_  (
g `  t )
)  ->  E. g
( g : ( cf `  A ) --> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A
) s  C_  (
g `  t )
) )
73, 6syl 15 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  E. g
( g : ( cf `  A ) --> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A
) s  C_  (
g `  t )
) )
8 eqid 2283 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  ( cf `  A
)  |->  |^| { v  e.  B  |  ( g `
 y )  C_  ( f `  v
) } )  =  ( y  e.  ( cf `  A ) 
|->  |^| { v  e.  B  |  ( g `
 y )  C_  ( f `  v
) } )
98coftr 7899 . . . . . 6  |-  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
)  ->  ( E. g ( g : ( cf `  A
) --> A  /\  A. s  e.  A  E. t  e.  ( cf `  A ) s  C_  ( g `  t
) )  ->  E. h
( h : ( cf `  A ) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A
) r  C_  (
h `  t )
) ) )
107, 9syl5com 26 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  (
f `  w )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  A ) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A
) r  C_  (
h `  t )
) ) )
11 eloni 4402 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  Ord  B )
12 cfon 7881 . . . . . . 7  |-  ( cf `  A )  e.  On
13 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  { x  e.  ( cf `  A
)  |  A. t  e.  x  ( h `  t )  e.  ( h `  x ) }  =  { x  e.  ( cf `  A
)  |  A. t  e.  x  ( h `  t )  e.  ( h `  x ) }
14 eqid 2283 . . . . . . . 8  |-  |^| { c  e.  ( cf `  A
)  |  r  C_  ( h `  c
) }  =  |^| { c  e.  ( cf `  A )  |  r 
C_  ( h `  c ) }
15 eqid 2283 . . . . . . . 8  |- OrdIso (  _E  ,  { x  e.  ( cf `  A
)  |  A. t  e.  x  ( h `  t )  e.  ( h `  x ) } )  = OrdIso (  _E  ,  { x  e.  ( cf `  A
)  |  A. t  e.  x  ( h `  t )  e.  ( h `  x ) } )
1613, 14, 15cofsmo 7895 . . . . . . 7  |-  ( ( Ord  B  /\  ( cf `  A )  e.  On )  ->  ( E. h ( h : ( cf `  A
) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A ) r  C_  ( h `  t
) )  ->  E. c  e.  suc  ( cf `  A
) E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) ) )
1711, 12, 16sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. h ( h : ( cf `  A
) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A ) r  C_  ( h `  t
) )  ->  E. c  e.  suc  ( cf `  A
) E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) ) )
18 3simpb 953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) )  ->  (
k : c --> B  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  (
k `  s )
) )
1918eximi 1563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  (
k `  s )
)  ->  E. k
( k : c --> B  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) )
2012onsuci 4629 . . . . . . . . . . . . 13  |-  suc  ( cf `  A )  e.  On
2120oneli 4500 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( c  e.  suc  ( cf `  A )  ->  c  e.  On )
22 cfflb 7885 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( B  e.  On  /\  c  e.  On )  ->  ( E. k ( k : c --> B  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  (
k `  s )
)  ->  ( cf `  B )  C_  c
) )
2321, 22sylan2 460 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  -> 
( E. k ( k : c --> B  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  (
k `  s )
)  ->  ( cf `  B )  C_  c
) )
2419, 23syl5 28 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  -> 
( E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) )  ->  ( cf `  B )  C_  c ) )
2524imp 418 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  /\  E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) )  -> 
( cf `  B
)  C_  c )
26 onsssuc 4480 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( c  e.  On  /\  ( cf `  A )  e.  On )  -> 
( c  C_  ( cf `  A )  <->  c  e.  suc  ( cf `  A
) ) )
2721, 12, 26sylancl 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( c  e.  suc  ( cf `  A )  ->  (
c  C_  ( cf `  A )  <->  c  e.  suc  ( cf `  A
) ) )
2827ibir 233 . . . . . . . . . 10  |-  ( c  e.  suc  ( cf `  A )  ->  c  C_  ( cf `  A
) )
2928ad2antlr 707 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  /\  E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) )  -> 
c  C_  ( cf `  A ) )
3025, 29sstrd 3189 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( B  e.  On  /\  c  e.  suc  ( cf `  A ) )  /\  E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) ) )  -> 
( cf `  B
)  C_  ( cf `  A ) )
3130exp31 587 . . . . . . 7  |-  ( B  e.  On  ->  (
c  e.  suc  ( cf `  A )  -> 
( E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) )  ->  ( cf `  B )  C_  ( cf `  A ) ) ) )
3231rexlimdv 2666 . . . . . 6  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. c  e.  suc  ( cf `  A ) E. k ( k : c --> B  /\  Smo  k  /\  A. r  e.  B  E. s  e.  c  r  C_  ( k `  s
) )  ->  ( cf `  B )  C_  ( cf `  A ) ) )
3317, 32syld 40 . . . . 5  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. h ( h : ( cf `  A
) --> B  /\  A. r  e.  B  E. t  e.  ( cf `  A ) r  C_  ( h `  t
) )  ->  ( cf `  B )  C_  ( cf `  A ) ) )
3410, 33sylan9 638 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( cf `  B )  C_  ( cf `  A ) ) )
3534imp 418 . . 3  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) ) )  -> 
( cf `  B
)  C_  ( cf `  A ) )
362, 35eqssd 3196 . 2  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  /\  E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) ) )  -> 
( cf `  A
)  =  ( cf `  B ) )
3736ex 423 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  B  z  C_  ( f `  w
) )  ->  ( cf `  A )  =  ( cf `  B
) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1528    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544   {crab 2547    C_ wss 3152   |^|cint 3862    e. cmpt 4077    _E cep 4303   Ord word 4391   Oncon0 4392   suc csuc 4394   -->wf 5251   -1-1->wf1 5252   ` cfv 5255   Smo wsmo 6362  OrdIsocoi 7224   cfccf 7570
This theorem is referenced by:  alephsing  7902
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-smo 6363  df-recs 6388  df-er 6660  df-map 6774  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-oi 7225  df-card 7572  df-cf 7574  df-acn 7575
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