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Theorem cff1 7900
Description: There is always a map from  ( cf `  A
) to  A (this is a stronger condition than the definition, which only presupposes a map from some  y  ~~  ( cf `  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cff1  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
Distinct variable group:    A, f, w, z

Proof of Theorem cff1
Dummy variables  s 
y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 7889 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
2 cardon 7593 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  y )  e.  On
3 eleq1 2356 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
42, 3mpbiri 224 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
54adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  x  e.  On )
65exlimiv 1624 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  x  e.  On )
76abssi 3261 . . . . 5  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } 
C_  On
8 cflem 7888 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
9 abn0 3486 . . . . . 6  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
108, 9sylibr 203 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  =/=  (/) )
11 onint 4602 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } 
C_  On  /\  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
127, 10, 11sylancr 644 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
131, 12eqeltrd 2370 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
14 fvex 5555 . . . 4  |-  ( cf `  A )  e.  _V
15 eqeq1 2302 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) ) )
1615anbi1d 685 . . . . 5  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  <->  ( ( cf `  A )  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) ) )
1716exbidv 1616 . . . 4  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  <->  E. y
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) ) )
1814, 17elab 2927 . . 3  |-  ( ( cf `  A )  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  <->  E. y ( ( cf `  A )  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
) )
1913, 18sylib 188 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. y
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
20 simplr 731 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( cf `  A )  =  (
card `  y )
)
21 onss 4598 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
22 sstr 3200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
2321, 22sylan2 460 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
2423ancoms 439 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  On )
2524ad2ant2r 727 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  y  C_  On )
26 vex 2804 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
27 onssnum 7683 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
2826, 27mpan 651 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
29 cardid2 7602 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  card  ->  (
card `  y )  ~~  y )
3028, 29syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  On  ->  ( card `  y )  ~~  y
)
3130adantl 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  ( card `  y )  ~~  y )
32 breq1 4042 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cf `  A )  =  ( card `  y
)  ->  ( ( cf `  A )  ~~  y 
<->  ( card `  y
)  ~~  y )
)
3332adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  (
( cf `  A
)  ~~  y  <->  ( card `  y )  ~~  y
) )
3431, 33mpbird 223 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  ( cf `  A )  ~~  y )
35 bren 6887 . . . . . . 7  |-  ( ( cf `  A ) 
~~  y  <->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
3634, 35sylib 188 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
3720, 25, 36syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
38 f1of1 5487 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  f : ( cf `  A )
-1-1-> y )
39 f1ss 5458 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -1-1-> y  /\  y  C_  A )  -> 
f : ( cf `  A ) -1-1-> A )
4039ancoms 439 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  A  /\  f : ( cf `  A
) -1-1-> y )  -> 
f : ( cf `  A ) -1-1-> A )
4138, 40sylan2 460 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  A  /\  f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
4241adantlr 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
43423adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
44 f1ofo 5495 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  f : ( cf `  A )
-onto-> y )
45 foelrn 5695 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -onto-> y  /\  s  e.  y )  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) s  =  ( f `
 w ) )
46 sseq2 3213 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  w )  ->  (
z  C_  s  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
4746biimpcd 215 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  s  ->  (
s  =  ( f `
 w )  -> 
z  C_  ( f `  w ) ) )
4847reximdv 2667 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  s  ->  ( E. w  e.  ( cf `  A ) s  =  ( f `  w )  ->  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
4945, 48syl5com 26 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -onto-> y  /\  s  e.  y )  ->  ( z  C_  s  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w ) ) )
5049rexlimdva 2680 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( cf `  A
) -onto-> y  ->  ( E. s  e.  y 
z  C_  s  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
5150ralimdv 2635 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( cf `  A
) -onto-> y  ->  ( A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
5244, 51syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  ( A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) )
5352impcom 419 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s  /\  f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
5453adantll 694 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
55543adant1 973 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
5643, 55jca 518 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  (
f : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
57563expia 1153 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
5857eximdv 1612 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( E. f  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y  ->  E. f ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
5937, 58mpd 14 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
6059expl 601 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  E. f ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
6160exlimdv 1626 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( ( cf `  A )  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
6219, 61mpd 14 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    /\ w3a 934   E.wex 1531    = wceq 1632    e. wcel 1696   {cab 2282    =/= wne 2459   A.wral 2556   E.wrex 2557   _Vcvv 2801    C_ wss 3165   (/)c0 3468   |^|cint 3878   class class class wbr 4039   Oncon0 4408   dom cdm 4705   -1-1->wf1 5268   -onto->wfo 5269   -1-1-onto->wf1o 5270   ` cfv 5271    ~~ cen 6876   cardccrd 7584   cfccf 7586
This theorem is referenced by:  cfsmolem  7912  cfcoflem  7914  cfcof  7916  alephreg  8220
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-suc 4414  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-riota 6320  df-recs 6404  df-er 6676  df-en 6880  df-dom 6881  df-card 7588  df-cf 7590
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