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Theorem cfsuc 8126
Description: Value of the cofinality function at a successor ordinal. Exercise 3 of [TakeutiZaring] p. 102. (Contributed by NM, 23-Apr-2004.) (Revised by Mario Carneiro, 12-Feb-2013.)
Assertion
Ref Expression
cfsuc  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  1o )

Proof of Theorem cfsuc
Dummy variables  x  y  z  w  v are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 sucelon 4788 . . 3  |-  ( A  e.  On  <->  suc  A  e.  On )
2 cfval 8116 . . 3  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A
)  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
31, 2sylbi 188 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
4 cardsn 7845 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  ( card `  { A }
)  =  1o )
54eqcomd 2440 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  1o  =  ( card `  { A } ) )
6 snidg 3831 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  A  e.  { A } )
7 elsuci 4639 . . . . . . . . 9  |-  ( z  e.  suc  A  -> 
( z  e.  A  \/  z  =  A
) )
8 onelss 4615 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  A  -> 
z  C_  A )
)
9 eqimss 3392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( z  =  A  ->  z  C_  A )
109a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  =  A  -> 
z  C_  A )
)
118, 10jaod 370 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  (
( z  e.  A  \/  z  =  A
)  ->  z  C_  A ) )
127, 11syl5 30 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  suc  A  ->  z  C_  A )
)
13 sseq2 3362 . . . . . . . . 9  |-  ( w  =  A  ->  (
z  C_  w  <->  z  C_  A ) )
1413rspcev 3044 . . . . . . . 8  |-  ( ( A  e.  { A }  /\  z  C_  A
)  ->  E. w  e.  { A } z 
C_  w )
156, 12, 14ee12an 1372 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  (
z  e.  suc  A  ->  E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
1615ralrimiv 2780 . . . . . 6  |-  ( A  e.  On  ->  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w )
17 ssun2 3503 . . . . . . 7  |-  { A }  C_  ( A  u.  { A } )
18 df-suc 4579 . . . . . . 7  |-  suc  A  =  ( A  u.  { A } )
1917, 18sseqtr4i 3373 . . . . . 6  |-  { A }  C_  suc  A
2016, 19jctil 524 . . . . 5  |-  ( A  e.  On  ->  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w ) )
21 snex 4397 . . . . . 6  |-  { A }  e.  _V
22 fveq2 5719 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( card `  y
)  =  ( card `  { A } ) )
2322eqeq2d 2446 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { A }  ->  ( 1o  =  (
card `  y )  <->  1o  =  ( card `  { A } ) ) )
24 sseq1 3361 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( y  C_  suc  A  <->  { A }  C_  suc  A ) )
25 rexeq 2897 . . . . . . . . 9  |-  ( y  =  { A }  ->  ( E. w  e.  y  z  C_  w  <->  E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
2625ralbidv 2717 . . . . . . . 8  |-  ( y  =  { A }  ->  ( A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w 
<-> 
A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) )
2724, 26anbi12d 692 . . . . . . 7  |-  ( y  =  { A }  ->  ( ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )  <->  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) ) )
2823, 27anbi12d 692 . . . . . 6  |-  ( y  =  { A }  ->  ( ( 1o  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( 1o  =  ( card `  { A } )  /\  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  { A } z 
C_  w ) ) ) )
2921, 28spcev 3035 . . . . 5  |-  ( ( 1o  =  ( card `  { A } )  /\  ( { A }  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  { A } z  C_  w
) )  ->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
305, 20, 29syl2anc 643 . . . 4  |-  ( A  e.  On  ->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
31 1on 6722 . . . . . 6  |-  1o  e.  On
3231elexi 2957 . . . . 5  |-  1o  e.  _V
33 eqeq1 2441 . . . . . . 7  |-  ( x  =  1o  ->  (
x  =  ( card `  y )  <->  1o  =  ( card `  y )
) )
3433anbi1d 686 . . . . . 6  |-  ( x  =  1o  ->  (
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  ( 1o  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
3534exbidv 1636 . . . . 5  |-  ( x  =  1o  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( 1o  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
3632, 35elab 3074 . . . 4  |-  ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( 1o  =  ( card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
3730, 36sylibr 204 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
38 el1o 6734 . . . . 5  |-  ( v  e.  1o  <->  v  =  (/) )
39 eqcom 2437 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  ( card `  y
)  =  (/) )
40 vex 2951 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  y  e. 
_V
41 onssnum 7910 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  e.  _V  /\  y  C_  On )  -> 
y  e.  dom  card )
4240, 41mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y 
C_  On  ->  y  e. 
dom  card )
43 cardnueq0 7840 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( y  e.  dom  card  ->  ( ( card `  y
)  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4442, 43syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (
card `  y )  =  (/)  <->  y  =  (/) ) )
4539, 44syl5bb 249 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y 
C_  On  ->  ( (/)  =  ( card `  y
)  <->  y  =  (/) ) )
4645biimpa 471 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  y  =  (/) )
47 rex0 3633 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w
4847a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( z  e.  suc  A  ->  -.  E. w  e.  (/)  z  C_  w )
4948nrex 2800 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  -.  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
50 nsuceq0 4653 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  suc  A  =/=  (/)
51 r19.2z 3709 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( suc  A  =/=  (/)  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w )  ->  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
)
5250, 51mpan 652 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w  ->  E. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w )
5349, 52mto 169 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w
54 rexeq 2897 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( y  =  (/)  ->  ( E. w  e.  y  z 
C_  w  <->  E. w  e.  (/)  z  C_  w
) )
5554ralbidv 2717 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  =  (/)  ->  ( A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w  <->  A. z  e.  suc  A E. w  e.  (/)  z  C_  w ) )
5653, 55mtbiri 295 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  =  (/)  ->  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )
5746, 56syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  -.  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w )
5857intnand 883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  ->  -.  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
59 imnan 412 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  ->  -.  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  -.  (
( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
6058, 59mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  -.  (
( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y
) )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)
61 suceloni 4784 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( A  e.  On  ->  suc  A  e.  On )
62 onss 4762 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( suc 
A  e.  On  ->  suc 
A  C_  On )
63 sstr 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  suc  A  C_  On )  ->  y  C_  On )
6462, 63sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  suc  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
6561, 64sylan2 461 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( y  C_  suc  A  /\  A  e.  On )  ->  y  C_  On )
6665ancoms 440 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( A  e.  On  /\  y  C_  suc  A )  ->  y  C_  On )
6766adantrr 698 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( A  e.  On  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
68673adant2 976 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
y  C_  On )
69 simp2 958 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  (/)  =  ( card `  y
) )
70 simp3 959 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )
7168, 69, 70jca31 521 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( A  e.  On  /\  (/)  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  -> 
( ( y  C_  On  /\  (/)  =  ( card `  y ) )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
72713expib 1156 . . . . . . . . . 10  |-  ( A  e.  On  ->  (
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  ( (
y  C_  On  /\  (/)  =  (
card `  y )
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
7360, 72mtoi 171 . . . . . . . . 9  |-  ( A  e.  On  ->  -.  ( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) )
7473nexdv 1941 . . . . . . . 8  |-  ( A  e.  On  ->  -.  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
75 0ex 4331 . . . . . . . . 9  |-  (/)  e.  _V
76 eqeq1 2441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  =  (/)  ->  ( x  =  ( card `  y
)  <->  (/)  =  ( card `  y ) ) )
7776anbi1d 686 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  =  (/)  ->  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  <->  ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) ) )
7877exbidv 1636 . . . . . . . . 9  |-  ( x  =  (/)  ->  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  <->  E. y
( (/)  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
) ) )
7975, 78elab 3074 . . . . . . . 8  |-  ( (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  E. y ( (/)  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) )
8074, 79sylnibr 297 . . . . . . 7  |-  ( A  e.  On  ->  -.  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8180adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  ->  -.  (/)  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
82 eleq1 2495 . . . . . . 7  |-  ( v  =  (/)  ->  ( v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
8382adantl 453 . . . . . 6  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  -> 
( v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  <->  (/) 
e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
8481, 83mtbird 293 . . . . 5  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  =  (/) )  ->  -.  v  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8538, 84sylan2b 462 . . . 4  |-  ( ( A  e.  On  /\  v  e.  1o )  ->  -.  v  e.  {
x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
8685ralrimiva 2781 . . 3  |-  ( A  e.  On  ->  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
87 cardon 7820 . . . . . . . 8  |-  ( card `  y )  e.  On
88 eleq1 2495 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  ( x  e.  On  <->  ( card `  y
)  e.  On ) )
8987, 88mpbiri 225 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( card `  y
)  ->  x  e.  On )
9089adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( x  =  ( card `  y )  /\  (
y  C_  suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y 
z  C_  w )
)  ->  x  e.  On )
9190exlimiv 1644 . . . . 5  |-  ( E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) )  ->  x  e.  On )
9291abssi 3410 . . . 4  |-  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On
93 oneqmini 4624 . . . 4  |-  ( { x  |  E. y
( x  =  (
card `  y )  /\  ( y  C_  suc  A  /\  A. z  e. 
suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } 
C_  On  ->  ( ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  /\  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } ) )
9492, 93ax-mp 8 . . 3  |-  ( ( 1o  e.  { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) }  /\  A. v  e.  1o  -.  v  e. 
{ x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
9537, 86, 94syl2anc 643 . 2  |-  ( A  e.  On  ->  1o  =  |^| { x  |  E. y ( x  =  ( card `  y
)  /\  ( y  C_ 
suc  A  /\  A. z  e.  suc  A E. w  e.  y  z  C_  w ) ) } )
963, 95eqtr4d 2470 1  |-  ( A  e.  On  ->  ( cf `  suc  A )  =  1o )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    /\ w3a 936   E.wex 1550    = wceq 1652    e. wcel 1725   {cab 2421    =/= wne 2598   A.wral 2697   E.wrex 2698   _Vcvv 2948    u. cun 3310    C_ wss 3312   (/)c0 3620   {csn 3806   |^|cint 4042   Oncon0 4573   suc csuc 4575   dom cdm 4869   ` cfv 5445   1oc1o 6708   cardccrd 7811   cfccf 7813
This theorem is referenced by:  cflim2  8132  cfpwsdom  8448  rankcf  8641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4692
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4837  df-xp 4875  df-rel 4876  df-cnv 4877  df-co 4878  df-dm 4879  df-rn 4880  df-res 4881  df-ima 4882  df-iota 5409  df-fun 5447  df-fn 5448  df-f 5449  df-f1 5450  df-fo 5451  df-f1o 5452  df-fv 5453  df-isom 5454  df-riota 6540  df-recs 6624  df-1o 6715  df-er 6896  df-en 7101  df-dom 7102  df-sdom 7103  df-fin 7104  df-card 7815  df-cf 7817
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