Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd1lem1 Unicode version

Theorem chebbnd1lem1 20841
 Description: Lemma for chebbnd1 20844: show a lower bound on π at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 20755. (Note that the expression is actually equal to , but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 20746, which shows that each term in the expansion is at most , so that the sum really only has nonzero elements up to , and since each term is at most , after taking logs we get the inequality π , and bclbnd 20742 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1 π

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 10028 . . . . . 6
2 nnuz 10414 . . . . . . . . 9
32uztrn2 10396 . . . . . . . 8
41, 3mpan 651 . . . . . . 7
54nnnn0d 10167 . . . . . 6
6 nnexpcl 11281 . . . . . 6
71, 5, 6sylancr 644 . . . . 5
87nnrpd 10540 . . . 4
94nnrpd 10540 . . . 4
108, 9rpdivcld 10558 . . 3
1110relogcld 20196 . 2
12 fzctr 11007 . . . . . 6
135, 12syl 15 . . . . 5
14 bccl2 11501 . . . . 5
1513, 14syl 15 . . . 4
1615nnrpd 10540 . . 3
1716relogcld 20196 . 2
18 2z 10205 . . . . . . 7
19 eluzelz 10389 . . . . . . 7
20 zmulcl 10217 . . . . . . 7
2118, 19, 20sylancr 644 . . . . . 6
2221zred 10268 . . . . 5
23 ppicl 20592 . . . . 5 π
2422, 23syl 15 . . . 4 π
2524nn0red 10168 . . 3 π
26 2nn 10026 . . . . . 6
27 nnmulcl 9916 . . . . . 6
2826, 4, 27sylancr 644 . . . . 5
2928nnrpd 10540 . . . 4
3029relogcld 20196 . . 3
3125, 30remulcld 9010 . 2 π
32 bclbnd 20742 . . 3
33 logltb 20172 . . . 4
3410, 16, 33syl2anc 642 . . 3
3532, 34mpbid 201 . 2
36 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8
37 ifcl 3690 . . . . . . . . 9
3828, 15, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8
3936, 38syl5eqel 2450 . . . . . . 7
4039nnred 9908 . . . . . 6
41 ppicl 20592 . . . . . 6 π
4240, 41syl 15 . . . . 5 π
4342nn0red 10168 . . . 4 π
4443, 30remulcld 9010 . . 3 π
45 fzfid 11199 . . . . . 6
46 inss1 3477 . . . . . 6
47 ssfi 7226 . . . . . 6
4845, 46, 47sylancl 643 . . . . 5
4939nnzd 10267 . . . . . . . . . 10
5015nnzd 10267 . . . . . . . . . 10
5115nnred 9908 . . . . . . . . . . . 12
52 min2 10670 . . . . . . . . . . . 12
5322, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11
5436, 53syl5eqbr 4158 . . . . . . . . . 10
55 eluz2 10387 . . . . . . . . . 10
5649, 50, 54, 55syl3anbrc 1137 . . . . . . . . 9
57 fzss2 10984 . . . . . . . . 9
5856, 57syl 15 . . . . . . . 8
59 ssrin 3482 . . . . . . . 8
6058, 59syl 15 . . . . . . 7
6160sselda 3266 . . . . . 6
62 inss1 3477 . . . . . . . . . . 11
63 simpr 447 . . . . . . . . . . 11
6462, 63sseldi 3264 . . . . . . . . . 10
65 elfznn 10972 . . . . . . . . . 10
6664, 65syl 15 . . . . . . . . 9
67 inss2 3478 . . . . . . . . . . 11
6867, 63sseldi 3264 . . . . . . . . . 10
6915adantr 451 . . . . . . . . . 10
7068, 69pccld 13111 . . . . . . . . 9
7166, 70nnexpcld 11431 . . . . . . . 8
7271nnrpd 10540 . . . . . . 7
7372relogcld 20196 . . . . . 6
7461, 73syldan 456 . . . . 5
7530adantr 451 . . . . 5
76 elin 3446 . . . . . . . . 9
7776simprbi 450 . . . . . . . 8
78 bposlem1 20746 . . . . . . . 8
794, 77, 78syl2an 463 . . . . . . 7
8061, 72syldan 456 . . . . . . . 8
8180reeflogd 20197 . . . . . . 7
8229adantr 451 . . . . . . . 8
8382reeflogd 20197 . . . . . . 7
8479, 81, 833brtr4d 4155 . . . . . 6
85 efle 12606 . . . . . . 7
8674, 75, 85syl2anc 642 . . . . . 6
8784, 86mpbird 223 . . . . 5
8848, 74, 75, 87fsumle 12465 . . . 4
8973recnd 9008 . . . . . . 7
9061, 89syldan 456 . . . . . 6
91 eldifn 3386 . . . . . . . . . . . . 13
9291adantl 452 . . . . . . . . . . . 12
93 difss 3390 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
94 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
9593, 94sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
9662, 95sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
9796, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16
9897adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15
9998nnred 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10095, 71syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
101100nnred 9908 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
102101adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
10498nncnd 9909 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
105104exp1d 11405 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
10698nnge1d 9935 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
107 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
108107, 2syl6eleq 2456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
10999, 106, 108leexp2ad 11442 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
110105, 109eqbrtrrd 4147 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11267, 95sseldi 3264 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20
113112adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
114111, 113, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
11599, 102, 103, 110, 114letrd 9120 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
116 elfzle2 10953 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
11796, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
118117adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
11951adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
120 lemin 10672 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
12199, 103, 119, 120syl3anc 1183 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
122115, 118, 121mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . 16
123122, 36syl6breqr 4165 . . . . . . . . . . . . . . 15
12439adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17
125124nnzd 10267 . . . . . . . . . . . . . . . 16
126 fznn 11005 . . . . . . . . . . . . . . . 16
127125, 126syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15
12898, 123, 127mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . 14
129128, 113, 76sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13
130129expr 598 . . . . . . . . . . . 12
13192, 130mtod 168 . . . . . . . . . . 11
13295, 70syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13
133 elnn0 10116 . . . . . . . . . . . . 13
134132, 133sylib 188 . . . . . . . . . . . 12
135134ord 366 . . . . . . . . . . 11
136131, 135mpd 14 . . . . . . . . . 10
137136oveq2d 5997 . . . . . . . . 9
13897nncnd 9909 . . . . . . . . . 10
139138exp0d 11404 . . . . . . . . 9
140137, 139eqtrd 2398 . . . . . . . 8
141140fveq2d 5636 . . . . . . 7
142 log1 20158 . . . . . . 7
143141, 142syl6eq 2414 . . . . . 6
144 fzfid 11199 . . . . . . 7
145 ssfi 7226 . . . . . . 7
146144, 62, 145sylancl 643 . . . . . 6
14760, 90, 143, 146fsumss 12406 . . . . 5
14866nnrpd 10540 . . . . . . 7
14970nn0zd 10266 . . . . . . 7
150 relogexp 20168 . . . . . . 7
151148, 149, 150syl2anc 642 . . . . . 6
152151sumeq2dv 12384 . . . . 5
153 pclogsum 20677 . . . . . 6
15415, 153syl 15 . . . . 5
155147, 152, 1543eqtrd 2402 . . . 4
15630recnd 9008 . . . . . 6
157 fsumconst 12460 . . . . . 6
15848, 156, 157syl2anc 642 . . . . 5
15926, 2eleqtri 2438 . . . . . . 7
160 ppival2g 20590 . . . . . . 7 π
16149, 159, 160sylancl 643 . . . . . 6 π
162161oveq1d 5996 . . . . 5 π
163158, 162eqtr4d 2401 . . . 4 π
16488, 155, 1633brtr3d 4154 . . 3 π
165 min1 10669 . . . . . . 7
16622, 51, 165syl2anc 642 . . . . . 6
16736, 166syl5eqbr 4158 . . . . 5
168 ppiwordi 20623 . . . . 5 π π
16940, 22, 167, 168syl3anc 1183 . . . 4 π π
170 1re 8984 . . . . . . . 8
171170a1i 10 . . . . . . 7
172 2re 9962 . . . . . . . 8
173172a1i 10 . . . . . . 7
174 1lt2 10035 . . . . . . . 8
175174a1i 10 . . . . . . 7
176 2cn 9963 . . . . . . . . 9
177176mulid1i 8986 . . . . . . . 8
1784nnge1d 9935 . . . . . . . . 9
179 eluzelre 10390 . . . . . . . . . 10
180 2pos 9975 . . . . . . . . . . . 12
181172, 180pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11
182181a1i 10 . . . . . . . . . 10
183 lemul2 9756 . . . . . . . . . 10
184171, 179, 182, 183syl3anc 1183 . . . . . . . . 9
185178, 184mpbid 201 . . . . . . . 8
186177, 185syl5eqbrr 4159 . . . . . . 7
187171, 173, 22, 175, 186ltletrd 9123 . . . . . 6
18822, 187rplogcld 20202 . . . . 5
18943, 25, 188lemul1d 10580 . . . 4 π π π π
190169, 189mpbid 201 . . 3 π π
19117, 44, 31, 164, 190letrd 9120 . 2 π
19211, 17, 31, 35, 191ltletrd 9123 1 π
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wn 3   wi 4   wb 176   wo 357   wa 358   wceq 1647   wcel 1715   cdif 3235   cin 3237   wss 3238  cif 3654   class class class wbr 4125  cfv 5358  (class class class)co 5981  cfn 7006  cc 8882  cr 8883  cc0 8884  c1 8885   cmul 8889   clt 9014   cle 9015   cdiv 9570  cn 9893  c2 9942  c4 9944  cn0 10114  cz 10175  cuz 10381  crp 10505  cfz 10935  cexp 11269   cbc 11480  chash 11505  csu 12366  ce 12551  cprime 12966   cpc 13097  clog 20130  πcppi 20554 This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  20843 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1551  ax-5 1562  ax-17 1621  ax-9 1659  ax-8 1680  ax-13 1717  ax-14 1719  ax-6 1734  ax-7 1739  ax-11 1751  ax-12 1937  ax-ext 2347  ax-rep 4233  ax-sep 4243  ax-nul 4251  ax-pow 4290  ax-pr 4316  ax-un 4615  ax-inf2 7489  ax-cnex 8940  ax-resscn 8941  ax-1cn 8942  ax-icn 8943  ax-addcl 8944  ax-addrcl 8945  ax-mulcl 8946  ax-mulrcl 8947  ax-mulcom 8948  ax-addass 8949  ax-mulass 8950  ax-distr 8951  ax-i2m1 8952  ax-1ne0 8953  ax-1rid 8954  ax-rnegex 8955  ax-rrecex 8956  ax-cnre 8957  ax-pre-lttri 8958  ax-pre-lttrn 8959  ax-pre-ltadd 8960  ax-pre-mulgt0 8961  ax-pre-sup 8962  ax-addf 8963  ax-mulf 8964 This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 936  df-3an 937  df-tru 1324  df-ex 1547  df-nf 1550  df-sb 1654  df-eu 2221  df-mo 2222  df-clab 2353  df-cleq 2359  df-clel 2362  df-nfc 2491  df-ne 2531  df-nel 2532  df-ral 2633  df-rex 2634  df-reu 2635  df-rmo 2636  df-rab 2637  df-v 2875  df-sbc 3078  df-csb 3168  df-dif 3241  df-un 3243  df-in 3245  df-ss 3252  df-pss 3254  df-nul 3544  df-if 3655  df-pw 3716  df-sn 3735  df-pr 3736  df-tp 3737  df-op 3738  df-uni 3930  df-int 3965  df-iun 4009  df-iin 4010  df-br 4126  df-opab 4180  df-mpt 4181  df-tr 4216  df-eprel 4408  df-id 4412  df-po 4417  df-so 4418  df-fr 4455  df-se 4456  df-we 4457  df-ord 4498  df-on 4499  df-lim 4500  df-suc 4501  df-om 4760  df-xp 4798  df-rel 4799  df-cnv 4800  df-co 4801  df-dm 4802  df-rn 4803  df-res 4804  df-ima 4805  df-iota 5322  df-fun 5360  df-fn 5361  df-f 5362  df-f1 5363  df-fo 5364  df-f1o 5365  df-fv 5366  df-isom 5367  df-ov 5984  df-oprab 5985  df-mpt2 5986  df-of 6205  df-1st 6249  df-2nd 6250  df-riota 6446  df-recs 6530  df-rdg 6565  df-1o 6621  df-2o 6622  df-oadd 6625  df-er 6802  df-map 6917  df-pm 6918  df-ixp 6961  df-en 7007  df-dom 7008  df-sdom 7009  df-fin 7010  df-fi 7312  df-sup 7341  df-oi 7372  df-card 7719  df-cda 7941  df-pnf 9016  df-mnf 9017  df-xr 9018  df-ltxr 9019  df-le 9020  df-sub 9186  df-neg 9187  df-div 9571  df-nn 9894  df-2 9951  df-3 9952  df-4 9953  df-5 9954  df-6 9955  df-7 9956  df-8 9957  df-9 9958  df-10 9959  df-n0 10115  df-z 10176  df-dec 10276  df-uz 10382  df-q 10468  df-rp 10506  df-xneg 10603  df-xadd 10604  df-xmul 10605  df-ioo 10813  df-ioc 10814  df-ico 10815  df-icc 10816  df-fz 10936  df-fzo 11026  df-fl 11089  df-mod 11138  df-seq 11211  df-exp 11270  df-fac 11454  df-bc 11481  df-hash 11506  df-shft 11769  df-cj 11791  df-re 11792  df-im 11793  df-sqr 11927  df-abs 11928  df-limsup 12152  df-clim 12169  df-rlim 12170  df-sum 12367  df-ef 12557  df-sin 12559  df-cos 12560  df-pi 12562  df-dvds 12740  df-gcd 12894  df-prm 12967  df-pc 13098  df-struct 13358  df-ndx 13359  df-slot 13360  df-base 13361  df-sets 13362  df-ress 13363  df-plusg 13429  df-mulr 13430  df-starv 13431  df-sca 13432  df-vsca 13433  df-tset 13435  df-ple 13436  df-ds 13438  df-unif 13439  df-hom 13440  df-cco 13441  df-rest 13537  df-topn 13538  df-topgen 13554  df-pt 13555  df-prds 13558  df-xrs 13613  df-0g 13614  df-gsum 13615  df-qtop 13620  df-imas 13621  df-xps 13623  df-mre 13698  df-mrc 13699  df-acs 13701  df-mnd 14577  df-submnd 14626  df-mulg 14702  df-cntz 15003  df-cmn 15301  df-xmet 16586  df-met 16587  df-bl 16588  df-mopn 16589  df-fbas 16590  df-fg 16591  df-cnfld 16594  df-top 16853  df-bases 16855  df-topon 16856  df-topsp 16857  df-cld 16973  df-ntr 16974  df-cls 16975  df-nei 17052  df-lp 17085  df-perf 17086  df-cn 17174  df-cnp 17175  df-haus 17260  df-tx 17474  df-hmeo 17663  df-fil 17754  df-fm 17846  df-flim 17847  df-flf 17848  df-xms 18098  df-ms 18099  df-tms 18100  df-cncf 18596  df-limc 19431  df-dv 19432  df-log 20132  df-ppi 20560
 Copyright terms: Public domain W3C validator