Theorem cffnon 4894

Description: Cofinality is a function on the class of ordinal numbers.

Assertion

Ref	Expression
cffnon	|- cf Fn On

Proof of Theorem cffnon

Step	Hyp	Ref	Expression
1		visset 1811	. . . 4 |- v e. V
2		cflem 4892	. . . 4 |- (v e. V -> E.xE.y(x = (card` y) /\ (y (_ v /\ A.z e. v E.w e. y z (_ w)))
3	1, 2	ax-mp 7	. . 3 |- E.xE.y(x = (card` y) /\ (y (_ v /\ A.z e. v E.w e. y z (_ w))
4		intexab 2728	. . 3 |- (E.xE.y(x = (card` y) /\ (y (_ v /\ A.z e. v E.w e. y z (_ w)) <-> |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ v /\ A.z e. v E.w e. y z (_ w))} e. V)
5	3, 4	mpbi 189	. 2 |- |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ v /\ A.z e. v E.w e. y z (_ w))} e. V
6		df-cf 4805	. 2 |- cf = {<.v, u>. | (v e. On /\ u = |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ v /\ A.z e. v E.w e. y z (_ w))})}
7	5, 6	fnopab2 3615	1 |- cf Fn On

Syntax hints:   /\ wa 223   = wceq 955   e. wcel 957  E.wex 979  {cab 1463  A.wral 1644  E.wrex 1645  Vcvv 1809   (_ wss 2045  |^|cint 2530  Oncon0 2945   Fn wfn 3174  ` cfv 3179  cardccrd 4800  cfccf 4802

This theorem is referenced by:  cfub 4895  cardcf 4898  cflecard 4899  cfle 4900

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-sep 2700  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-ral 1648  df-rex 1649  df-v 1810  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-nul 2279  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-br 2617  df-opab 2664  df-id 2832  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-fun 3189  df-fn 3190  df-fv 3195  df-cf 4805

Copyright terms: Public domain