Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfilufg Structured version   Unicode version

Theorem cfilufg 18361
 Description: The filter generated by a Cauchy filter base is still a Cauchy filter base. (Contributed by Thierry Arnoux, 24-Jan-2018.)
Assertion
Ref Expression
cfilufg UnifOn CauFilu CauFilu

Proof of Theorem cfilufg
Dummy variables are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 cfilufbas 18357 . . 3 UnifOn CauFilu
2 fgcl 17948 . . 3
3 filfbas 17918 . . 3
41, 2, 33syl 19 . 2 UnifOn CauFilu
51ad3antrrr 712 . . . . . . 7 UnifOn CauFilu
6 ssfg 17942 . . . . . . 7
75, 6syl 16 . . . . . 6 UnifOn CauFilu
8 simplr 733 . . . . . 6 UnifOn CauFilu
97, 8sseldd 3338 . . . . 5 UnifOn CauFilu
10 id 21 . . . . . . . 8
1110, 10xpeq12d 4938 . . . . . . 7
1211sseq1d 3364 . . . . . 6
1312rspcev 3061 . . . . 5
149, 13sylancom 650 . . . 4 UnifOn CauFilu
15 iscfilu 18356 . . . . . 6 UnifOn CauFilu
1615simplbda 609 . . . . 5 UnifOn CauFilu
1716r19.21bi 2811 . . . 4 UnifOn CauFilu
1814, 17r19.29a 2857 . . 3 UnifOn CauFilu
1918ralrimiva 2796 . 2 UnifOn CauFilu
20 iscfilu 18356 . . 3 UnifOn CauFilu
2120adantr 453 . 2 UnifOn CauFilu CauFilu
224, 19, 21mpbir2and 890 1 UnifOn CauFilu CauFilu
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 178   wa 360   wcel 1728  wral 2712  wrex 2713   wss 3309   cxp 4911  cfv 5489  (class class class)co 6117  cfbas 16727  cfg 16728  cfil 17915  UnifOncust 18267  CauFiluccfilu 18354 This theorem is referenced by:  ucnextcn  18372 This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1628  ax-9 1669  ax-8 1690  ax-13 1730  ax-14 1732  ax-6 1747  ax-7 1752  ax-11 1764  ax-12 1954  ax-ext 2424  ax-sep 4361  ax-nul 4369  ax-pow 4412  ax-pr 4438  ax-un 4736 This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1661  df-eu 2292  df-mo 2293  df-clab 2430  df-cleq 2436  df-clel 2439  df-nfc 2568  df-ne 2608  df-nel 2609  df-ral 2717  df-rex 2718  df-rab 2721  df-v 2967  df-sbc 3171  df-csb 3271  df-dif 3312  df-un 3314  df-in 3316  df-ss 3323  df-nul 3617  df-if 3768  df-pw 3830  df-sn 3849  df-pr 3850  df-op 3852  df-uni 4045  df-iun 4124  df-br 4244  df-opab 4298  df-mpt 4299  df-id 4533  df-xp 4919  df-rel 4920  df-cnv 4921  df-co 4922  df-dm 4923  df-rn 4924  df-res 4925  df-ima 4926  df-iota 5453  df-fun 5491  df-fn 5492  df-fv 5497  df-ov 6120  df-oprab 6121  df-mpt2 6122  df-fbas 16737  df-fg 16738  df-fil 17916  df-ust 18268  df-cfilu 18355
 Copyright terms: Public domain W3C validator