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Theorem cfpwsdom 8464
Description: A corollary of Konig's Theorem konigth 8449. Theorem 11.29 of [TakeutiZaring] p. 108. (Contributed by Mario Carneiro, 20-Mar-2013.)
Hypothesis
Ref Expression
cfpwsdom.1  |-  B  e. 
_V
Assertion
Ref Expression
cfpwsdom  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )

Proof of Theorem cfpwsdom
Dummy variables  x  y  z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 ovex 6109 . . . . . . . . 9  |-  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  e.  _V
21cardid 8427 . . . . . . . 8  |-  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ~~  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )
32ensymi 7160 . . . . . . 7  |-  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~~  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
4 fvex 5745 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( aleph `  A )  e.  _V
54canth2 7263 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A )
64pw2en 7218 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )
7 sdomentr 7244 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ~P ( aleph `  A
)  /\  ~P ( aleph `  A )  ~~  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) ) )
85, 6, 7mp2an 655 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A
) )
9 mapdom1 7275 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( 2o  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
10 sdomdomtr 7243 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( aleph `  A )  ~<  ( 2o  ^m  ( aleph `  A ) )  /\  ( 2o  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )
118, 9, 10sylancr 646 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )
12 ficard 8445 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
_V  ->  ( ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  e.  Fin  <->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om ) )
131, 12ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
Fin 
<->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om )
14 isfinite 7610 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
Fin 
<->  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  om )
15 sdomdom 7138 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<  om  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  om )
1614, 15sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  e. 
Fin  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ~<_  om )
1713, 16sylbir 206 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  om )
18 alephgeom 7968 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  <->  om  C_  ( aleph `  A ) )
19 alephon 7955 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( aleph `  A )  e.  On
20 ssdomg 7156 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( (
aleph `  A )  e.  On  ->  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  om  ~<_  ( aleph `  A
) ) )
2119, 20ax-mp 5 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( om  C_  ( aleph `  A )  ->  om  ~<_  ( aleph `  A
) )
2218, 21sylbi 189 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A  e.  On  ->  om  ~<_  ( aleph `  A ) )
23 domtr 7163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  om  /\  om  ~<_  ( aleph `  A ) )  -> 
( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  ( aleph `  A )
)
2417, 22, 23syl2an 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  /\  A  e.  On )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<_  ( aleph `  A ) )
25 domnsym 7236 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ~<_  (
aleph `  A )  ->  -.  ( aleph `  A )  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )
2624, 25syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  /\  A  e.  On )  ->  -.  ( aleph `  A )  ~< 
( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )
2726expcom 426 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( A  e.  On  ->  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  -.  ( aleph `  A
)  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )
2827con2d 110 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  ~<  ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ->  -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  om )
)
29 cardidm 7851 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( card `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )
30 iscard3 7979 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  =  (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  <->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  ( om  u.  ran  aleph ) )
31 elun 3490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  ( om  u.  ran  aleph )  <->  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  \/  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph ) )
32 df-or 361 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  \/  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  ran  aleph )  <->  ( -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph ) )
3330, 31, 323bitri 264 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
card `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  =  (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  <->  ( -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  om  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph ) )
3429, 33mpbi 201 . . . . . . . . . . 11  |-  ( -.  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
om  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  e. 
ran  aleph )
3511, 28, 34syl56 33 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  e.  ran  aleph ) )
36 alephfnon 7951 . . . . . . . . . . 11  |-  aleph  Fn  On
37 fvelrnb 5777 . . . . . . . . . . 11  |-  ( aleph  Fn  On  ->  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  ran  aleph  <->  E. x  e.  On  ( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )
3836, 37ax-mp 5 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  e.  ran  aleph  <->  E. x  e.  On  ( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )
3935, 38syl6ib 219 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  E. x  e.  On  ( aleph `  x
)  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )
40 eqid 2438 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  x ) ) 
|->  (har `  ( z `  y ) ) )  =  ( y  e.  ( cf `  ( aleph `  x ) ) 
|->  (har `  ( z `  y ) ) )
4140pwcfsdom 8463 . . . . . . . . . . 11  |-  ( aleph `  x )  ~<  (
( aleph `  x )  ^m  ( cf `  ( aleph `  x ) ) )
42 id 21 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )
43 fveq2 5731 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( cf `  ( aleph `  x ) )  =  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
4442, 43oveq12d 6102 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( ( aleph `  x
)  ^m  ( cf `  ( aleph `  x )
) )  =  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) ) )
4542, 44breq12d 4228 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( ( aleph `  x
)  ~<  ( ( aleph `  x )  ^m  ( cf `  ( aleph `  x
) ) )  <->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ~<  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
4641, 45mpbii 204 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
4746rexlimivw 2828 . . . . . . . . 9  |-  ( E. x  e.  On  ( aleph `  x )  =  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  -> 
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
4839, 47syl6 32 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) )  ~<  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
4948imp 420 . . . . . . 7  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
50 ensdomtr 7246 . . . . . . 7  |-  ( ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~~  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  /\  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
513, 49, 50sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  (
( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
52 fvex 5745 . . . . . . . . 9  |-  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  e.  _V
5352enref 7143 . . . . . . . 8  |-  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) 
~~  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )
54 mapen 7274 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ~~  ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  /\  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~~  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  -> 
( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  ~~  ( ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
552, 53, 54mp2an 655 . . . . . . 7  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~~  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )
56 cfpwsdom.1 . . . . . . . 8  |-  B  e. 
_V
57 mapxpen 7276 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  e.  _V  /\  ( aleph `  A )  e.  On  /\  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  e.  _V )  -> 
( ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
5856, 19, 52, 57mp3an 1280 . . . . . . 7  |-  ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
5955, 58entri 7164 . . . . . 6  |-  ( (
card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
60 sdomentr 7244 . . . . . 6  |-  ( ( ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  /\  ( ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  ^m  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) ) )  ~~  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
6151, 59, 60sylancl 645 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
624xpdom2 7206 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  ->  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )  ~<_  ( ( aleph `  A
)  X.  ( aleph `  A ) ) )
6318biimpi 188 . . . . . . . . . . 11  |-  ( A  e.  On  ->  om  C_  ( aleph `  A ) )
64 infxpen 7901 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( aleph `  A )  e.  On  /\  om  C_  ( aleph `  A ) )  ->  ( ( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A ) ) 
~~  ( aleph `  A
) )
6519, 63, 64sylancr 646 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A )
)  ~~  ( aleph `  A ) )
66 domentr 7169 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~<_  ( ( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A ) )  /\  ( ( aleph `  A )  X.  ( aleph `  A ) ) 
~~  ( aleph `  A
) )  ->  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )
)
6762, 65, 66syl2an 465 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  /\  A  e.  On )  ->  ( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A
) )
68 nsuceq0 4664 . . . . . . . . . . 11  |-  suc  1o  =/=  (/)
69 dom0 7238 . . . . . . . . . . 11  |-  ( suc 
1o  ~<_  (/)  <->  suc  1o  =  (/) )
7068, 69nemtbir 2694 . . . . . . . . . 10  |-  -.  suc  1o  ~<_  (/)
71 df-2o 6728 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2o  =  suc  1o
7271breq1i 4222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  B )
73 breq2 4219 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( B  =  (/)  ->  ( suc 
1o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7472, 73syl5bb 250 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  =  (/)  ->  ( 2o  ~<_  B  <->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7574biimpcd 217 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( B  =  (/)  ->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7675adantld 455 . . . . . . . . . 10  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( (
( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  =  (/)  /\  B  =  (/) )  ->  suc  1o  ~<_  (/) ) )
7770, 76mtoi 172 . . . . . . . . 9  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  -.  (
( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  =  (/)  /\  B  =  (/) ) )
78 mapdom2 7281 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A
)  /\  -.  (
( ( aleph `  A
)  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )  =  (/)  /\  B  =  (/) ) )  -> 
( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
7967, 77, 78syl2an 465 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  /\  A  e.  On )  /\  2o  ~<_  B )  -> 
( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) )
80 domnsym 7236 . . . . . . . 8  |-  ( ( B  ^m  ( (
aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )  ~<_  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A
) )  ~<  ( B  ^m  ( ( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) ) )
8179, 80syl 16 . . . . . . 7  |-  ( ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  /\  A  e.  On )  /\  2o  ~<_  B )  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) )
8281expl 603 . . . . . 6  |-  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  ->  (
( A  e.  On  /\  2o  ~<_  B )  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) ) )
8382com12 30 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  (
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A )  ->  -.  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) 
~<  ( B  ^m  (
( aleph `  A )  X.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) ) ) )
8461, 83mt2d 112 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  -.  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A ) )
85 domtri 8436 . . . . . 6  |-  ( ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  e. 
_V  /\  ( aleph `  A )  e.  _V )  ->  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  <->  -.  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
8652, 4, 85mp2an 655 . . . . 5  |-  ( ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A ) ) ) )  ~<_  ( aleph `  A )  <->  -.  ( aleph `  A )  ~< 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
8786biimpri 199 . . . 4  |-  ( -.  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  -> 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  ~<_  (
aleph `  A ) )
8884, 87nsyl2 122 . . 3  |-  ( ( A  e.  On  /\  2o 
~<_  B )  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
8988ex 425 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( 2o 
~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) ) )
90 fndm 5547 . . . . . 6  |-  ( aleph  Fn  On  ->  dom  aleph  =  On )
9136, 90ax-mp 5 . . . . 5  |-  dom  aleph  =  On
9291eleq2i 2502 . . . 4  |-  ( A  e.  dom  aleph  <->  A  e.  On )
93 ndmfv 5758 . . . 4  |-  ( -.  A  e.  dom  aleph  ->  ( aleph `  A )  =  (/) )
9492, 93sylnbir 300 . . 3  |-  ( -.  A  e.  On  ->  (
aleph `  A )  =  (/) )
95 1n0 6742 . . . . . 6  |-  1o  =/=  (/)
96 1onn 6885 . . . . . . . 8  |-  1o  e.  om
9796elexi 2967 . . . . . . 7  |-  1o  e.  _V
98970sdom 7241 . . . . . 6  |-  ( (/)  ~<  1o 
<->  1o  =/=  (/) )
9995, 98mpbir 202 . . . . 5  |-  (/)  ~<  1o
100 id 21 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  =  (/) )
101 oveq2 6092 . . . . . . . . . . 11  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  =  ( B  ^m  (/) ) )
102 map0e 7054 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( B  e.  _V  ->  ( B  ^m  (/) )  =  1o )
10356, 102ax-mp 5 . . . . . . . . . . 11  |-  ( B  ^m  (/) )  =  1o
104101, 103syl6eq 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( B  ^m  ( aleph `  A )
)  =  1o )
105104fveq2d 5735 . . . . . . . . 9  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  =  ( card `  1o ) )
106 cardnn 7855 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1o  e.  om  ->  ( card `  1o )  =  1o )
10796, 106ax-mp 5 . . . . . . . . 9  |-  ( card `  1o )  =  1o
108105, 107syl6eq 2486 . . . . . . . 8  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) )  =  1o )
109108fveq2d 5735 . . . . . . 7  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  =  ( cf `  1o ) )
110 df-1o 6727 . . . . . . . . 9  |-  1o  =  suc  (/)
111110fveq2i 5734 . . . . . . . 8  |-  ( cf `  1o )  =  ( cf `  suc  (/) )
112 0elon 4637 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  On
113 cfsuc 8142 . . . . . . . . 9  |-  ( (/)  e.  On  ->  ( cf ` 
suc  (/) )  =  1o )
114112, 113ax-mp 5 . . . . . . . 8  |-  ( cf ` 
suc  (/) )  =  1o
115111, 114eqtri 2458 . . . . . . 7  |-  ( cf `  1o )  =  1o
116109, 115syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) )  =  1o )
117100, 116breq12d 4228 . . . . 5  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) )  <->  (/) 
~<  1o ) )
11899, 117mpbiri 226 . . . 4  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( aleph `  A
)  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) )
119118a1d 24 . . 3  |-  ( (
aleph `  A )  =  (/)  ->  ( 2o  ~<_  B  -> 
( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
12094, 119syl 16 . 2  |-  ( -.  A  e.  On  ->  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~< 
( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A )
) ) ) ) )
12189, 120pm2.61i 159 1  |-  ( 2o  ~<_  B  ->  ( aleph `  A )  ~<  ( cf `  ( card `  ( B  ^m  ( aleph `  A
) ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    =/= wne 2601   E.wrex 2708   _Vcvv 2958    u. cun 3320    C_ wss 3322   (/)c0 3630   ~Pcpw 3801   class class class wbr 4215    e. cmpt 4269   Oncon0 4584   suc csuc 4586   omcom 4848    X. cxp 4879   dom cdm 4881   ran crn 4882    Fn wfn 5452   ` cfv 5457  (class class class)co 6084   1oc1o 6720   2oc2o 6721    ^m cmap 7021    ~~ cen 7109    ~<_ cdom 7110    ~< csdm 7111   Fincfn 7112  harchar 7527   cardccrd 7827   alephcale 7828   cfccf 7829
This theorem is referenced by:  alephom  8465
This theorem was proved from axioms:  ax-mp 5  ax-1 6  ax-2 7  ax-3 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4323  ax-sep 4333  ax-nul 4341  ax-pow 4380  ax-pr 4406  ax-un 4704  ax-inf2 7599  ax-ac2 8348
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4216  df-opab 4270  df-mpt 4271  df-tr 4306  df-eprel 4497  df-id 4501  df-po 4506  df-so 4507  df-fr 4544  df-se 4545  df-we 4546  df-ord 4587  df-on 4588  df-lim 4589  df-suc 4590  df-om 4849  df-xp 4887  df-rel 4888  df-cnv 4889  df-co 4890  df-dm 4891  df-rn 4892  df-res 4893  df-ima 4894  df-iota 5421  df-fun 5459  df-fn 5460  df-f 5461  df-f1 5462  df-fo 5463  df-f1o 5464  df-fv 5465  df-isom 5466  df-ov 6087  df-oprab 6088  df-mpt2 6089  df-1st 6352  df-2nd 6353  df-riota 6552  df-smo 6611  df-recs 6636  df-rdg 6671  df-1o 6727  df-2o 6728  df-oadd 6731  df-er 6908  df-map 7023  df-ixp 7067  df-en 7113  df-dom 7114  df-sdom 7115  df-fin 7116  df-oi 7482  df-har 7529  df-card 7831  df-aleph 7832  df-cf 7833  df-acn 7834  df-ac 8002
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