Theorem cfom 4896

Description: Value of the cofinality function at omega (the set of natural numbers). Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 102.

Assertion

Ref	Expression
cfom	|- (cf` om) = om

Proof of Theorem cfom

Step	Hyp	Ref	Expression
1		cfle 4893	. 2 |- (cf` om) (_ om
2		omex 4607	. . . 4 |- om e. V
3	2	intsn 2559	. . 3 |- |^|{om} = om
4		eqtrt 1489	. . . . . . . . 9 |- ((x = (card` y) /\ (card` y) = om) -> x = om)
5		visset 1809	. . . . . . . . . . . 12 |- y e. V
6	5	unbnn2 4528	. . . . . . . . . . 11 |- ((y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w) -> y ~~ om)
7		carden 4811	. . . . . . . . . . . 12 |- ((y e. V /\ om e. V) -> ((card` y) = (card` om) <-> y ~~ om))
8	5, 2, 7	mp2an 696	. . . . . . . . . . 11 |- ((card` y) = (card` om) <-> y ~~ om)
9	6, 8	sylibr 200	. . . . . . . . . 10 |- ((y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w) -> (card` y) = (card` om))
10		cardom 4805	. . . . . . . . . 10 |- (card` om) = om
11	9, 10	syl6eq 1520	. . . . . . . . 9 |- ((y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w) -> (card` y) = om)
12	4, 11	sylan2 451	. . . . . . . 8 |- ((x = (card` y) /\ (y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w)) -> x = om)
13	12	19.23aiv 1293	. . . . . . 7 |- (E.y(x = (card` y) /\ (y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w)) -> x = om)
14	13	ss2abi 2116	. . . . . 6 |- {x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w))} (_ {x | x = om}
15		df-sn 2408	. . . . . 6 |- {om} = {x | x = om}
16	14, 15	sseqtr4 2090	. . . . 5 |- {x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w))} (_ {om}
17		intss 2549	. . . . 5 |- ({x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w))} (_ {om} -> |^|{om} (_ |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w))})
18	16, 17	ax-mp 7	. . . 4 |- |^|{om} (_ |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w))}
19		omelon 4609	. . . . 5 |- om e. On
20		cfval 4886	. . . . 5 |- (om e. On -> (cf` om) = |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w))})
21	19, 20	ax-mp 7	. . . 4 |- (cf` om) = |^|{x | E.y(x = (card` y) /\ (y (_ om /\ A.z e. om E.w e. y z (_ w))}
22	18, 21	sseqtr4 2090	. . 3 |- |^|{om} (_ (cf` om)
23	3, 22	eqsstr3 2088	. 2 |- om (_ (cf` om)
24	1, 23	eqssi 2074	1 |- (cf` om) = om

Syntax hints:   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 954   e. wcel 956  E.wex 978  {cab 1461  A.wral 1642  E.wrex 1643  Vcvv 1807   (_ wss 2043  {csn 2405  |^|cint 2528   class class class wbr 2614  Oncon0 2943  omcom 3126  ` cfv 3177   ~~ cen 4354  cardccrd 4793  cfccf 4795

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 960  ax-gen 961  ax-8 962  ax-9 963  ax-10 964  ax-11 965  ax-12 966  ax-13 967  ax-14 968  ax-17 969  ax-4 971  ax-5o 973  ax-6o 976  ax-9o 1121  ax-10o 1138  ax-16 1208  ax-11o 1216  ax-ext 1457  ax-rep 2688  ax-sep 2698  ax-nul 2705  ax-pow 2737  ax-pr 2774  ax-un 2861  ax-inf2 4605  ax-ac 4724

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 979  df-sb 1170  df-eu 1380  df-mo 1381  df-clab 1462  df-cleq 1467  df-clel 1470  df-ne 1584  df-ral 1646  df-rex 1647  df-reu 1648  df-rab 1649  df-v 1808  df-sbc 1938  df-dif 2045  df-un 2046  df-in 2047  df-ss 2049  df-pss 2051  df-nul 2277  df-if 2358  df-pw 2398  df-sn 2408  df-pr 2409  df-tp 2411  df-op 2412  df-uni 2499  df-int 2529  df-iun 2563  df-br 2615  df-opab 2662  df-tr 2676  df-eprel 2827  df-id 2830  df-po 2835  df-so 2845  df-fr 2912  df-we 2929  df-ord 2946  df-on 2947  df-lim 2948  df-suc 2949  df-om 3127  df-xp 3179  df-rel 3180  df-cnv 3181  df-co 3182  df-dm 3183  df-rn 3184  df-res 3185  df-ima 3186  df-fun 3187  df-fn 3188  df-f 3189  df-f1 3190  df-fo 3191  df-f1o 3192  df-fv 3193  df-rdg 3923  df-er 4251  df-en 4357  df-dom 4358  df-sdom 4359  df-card 4796  df-cf 4798

Copyright terms: Public domain