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Theorem cfcoflem 8108
Description: Lemma for cfcof 8110, showing subset relation in one direction. (Contributed by Mario Carneiro, 9-Mar-2013.) (Revised by Mario Carneiro, 26-Dec-2014.)
Assertion
Ref Expression
cfcoflem  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
Distinct variable groups:    A, f, x, y    B, f, x, y

Proof of Theorem cfcoflem
Dummy variables  g  h  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cff1 8094 . . 3  |-  ( B  e.  On  ->  E. g
( g : ( cf `  B )
-1-1-> B  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )
) )
2 f1f 5598 . . . . . 6  |-  ( g : ( cf `  B
) -1-1-> B  ->  g : ( cf `  B
) --> B )
3 fco 5559 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : B --> A  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  -> 
( f  o.  g
) : ( cf `  B ) --> A )
43adantlr 696 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
f  o.  g ) : ( cf `  B
) --> A )
54adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) ) )  -> 
( f  o.  g
) : ( cf `  B ) --> A )
6 r19.29 2806 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  /\  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) )  ->  E. y  e.  B  ( E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
)  /\  x  C_  (
f `  y )
) )
7 ffvelrn 5827 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( g : ( cf `  B ) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  -> 
( g `  z
)  e.  B )
8 ffn 5550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( f : B --> A  -> 
f  Fn  B )
9 smoword 6587 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( y  e.  B  /\  ( g `  z
)  e.  B ) )  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  <->  ( f `  y )  C_  (
f `  ( g `  z ) ) ) )
109biimpd 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37  |-  ( ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  /\  ( y  e.  B  /\  ( g `  z
)  e.  B ) )  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  ->  ( f `  y )  C_  (
f `  ( g `  z ) ) ) )
1110exp32 589 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36  |-  ( ( f  Fn  B  /\  Smo  f )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ( g `  z )  e.  B  ->  ( y  C_  (
g `  z )  ->  ( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) ) ) )
128, 11sylan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ( g `  z )  e.  B  ->  ( y  C_  (
g `  z )  ->  ( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) ) ) )
137, 12syl7 65 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ( g : ( cf `  B
) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B
) )  ->  (
y  C_  ( g `  z )  ->  (
f `  y )  C_  ( f `  (
g `  z )
) ) ) ) )
1413com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  (
( g : ( cf `  B ) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B
) )  ->  (
y  e.  B  -> 
( y  C_  (
g `  z )  ->  ( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) ) ) )
1514expdimp 427 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
z  e.  ( cf `  B )  ->  (
y  e.  B  -> 
( y  C_  (
g `  z )  ->  ( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) ) ) )
16153imp2 1168 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `
 z ) ) )  ->  ( f `  y )  C_  (
f `  ( g `  z ) ) )
17 sstr2 3315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( x 
C_  ( f `  y )  ->  (
( f `  y
)  C_  ( f `  ( g `  z
) )  ->  x  C_  ( f `  (
g `  z )
) ) )
1816, 17syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `
 z ) ) )  ->  ( x  C_  ( f `  y
)  ->  x  C_  (
f `  ( g `  z ) ) ) )
19 fvco3 5759 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33  |-  ( ( g : ( cf `  B ) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  -> 
( ( f  o.  g ) `  z
)  =  ( f `
 ( g `  z ) ) )
2019sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32  |-  ( ( g : ( cf `  B ) --> B  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  -> 
( x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )  <->  x 
C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) )
2120adantll 695 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  -> 
( x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )  <->  x 
C_  ( f `  ( g `  z
) ) ) )
22213ad2antr1 1122 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `
 z ) ) )  ->  ( x  C_  ( ( f  o.  g ) `  z
)  <->  x  C_  ( f `
 ( g `  z ) ) ) )
2318, 22sylibrd 226 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `
 z ) ) )  ->  ( x  C_  ( f `  y
)  ->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
2423expcom 425 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28  |-  ( ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B  /\  y  C_  ( g `  z
) )  ->  (
( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  -> 
( x  C_  (
f `  y )  ->  x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) ) )
25243expia 1155 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27  |-  ( ( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B )  ->  (
y  C_  ( g `  z )  ->  (
( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  -> 
( x  C_  (
f `  y )  ->  x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) ) ) )
2625com4t 81 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  ->  (
( z  e.  ( cf `  B )  /\  y  e.  B
)  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  ->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) ) ) )
2726imp 419 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  x  C_  ( f `  y ) )  -> 
( ( z  e.  ( cf `  B
)  /\  y  e.  B )  ->  (
y  C_  ( g `  z )  ->  x  C_  ( ( f  o.  g ) `  z
) ) ) )
2827exp3acom23 1378 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  x  C_  ( f `  y ) )  -> 
( y  e.  B  ->  ( z  e.  ( cf `  B )  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  ->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) ) ) )
2928imp31 422 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  x  C_  ( f `  y ) )  /\  y  e.  B )  /\  z  e.  ( cf `  B ) )  ->  ( y  C_  ( g `  z
)  ->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
3029reximdva 2778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  x  C_  ( f `  y ) )  /\  y  e.  B )  ->  ( E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) )
3130exp31 588 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  ->  (
y  e.  B  -> 
( E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) ) ) )
3231com34 79 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  ->  ( E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  ->  (
y  e.  B  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( ( f  o.  g ) `  z ) ) ) ) )
3332com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  ( E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  ->  (
x  C_  ( f `  y )  ->  (
y  e.  B  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( ( f  o.  g ) `  z ) ) ) ) )
3433imp3a 421 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
( E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  /\  x  C_  ( f `
 y ) )  ->  ( y  e.  B  ->  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) ) )
3534com23 74 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
y  e.  B  -> 
( ( E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  /\  x  C_  ( f `
 y ) )  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( (
f  o.  g ) `
 z ) ) ) )
3635rexlimdv 2789 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  ( E. y  e.  B  ( E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z )  /\  x  C_  ( f `  y
) )  ->  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
376, 36syl5 30 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B ) --> B )  ->  (
( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  /\  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y ) )  ->  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( ( f  o.  g ) `  z ) ) )
3837expdimp 427 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
) )  ->  ( E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  ->  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
3938ralimdv 2745 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
) )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
4039impr 603 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) ) )  ->  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( ( f  o.  g ) `  z ) )
41 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  f  e. 
_V
42 vex 2919 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  g  e. 
_V
4341, 42coex 5372 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f  o.  g )  e. 
_V
44 feq1 5535 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h : ( cf `  B ) --> A  <->  ( f  o.  g ) : ( cf `  B ) --> A ) )
45 fveq1 5686 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
h `  z )  =  ( ( f  o.  g ) `  z ) )
4645sseq2d 3336 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
x  C_  ( h `  z )  <->  x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
4746rexbidv 2687 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  ( E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( h `  z )  <->  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
4847ralbidv 2686 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  ( A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x 
C_  ( h `  z )  <->  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
( f  o.  g
) `  z )
) )
4944, 48anbi12d 692 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( h  =  ( f  o.  g )  ->  (
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
)  <->  ( ( f  o.  g ) : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( ( f  o.  g ) `  z
) ) ) )
5043, 49spcev 3003 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( f  o.  g
) : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( ( f  o.  g ) `  z
) )  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) )
515, 40, 50syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  /\  g : ( cf `  B
) --> B )  /\  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y
) ) )  ->  E. h ( h : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) ) )
5251exp43 596 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  (
g : ( cf `  B ) --> B  -> 
( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )  ->  E. h ( h : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) ) ) ) ) )
5352com24 83 . . . . . . . . 9  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f )  ->  ( A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  ( f `  y )  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  ->  (
g : ( cf `  B ) --> B  ->  E. h ( h : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) ) ) ) ) )
54533impia 1150 . . . . . . . 8  |-  ( ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
)  ->  ( g : ( cf `  B
) --> B  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) ) )
5554exlimiv 1641 . . . . . . 7  |-  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
)  ->  ( g : ( cf `  B
) --> B  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) ) )
5655com13 76 . . . . . 6  |-  ( g : ( cf `  B
) --> B  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y 
C_  ( g `  z )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) ) )
572, 56syl 16 . . . . 5  |-  ( g : ( cf `  B
) -1-1-> B  ->  ( A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
)  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) ) )
5857imp 419 . . . 4  |-  ( ( g : ( cf `  B ) -1-1-> B  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B ) y  C_  ( g `  z
) )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) )
5958exlimiv 1641 . . 3  |-  ( E. g ( g : ( cf `  B
) -1-1-> B  /\  A. y  e.  B  E. z  e.  ( cf `  B
) y  C_  (
g `  z )
)  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) )
601, 59syl 16 . 2  |-  ( B  e.  On  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  E. h
( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B
) x  C_  (
h `  z )
) ) )
61 cfon 8091 . . 3  |-  ( cf `  B )  e.  On
62 cfflb 8095 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  B )  e.  On )  -> 
( E. h ( h : ( cf `  B ) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) )  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
6361, 62mpan2 653 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. h ( h : ( cf `  B
) --> A  /\  A. x  e.  A  E. z  e.  ( cf `  B ) x  C_  ( h `  z
) )  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
6460, 63sylan9r 640 1  |-  ( ( A  e.  On  /\  B  e.  On )  ->  ( E. f ( f : B --> A  /\  Smo  f  /\  A. x  e.  A  E. y  e.  B  x  C_  (
f `  y )
)  ->  ( cf `  A )  C_  ( cf `  B ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1721   A.wral 2666   E.wrex 2667    C_ wss 3280   Oncon0 4541    o. ccom 4841    Fn wfn 5408   -->wf 5409   -1-1->wf1 5410   ` cfv 5413   Smo wsmo 6566   cfccf 7780
This theorem is referenced by:  cfcof  8110  cfidm  8111
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2385  ax-rep 4280  ax-sep 4290  ax-nul 4298  ax-pow 4337  ax-pr 4363  ax-un 4660
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2258  df-mo 2259  df-clab 2391  df-cleq 2397  df-clel 2400  df-nfc 2529  df-ne 2569  df-ral 2671  df-rex 2672  df-reu 2673  df-rmo 2674  df-rab 2675  df-v 2918  df-sbc 3122  df-csb 3212  df-dif 3283  df-un 3285  df-in 3287  df-ss 3294  df-pss 3296  df-nul 3589  df-if 3700  df-pw 3761  df-sn 3780  df-pr 3781  df-tp 3782  df-op 3783  df-uni 3976  df-int 4011  df-iun 4055  df-br 4173  df-opab 4227  df-mpt 4228  df-tr 4263  df-eprel 4454  df-id 4458  df-po 4463  df-so 4464  df-fr 4501  df-se 4502  df-we 4503  df-ord 4544  df-on 4545  df-suc 4547  df-xp 4843  df-rel 4844  df-cnv 4845  df-co 4846  df-dm 4847  df-rn 4848  df-res 4849  df-ima 4850  df-iota 5377  df-fun 5415  df-fn 5416  df-f 5417  df-f1 5418  df-fo 5419  df-f1o 5420  df-fv 5421  df-isom 5422  df-ov 6043  df-oprab 6044  df-mpt2 6045  df-1st 6308  df-2nd 6309  df-riota 6508  df-smo 6567  df-recs 6592  df-er 6864  df-map 6979  df-en 7069  df-dom 7070  df-sdom 7071  df-card 7782  df-cf 7784  df-acn 7785
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