MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  cfom Unicode version

Theorem cfom 7858
Description: Value of the cofinality function at omega (the set of natural numbers). Exercise 4 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Proof shortened by Mario Carneiro, 11-Jun-2015.)
Assertion
Ref Expression
cfom  |-  ( cf ` 
om )  =  om

Proof of Theorem cfom
StepHypRef Expression
1 cfle 7848 . 2  |-  ( cf ` 
om )  C_  om
2 limom 4643 . . . 4  |-  Lim  om
3 omex 7312 . . . . 5  |-  om  e.  _V
43cflim2 7857 . . . 4  |-  ( Lim 
om 
<->  Lim  ( cf `  om ) )
52, 4mpbi 201 . . 3  |-  Lim  ( cf `  om )
6 limomss 4633 . . 3  |-  ( Lim  ( cf `  om )  ->  om  C_  ( cf ` 
om ) )
75, 6ax-mp 10 . 2  |-  om  C_  ( cf `  om )
81, 7eqssi 3170 1  |-  ( cf ` 
om )  =  om
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    = wceq 1619    C_ wss 3127   Lim wlim 4365   omcom 4628   ` cfv 4673   cfccf 7538
This theorem is referenced by:  pwcfsdom  8173  alephom  8175  omina  8281
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-inf2 7310
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-iin 3882  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-se 4325  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-isom 4690  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-1o 6447  df-er 6628  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-fin 6835  df-card 7540  df-cf 7542
  Copyright terms: Public domain W3C validator