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Theorem cfpwsdom 8206
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 8191. Theorem 11.29 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfpwsdom.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cfpwsdom  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )

Proof of Theorem cfpwsdom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 5883 . . . . . . . . 9  |-  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  e.  _V
21cardid 8169 . . . . . . . 8  |-  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ~~  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )
32ensymi 6911 . . . . . . 7  |-  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~~  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
4 fvex 5539 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( aleph `  A )  e.  _V
54canth2 7014 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A )
64pw2en 6969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )
7 sdomentr 6995 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A
)  /\  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) ) )
85, 6, 7mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) )
9 mapdom1 7026 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( 2o  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
10 sdomdomtr 6994 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )  /\  ( 2o  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )
118, 9, 10sylancr 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )
12 ficard 8187 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
_V  ->  ( ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  e.  Fin  <->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om ) )
131, 12ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
Fin 
<->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om )
14 isfinite 7353 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
Fin 
<->  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  om )
15 sdomdom 6889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<  om  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  om )
1614, 15sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
Fin  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  om )
1713, 16sylbir 204 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  om )
18 alephgeom 7709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
19 alephon 7696 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( aleph `  A )  e.  On
20 ssdomg 6907 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  om  ~<_  ( aleph `  A
) ) )
2119, 20ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  om  ~<_  ( aleph `  A
) )
2218, 21sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  om  ~<_  ( aleph `  A ) )
23 domtr 6914 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  om  /\  om  ~<_  ( aleph `  A ) )  -> 
( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  ( aleph `  A )
)
2417, 22, 23syl2an 463 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  /\  A  e.  On )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<_  ( aleph `  A ) )
25 domnsym 6987 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  (
aleph `  A )  ->  -.  ( aleph `  A )  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )
2624, 25syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  /\  A  e.  On )  ->  -.  ( aleph `  A )  ~< 
( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )
2726expcom 424 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  -.  ( aleph `  A
)  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )
2827con2d 107 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ->  -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  om )
)
29 cardidm 7592 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( card `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )
30 iscard3 7720 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  =  (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  <->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  ( om  u.  ran  aleph ) )
31 elun 3316 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  ( om  u.  ran  aleph )  <->  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  \/  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph ) )
32 df-or 359 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  \/  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  ran  aleph )  <->  ( -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph ) )
3330, 31, 323bitri 262 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  =  (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  <->  ( -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph ) )
3429, 33mpbi 199 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph )
3511, 28, 34syl56 30 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  ran  aleph ) )
36 alephfnon 7692 . . . . . . . . . . 11  |-  aleph  Fn  On
37 fvelrnb 5570 . . . . . . . . . . 11  |-  ( aleph  Fn  On  ->  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  ran  aleph  <->  E. x  e.  On  ( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )
3836, 37ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  ran  aleph  <->  E. x  e.  On  ( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )
3935, 38syl6ib 217 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  E. x  e.  On  ( aleph `  x
)  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )
40 eqid 2283 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  x ) ) 
|->  (har `  ( z `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  x ) ) 
|->  (har `  ( z `  y ) ) )
4140pwcfsdom 8205 . . . . . . . . . . 11  |-  ( aleph `  x )  ~<  (
( aleph `  x )  ^m  ( cf `  ( aleph `  x ) ) )
42 id 19 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )
43 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( cf `  ( aleph `  x ) )  =  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
4442, 43oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( ( aleph `  x
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  x )
) )  =  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) ) )
4542, 44breq12d 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( ( aleph `  x
)  ~<  ( ( aleph `  x )  ^m  ( cf `  ( aleph `  x
) ) )  <->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ~<  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
4641, 45mpbii 202 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
4746rexlimivw 2663 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
4839, 47syl6 29 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ~<  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
4948imp 418 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
50 ensdomtr 6997 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~~  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  /\  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
513, 49, 50sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
52 fvex 5539 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  e.  _V
5352enref 6894 . . . . . . . 8  |-  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) 
~~  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )
54 mapen 7025 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ~~  ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  /\  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~~  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  -> 
( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  ~~  ( ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
552, 53, 54mp2an 653 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~~  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )
56 cfpwsdom.1 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
57 mapxpen 7027 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( aleph `  A )  e.  On  /\  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  e.  _V )  -> 
( ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
5856, 19, 52, 57mp3an 1277 . . . . . . 7  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
5955, 58entri 6915 . . . . . 6  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
60 sdomentr 6995 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  /\  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
6151, 59, 60sylancl 643 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
624xpdom2 6957 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  ->  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  X.  ( aleph `  A ) ) )
6318biimpi 186 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
64 infxpen 7642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( aleph `  A )  e.  On  /\  om  C_  ( aleph `  A ) )  ->  ( ( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A ) ) 
~~  ( aleph `  A
) )
6519, 63, 64sylancr 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A )
)  ~~  ( aleph `  A ) )
66 domentr 6920 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~<_  ( ( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A ) )  /\  ( ( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A ) ) 
~~  ( aleph `  A
) )  ->  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )
)
6762, 65, 66syl2an 463 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A
) )
68 nsuceq0 4472 . . . . . . . . . . 11  |-  suc  1o  =/=  (/)
69 dom0 6989 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc 
1o  ~<_  (/)  <->  suc  1o  =  (/) )
7068, 69nemtbir 2534 . . . . . . . . . 10  |-  -.  suc  1o  ~<_  (/)
71 df-2o 6480 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  suc  1o
7271breq1i 4030 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
73 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  (/)  ->  ( suc 
1o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7472, 73syl5bb 248 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  (/)  ->  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7574biimpcd 215 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( B  =  (/)  ->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7675adantld 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( (
( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7770, 76mtoi 169 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  -.  (
( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  =  (/)  /\  B  =  (/) ) )
78 mapdom2 7032 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A
)  /\  -.  (
( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  =  (/)  /\  B  =  (/) ) )  -> 
( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
7967, 77, 78syl2an 463 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  /\  A  e.  On )  /\  2o  ~<_  B )  -> 
( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
80 domnsym 6987 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ^m  ( (
aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
8179, 80syl 15 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  /\  A  e.  On )  /\  2o  ~<_  B )  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) )
8281expl 601 . . . . . 6  |-  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  ->  (
( A  e.  On  /\  2o  ~<_  B )  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) ) )
8382com12 27 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  (
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) ) )
8461, 83mt2d 109 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  -.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A ) )
85 domtri 8178 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  e. 
_V  /\  ( aleph `  A )  e.  _V )  ->  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  <->  -.  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
8652, 4, 85mp2an 653 . . . . 5  |-  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  <->  -.  ( aleph `  A )  ~< 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
8786biimpri 197 . . . 4  |-  ( -.  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  -> 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A ) )
8884, 87nsyl2 119 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
8988ex 423 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
90 fndm 5343 . . . . . 6  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
9136, 90ax-mp 8 . . . . 5  |-  dom  aleph  =  On
9291eleq2i 2347 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  aleph  <->  A  e.  On )
93 ndmfv 5552 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
9492, 93sylnbir 298 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  (
aleph `  A )  =  (/) )
95 1n0 6494 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
96 1onn 6637 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
9796elexi 2797 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
98970sdom 6992 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  1o 
<->  1o  =/=  (/) )
9995, 98mpbir 200 . . . . 5  |-  (/)  ~<  1o
100 id 19 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  =  (/) )
101 oveq2 5866 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  =  ( B  ^m  (/) ) )
102 map0e 6805 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  ^m  (/) )  =  1o )
10356, 102ax-mp 8 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  ^m  (/) )  =  1o
104101, 103syl6eq 2331 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  =  1o )
105104fveq2d 5529 . . . . . . . . 9  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  =  ( card `  1o ) )
106 cardnn 7596 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( card `  1o )  =  1o )
10796, 106ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  1o )  =  1o
108105, 107syl6eq 2331 . . . . . . . 8  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  =  1o )
109108fveq2d 5529 . . . . . . 7  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  =  ( cf `  1o ) )
110 df-1o 6479 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  suc  (/)
111110fveq2i 5528 . . . . . . . 8  |-  ( cf `  1o )  =  ( cf `  suc  (/) )
112 0elon 4445 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  On
113 cfsuc 7883 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( cf ` 
suc  (/) )  =  1o )
114112, 113ax-mp 8 . . . . . . . 8  |-  ( cf ` 
suc  (/) )  =  1o
115111, 114eqtri 2303 . . . . . . 7  |-  ( cf `  1o )  =  1o
116109, 115syl6eq 2331 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  =  1o )
117100, 116breq12d 4036 . . . . 5  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  <->  (/) 
~<  1o ) )
11899, 117mpbiri 224 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
119118a1d 22 . . 3  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( 2o  ~<_  B  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
12094, 119syl 15 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
12189, 120pm2.61i 156 1  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   E.wrex 2544   _Vcvv 2788    u. cun 3150    C_ wss 3152   (/)c0 3455   ~Pcpw 3625   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   Oncon0 4392   suc csuc 4394   omcom 4656    X. cxp 4687   dom cdm 4689   ran crn 4690    Fn wfn 5250   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   1oc1o 6472   2oc2o 6473    ^m cmap 6772    ~~ cen 6860    ~<_ cdom 6861    ~< csdm 6862   Fincfn 6863  harchar 7270   cardccrd 7568   alephcale 7569   cfccf 7570
This theorem is referenced by:  alephom  8207
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-ac2 8089
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-smo 6363  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-oi 7225  df-har 7272  df-card 7572  df-aleph 7573  df-cf 7574  df-acn 7575  df-ac 7743
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