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Theorem cff1 8072
Description: There is always a map from  ( cf `  A
) to  A (this is a stronger condition than the definition, which only presupposes a map from some  y  ~~  ( cf `  A ). (Contributed by Mario Carneiro, 28-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cff1  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
Distinct variable group:    A, f, w, z

Proof of Theorem cff1
Dummy variables  s 
y  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfval 8061 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
2 cardon 7765 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  y )  e.  On
3 eleq1 2448 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
42, 3mpbiri 225 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
54adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  x  e.  On )
65exlimiv 1641 . . . . . 6  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  x  e.  On )
76abssi 3362 . . . . 5  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } 
C_  On
8 cflem 8060 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
9 abn0 3590 . . . . . 6  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
) }  =/=  (/)  <->  E. x E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
108, 9sylibr 204 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  =/=  (/) )
11 onint 4716 . . . . 5  |-  ( ( { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } 
C_  On  /\  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  =/=  (/) )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
127, 10, 11sylancr 645 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
131, 12eqeltrd 2462 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) } )
14 fvex 5683 . . . 4  |-  ( cf `  A )  e.  _V
15 eqeq1 2394 . . . . . 6  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) ) )
1615anbi1d 686 . . . . 5  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  <->  ( ( cf `  A )  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) ) )
1716exbidv 1633 . . . 4  |-  ( x  =  ( cf `  A
)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  <->  E. y
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) ) )
1814, 17elab 3026 . . 3  |-  ( ( cf `  A )  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) }  <->  E. y ( ( cf `  A )  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
) )
1913, 18sylib 189 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  E. y
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) ) )
20 simplr 732 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( cf `  A )  =  (
card `  y )
)
21 onss 4712 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  A  C_  On )
22 sstr 3300 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  C_  On )  -> 
y  C_  On )
2321, 22sylan2 461 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
2423ancoms 440 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  A )  -> 
y  C_  On )
2524ad2ant2r 728 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  y  C_  On )
26 vex 2903 . . . . . . . . . . 11  |-  y  e. 
_V
27 onssnum 7855 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
2826, 27mpan 652 . . . . . . . . . 10  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
29 cardid2 7774 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  dom  card  ->  (
card `  y )  ~~  y )
3028, 29syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( y 
C_  On  ->  ( card `  y )  ~~  y
)
3130adantl 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  ( card `  y )  ~~  y )
32 breq1 4157 . . . . . . . . 9  |-  ( ( cf `  A )  =  ( card `  y
)  ->  ( ( cf `  A )  ~~  y 
<->  ( card `  y
)  ~~  y )
)
3332adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  (
( cf `  A
)  ~~  y  <->  ( card `  y )  ~~  y
) )
3431, 33mpbird 224 . . . . . . 7  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  ( cf `  A )  ~~  y )
35 bren 7054 . . . . . . 7  |-  ( ( cf `  A ) 
~~  y  <->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
3634, 35sylib 189 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  y  C_  On )  ->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
3720, 25, 36syl2anc 643 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f 
f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )
38 f1of1 5614 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  f : ( cf `  A )
-1-1-> y )
39 f1ss 5585 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -1-1-> y  /\  y  C_  A )  -> 
f : ( cf `  A ) -1-1-> A )
4039ancoms 440 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  A  /\  f : ( cf `  A
) -1-1-> y )  -> 
f : ( cf `  A ) -1-1-> A )
4138, 40sylan2 461 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  C_  A  /\  f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
4241adantlr 696 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
43423adant1 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  f : ( cf `  A
) -1-1-> A )
44 f1ofo 5622 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  f : ( cf `  A )
-onto-> y )
45 foelrn 5828 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -onto-> y  /\  s  e.  y )  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) s  =  ( f `
 w ) )
46 sseq2 3314 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( s  =  ( f `  w )  ->  (
z  C_  s  <->  z  C_  ( f `  w
) ) )
4746biimpcd 216 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z 
C_  s  ->  (
s  =  ( f `
 w )  -> 
z  C_  ( f `  w ) ) )
4847reximdv 2761 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( z 
C_  s  ->  ( E. w  e.  ( cf `  A ) s  =  ( f `  w )  ->  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
4945, 48syl5com 28 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( f : ( cf `  A ) -onto-> y  /\  s  e.  y )  ->  ( z  C_  s  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w ) ) )
5049rexlimdva 2774 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( f : ( cf `  A
) -onto-> y  ->  ( E. s  e.  y 
z  C_  s  ->  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
5150ralimdv 2729 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( f : ( cf `  A
) -onto-> y  ->  ( A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
5244, 51syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  ( A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z 
C_  ( f `  w ) ) )
5352impcom 420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s  /\  f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
5453adantll 695 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
55543adant1 975 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
)
5643, 55jca 519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )  /\  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y )  ->  (
f : ( cf `  A ) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A ) z  C_  ( f `  w
) ) )
57563expia 1155 . . . . . 6  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( f : ( cf `  A
)
-1-1-onto-> y  ->  ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
5857eximdv 1629 . . . . 5  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  ( E. f  f : ( cf `  A ) -1-1-onto-> y  ->  E. f ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
5937, 58mpd 15 . . . 4  |-  ( ( ( A  e.  On  /\  ( cf `  A
)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
6059expl 602 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  (
( ( cf `  A
)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y  z  C_  s ) )  ->  E. f ( f : ( cf `  A
) -1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
6160exlimdv 1643 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( E. y ( ( cf `  A )  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. s  e.  y 
z  C_  s )
)  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) ) )
6219, 61mpd 15 1  |-  ( A  e.  On  ->  E. f
( f : ( cf `  A )
-1-1-> A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  ( cf `  A
) z  C_  (
f `  w )
) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1547    = wceq 1649    e. wcel 1717   {cab 2374    =/= wne 2551   A.wral 2650   E.wrex 2651   _Vcvv 2900    C_ wss 3264   (/)c0 3572   |^|cint 3993   class class class wbr 4154   Oncon0 4523   dom cdm 4819   -1-1->wf1 5392   -onto->wfo 5393   -1-1-onto->wf1o 5394   ` cfv 5395    ~~ cen 7043   cardccrd 7756   cfccf 7758
This theorem is referenced by:  cfsmolem  8084  cfcoflem  8086  cfcof  8088  alephreg  8391
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-suc 4529  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-riota 6486  df-recs 6570  df-er 6842  df-en 7047  df-dom 7048  df-card 7760  df-cf 7762
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