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Theorem cfsuc 7837
Description: Value of the cofinality function at a successor ordinal. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfsuc  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  1o )

Proof of Theorem cfsuc
StepHypRef Expression
1 sucelon 4566 . . 3  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
2 cfval 7827 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A
)  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
31, 2sylbi 189 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
4 cardsn 7556 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( card `  { A }
)  =  1o )
54eqcomd 2261 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  1o  =  ( card `  { A } ) )
6 snidg 3625 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  { A } )
7 elsuci 4416 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  suc  A  -> 
( z  e.  A  \/  z  =  A
) )
8 onelss 4392 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  A  -> 
z  C_  A )
)
9 eqimss 3191 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  z  C_  A )
109a1i 12 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  =  A  -> 
z  C_  A )
)
118, 10jaod 371 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  (
( z  e.  A  \/  z  =  A
)  ->  z  C_  A ) )
127, 11syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  suc  A  ->  z  C_  A )
)
13 sseq2 3161 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  A  ->  (
z  C_  w  <->  z  C_  A ) )
1413rcla4ev 2852 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  { A }  /\  z  C_  A
)  ->  E. w  e.  { A } z 
C_  w )
156, 12, 14ee12an 1359 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  suc  A  ->  E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
1615ralrimiv 2598 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w )
17 ssun2 3300 . . . . . . 7  |-  { A }  C_  ( A  u.  { A } )
18 df-suc 4356 . . . . . . 7  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
1917, 18sseqtr4i 3172 . . . . . 6  |-  { A }  C_  suc  A
2016, 19jctil 525 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w ) )
21 snex 4174 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
22 fveq2 5444 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( card `  y
)  =  ( card `  { A } ) )
2322eqeq2d 2267 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { A }  ->  ( 1o  =  (
card `  y )  <->  1o  =  ( card `  { A } ) ) )
24 sseq1 3160 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( y  C_  suc  A  <->  { A }  C_  suc  A ) )
25 rexeq 2709 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { A }  ->  ( E. w  e.  y  z  C_  w  <->  E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
2625ralbidv 2536 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w 
<-> 
A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
2724, 26anbi12d 694 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { A }  ->  ( ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )  <->  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) ) )
2823, 27anbi12d 694 . . . . . 6  |-  ( y  =  { A }  ->  ( ( 1o  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( 1o  =  ( card `  { A } )  /\  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w ) ) ) )
2921, 28cla4ev 2843 . . . . 5  |-  ( ( 1o  =  ( card `  { A } )  /\  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) )  ->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
305, 20, 29syl2anc 645 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
31 1on 6440 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
3231elexi 2766 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
33 eqeq1 2262 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  =  ( card `  y )  <->  1o  =  ( card `  y )
) )
3433anbi1d 688 . . . . . 6  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( 1o  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
3534exbidv 2006 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
3632, 35elab 2882 . . . 4  |-  ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( 1o  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
3730, 36sylibr 205 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
38 el1o 6452 . . . . 5  |-  ( v  e.  1o  <->  v  =  (/) )
39 eqcom 2258 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  ( card `  y
)  =  (/) )
40 vex 2760 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
41 onssnum 7621 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
4240, 41mpan 654 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
43 cardnueq0 7551 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( card `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4442, 43syl 17 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (
card `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4539, 44syl5bb 250 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  y  =  (/) ) )
4645biimpa 472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  y  =  (/) )
47 rex0 3429 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
4847a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  suc  A  ->  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w )
4948nrex 2618 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
50 nsuceq0 4430 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  A  =/=  (/)
51 r19.2z 3504 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( suc  A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5250, 51mpan 654 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w  ->  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w )
5349, 52mto 169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
54 rexeq 2709 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w  e.  (/)  z  C_  w
) )
5554ralbidv 2536 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w  <->  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
5653, 55mtbiri 296 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )
5746, 56syl 17 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )
5857intnand 887 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  -.  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
59 imnan 413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  ->  -.  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  -.  (
( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
6058, 59mpbi 201 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (
( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
61 suceloni 4562 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
62 onss 4540 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  suc 
A  C_  On )
63 sstr 3148 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  suc  A  C_  On )  ->  y  C_  On )
6462, 63sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  suc  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
6561, 64sylan2 462 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
6665ancoms 441 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  suc  A )  ->  y  C_  On )
6766adantrr 700 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
68673adant2 979 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
69 simp2 961 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  (/)  =  ( card `  y
) )
70 simp3 962 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )
7168, 69, 70jca31 522 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
72713expib 1159 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  ( (
y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
7360, 72mtoi 171 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  -.  ( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
7473nexdv 2061 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  -.  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
75 0ex 4110 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
76 eqeq1 2262 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  (/)  =  ( card `  y ) ) )
7776anbi1d 688 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  <->  ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
7877exbidv 2006 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
7975, 78elab 2882 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
8074, 79sylnibr 298 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  -.  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8180adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  ->  -.  (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
82 eleq1 2316 . . . . . . 7  |-  ( v  =  (/)  ->  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
8382adantl 454 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  -> 
( v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
8481, 83mtbird 294 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  ->  -.  v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8538, 84sylan2b 463 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  e.  1o )  ->  -.  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8685ralrimiva 2599 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
87 cardon 7531 . . . . . . . 8  |-  ( card `  y )  e.  On
88 eleq1 2316 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
8987, 88mpbiri 226 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
9089adantr 453 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  x  e.  On )
9190exlimiv 2024 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  x  e.  On )
9291abssi 3209 . . . 4  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On
93 oneqmini 4401 . . . 4  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On  ->  ( ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  /\  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
9492, 93ax-mp 10 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  /\  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
9537, 86, 94syl2anc 645 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
963, 95eqtr4d 2291 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 5    -> wi 6    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    /\ w3a 939   E.wex 1537    = wceq 1619    e. wcel 1621   {cab 2242    =/= wne 2419   A.wral 2516   E.wrex 2517   _Vcvv 2757    u. cun 3111    C_ wss 3113   (/)c0 3416   {csn 3600   |^|cint 3822   Oncon0 4350   suc csuc 4352   dom cdm 4647   ` cfv 4659   1oc1o 6426   cardccrd 7522   cfccf 7524
This theorem is referenced by:  cflim2  7843  cfpwsdom  8160  rankcf  8353
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2237  ax-rep 4091  ax-sep 4101  ax-nul 4109  ax-pow 4146  ax-pr 4172  ax-un 4470
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2121  df-mo 2122  df-clab 2243  df-cleq 2249  df-clel 2252  df-nfc 2381  df-ne 2421  df-ral 2521  df-rex 2522  df-reu 2523  df-rmo 2524  df-rab 2525  df-v 2759  df-sbc 2953  df-csb 3043  df-dif 3116  df-un 3118  df-in 3120  df-ss 3127  df-pss 3129  df-nul 3417  df-if 3526  df-pw 3587  df-sn 3606  df-pr 3607  df-tp 3608  df-op 3609  df-uni 3788  df-int 3823  df-iun 3867  df-br 3984  df-opab 4038  df-mpt 4039  df-tr 4074  df-eprel 4263  df-id 4267  df-po 4272  df-so 4273  df-fr 4310  df-se 4311  df-we 4312  df-ord 4353  df-on 4354  df-lim 4355  df-suc 4356  df-om 4615  df-xp 4661  df-rel 4662  df-cnv 4663  df-co 4664  df-dm 4665  df-rn 4666  df-res 4667  df-ima 4668  df-fun 4669  df-fn 4670  df-f 4671  df-f1 4672  df-fo 4673  df-f1o 4674  df-fv 4675  df-isom 4676  df-iota 6211  df-riota 6258  df-recs 6342  df-1o 6433  df-er 6614  df-en 6818  df-dom 6819  df-sdom 6820  df-fin 6821  df-card 7526  df-cf 7528
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