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Theorem cflm 7871
Description: Value of the cofinality function at a limit ordinal. Part of Definition of cofinality of [Enderton] p. 257. (Contributed by NM, 26-Apr-2004.)
Assertion
Ref Expression
cflm  |-  ( ( A  e.  B  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
Distinct variable group:    x, y, A
Allowed substitution hints:    B( x, y)

Proof of Theorem cflm
StepHypRef Expression
1 elex 2797 . 2  |-  ( A  e.  B  ->  A  e.  _V )
2 limsuc 4639 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( Lim 
A  ->  ( v  e.  A  <->  suc  v  e.  A
) )
32biimpd 200 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( Lim 
A  ->  ( v  e.  A  ->  suc  v  e.  A ) )
4 sseq1 3200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( z  =  suc  v  -> 
( z  C_  w  <->  suc  v  C_  w )
)
54rexbidv 2565 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( z  =  suc  v  -> 
( E. w  e.  y  z  C_  w  <->  E. w  e.  y  suc  v  C_  w )
)
65rspcv 2881 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( suc  v  e.  A  -> 
( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  E. w  e.  y  suc  v  C_  w
) )
7 vex 2792 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  v  e. 
_V
8 sucssel 4484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( v  e.  _V  ->  ( suc  v  C_  w  -> 
v  e.  w ) )
97, 8ax-mp 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( suc  v  C_  w  ->  v  e.  w )
109reximi 2651 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( E. w  e.  y  suc  v  C_  w  ->  E. w  e.  y  v  e.  w )
11 eluni2 3832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( v  e.  U. y  <->  E. w  e.  y  v  e.  w )
1210, 11sylibr 205 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( E. w  e.  y  suc  v  C_  w  ->  v  e.  U. y )
136, 12syl6com 33 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  ( suc  v  e.  A  ->  v  e.  U. y ) )
143, 13syl9 68 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  ( v  e.  A  ->  v  e. 
U. y ) ) )
1514ralrimdv 2633 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  A. v  e.  A  v  e.  U. y ) )
16 dfss3 3171 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A 
C_  U. y  <->  A. v  e.  A  v  e.  U. y )
1715, 16syl6ibr 220 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w  ->  A  C_  U. y
) )
1817adantr 453 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  ->  A 
C_  U. y ) )
19 uniss 3849 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  A  ->  U. y  C_ 
U. A )
20 limuni 4451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( Lim 
A  ->  A  =  U. A )
2120sseq2d 3207 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( Lim 
A  ->  ( U. y  C_  A  <->  U. y  C_ 
U. A ) )
2219, 21syl5ibr 214 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( Lim 
A  ->  ( y  C_  A  ->  U. y  C_  A ) )
2322imp 420 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  U. y  C_  A )
2418, 23jctird 530 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  ->  ( A  C_  U. y  /\  U. y  C_  A
) ) )
25 eqss 3195 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  =  U. y  <->  ( A  C_ 
U. y  /\  U. y  C_  A ) )
2624, 25syl6ibr 220 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( Lim  A  /\  y  C_  A )  ->  ( A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w  ->  A  =  U. y ) )
2726imdistanda 677 . . . . . . . . . 10  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w )  ->  (
y  C_  A  /\  A  =  U. y
) ) )
2827anim2d 550 . . . . . . . . 9  |-  ( Lim 
A  ->  ( (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  =  U. y ) ) ) )
2928eximdv 1613 . . . . . . . 8  |-  ( Lim 
A  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) ) )
3029ss2abdv 3247 . . . . . . 7  |-  ( Lim 
A  ->  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
31 intss 3884 . . . . . . 7  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y 
z  C_  w )
) }  C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3230, 31syl 17 . . . . . 6  |-  ( Lim 
A  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3332adantl 454 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
34 limelon 4454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  A  e.  On )
35 cfval 7868 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3634, 35syl 17 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A. z  e.  A  E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
3733, 36sseqtr4d 3216 . . . 4  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  ( cf `  A ) )
38 cfub 7870 . . . . 5  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
39 eqimss 3231 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  =  U. y  ->  A  C_  U. y )
4039anim2i 555 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  C_  A  /\  A  =  U. y
)  ->  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) )
4140anim2i 555 . . . . . . . 8  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A  =  U. y
) )  ->  (
x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
4241eximi 1568 . . . . . . 7  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) )  ->  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) )
4342ss2abi 3246 . . . . . 6  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }
44 intss 3884 . . . . . 6  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  A  /\  A  =  U. y ) ) } 
C_  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) }  ->  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
4543, 44ax-mp 10 . . . . 5  |-  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  C_  U. y ) ) } 
C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }
4638, 45sstri 3189 . . . 4  |-  ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }
4737, 46jctil 525 . . 3  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  (
( cf `  A
)  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  /\  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  ( cf `  A ) ) )
48 eqss 3195 . . 3  |-  ( ( cf `  A )  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  <->  ( ( cf `  A )  C_  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  /\  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) }  C_  ( cf `  A ) ) )
4947, 48sylibr 205 . 2  |-  ( ( A  e.  _V  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
501, 49sylan 459 1  |-  ( ( A  e.  B  /\  Lim  A )  ->  ( cf `  A )  = 
|^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_  A  /\  A  = 
U. y ) ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360   E.wex 1533    = wceq 1628    e. wcel 1688   {cab 2270   A.wral 2544   E.wrex 2545   _Vcvv 2789    C_ wss 3153   U.cuni 3828   |^|cint 3863   Oncon0 4391   Lim wlim 4392   suc csuc 4393   ` cfv 5221   cardccrd 7563   cfccf 7565
This theorem is referenced by:  gruina  8435
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1538  ax-5 1549  ax-17 1608  ax-9 1641  ax-8 1648  ax-13 1690  ax-14 1692  ax-6 1707  ax-7 1712  ax-11 1719  ax-12 1869  ax-ext 2265  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pr 4213  ax-un 4511
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1534  df-nf 1537  df-sb 1636  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-ral 2549  df-rex 2550  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-fv 5229  df-card 7567  df-cf 7569
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