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Theorem chebbnd1lem1 21165
Description: Lemma for chebbnd1 21168: show a lower bound on π ( x ) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 21079. (Note that the expression  K is actually equal to  2  x.  N, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 21070, which shows that each term in the expansion  ( (
2  x.  N )  _C  N )  = 
prod_ p  e.  Prime  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) is at most  2  x.  N, so that the sum really only has nonzero elements up to  2  x.  N, and since each term is at most  2  x.  N, after taking logs we get the inequality π ( 2  x.  N
)  x.  log (
2  x.  N )  <_  log ( ( 2  x.  N )  _C  N ), and bclbnd 21066 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1  |-  K  =  if ( ( 2  x.  N )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 10137 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
2 nnuz 10523 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
32uztrn2 10505 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  N  e.  NN )
41, 3mpan 653 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  NN )
54nnnn0d 10276 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  NN0 )
6 nnexpcl 11396 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ N
)  e.  NN )
71, 5, 6sylancr 646 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4 ^ N )  e.  NN )
87nnrpd 10649 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4 ^ N )  e.  RR+ )
94nnrpd 10649 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  RR+ )
108, 9rpdivcld 10667 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  e.  RR+ )
1110relogcld 20520 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  e.  RR )
12 fzctr 11119 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
135, 12syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
14 bccl2 11616 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
1513, 14syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
1615nnrpd 10649 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  RR+ )
1716relogcld 20520 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  RR )
18 2z 10314 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
19 eluzelz 10498 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  ZZ )
20 zmulcl 10326 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2118, 19, 20sylancr 646 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
2221zred 10377 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
23 ppicl 20916 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (π `  ( 2  x.  N
) )  e.  NN0 )
2422, 23syl 16 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  (
2  x.  N ) )  e.  NN0 )
2524nn0red 10277 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
26 2nn 10135 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
27 nnmulcl 10025 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2826, 4, 27sylancr 646 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
2928nnrpd 10649 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
3029relogcld 20520 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
3125, 30remulcld 9118 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
32 bclbnd 21066 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
33 logltb 20496 . . . 4  |-  ( ( ( ( 4 ^ N )  /  N
)  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  RR+ )  ->  (
( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
2  x.  N )  _C  N )  <->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
3410, 16, 33syl2anc 644 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
( 4 ^ N
)  /  N )  <  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  <->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
3532, 34mpbid 203 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
36 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8  |-  K  =  if ( ( 2  x.  N )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
37 ifcl 3777 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
3828, 15, 37syl2anc 644 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
3936, 38syl5eqel 2522 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  NN )
4039nnred 10017 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  RR )
41 ppicl 20916 . . . . . 6  |-  ( K  e.  RR  ->  (π `  K )  e.  NN0 )
4240, 41syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  e.  NN0 )
4342nn0red 10277 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  e.  RR )
4443, 30remulcld 9118 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
45 fzfid 11314 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... K )  e. 
Fin )
46 inss1 3563 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  C_  (
1 ... K )
47 ssfi 7331 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... K
)  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) 
C_  ( 1 ... K ) )  -> 
( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  e.  Fin )
4845, 46, 47sylancl 645 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
4939nnzd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  ZZ )
5015nnzd 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ )
5115nnred 10017 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  RR )
52 min2 10779 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
5322, 51, 52syl2anc 644 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
5436, 53syl5eqbr 4247 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )
55 eluz2 10496 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ  /\  K  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
5649, 50, 54, 55syl3anbrc 1139 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
57 fzss2 11094 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( 1 ... K )  C_  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
5856, 57syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... K )  C_  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
59 ssrin 3568 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... K ) 
C_  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime )  C_  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
6058, 59syl 16 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime )  C_  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime ) )
6160sselda 3350 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
62 inss1 3563 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
63 simpr 449 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
6462, 63sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
65 elfznn 11082 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  k  e.  NN )
6664, 65syl 16 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  NN )
67 inss2 3564 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  C_  Prime
6867, 63sseldi 3348 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  Prime )
6915adantr 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
7068, 69pccld 13226 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
7166, 70nnexpcld 11546 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  NN )
7271nnrpd 10649 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR+ )
7372relogcld 20520 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR )
7461, 73syldan 458 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR )
7530adantr 453 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
76 elin 3532 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime )  <->  ( k  e.  ( 1 ... K
)  /\  k  e.  Prime ) )
7776simprbi 452 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime )  ->  k  e. 
Prime )
78 bposlem1 21070 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  Prime )  -> 
( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
794, 77, 78syl2an 465 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
8061, 72syldan 458 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR+ )
8180reeflogd 20521 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  =  ( k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
8229adantr 453 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
8382reeflogd 20521 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  N ) )
8479, 81, 833brtr4d 4244 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
85 efle 12721 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  ( log `  ( 2  x.  N
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) ) )
8674, 75, 85syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( ( log `  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )  <_ 
( log `  (
2  x.  N ) )  <->  ( exp `  ( log `  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
8784, 86mpbird 225 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )
8848, 74, 75, 87fsumle 12580 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) ) )
8973recnd 9116 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  CC )
9061, 89syldan 458 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  CC )
91 eldifn 3472 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) )  ->  -.  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )
9291adantl 454 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  -.  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )
93 simpr 449 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )
9493eldifad 3334 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
9562, 94sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
9695, 65syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  NN )
9796adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  NN )
9897nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  RR )
9994, 71syldan 458 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  NN )
10099nnred 10017 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
101100adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
10222adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
10397nncnd 10018 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  CC )
104103exp1d 11520 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
1 )  =  k )
10597nnge1d 10044 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  1  <_  k
)
106 simprr 735 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN )
107106, 2syl6eleq 2528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
10898, 105, 107leexp2ad 11557 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
1 )  <_  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
109104, 108eqbrtrrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
1104adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
11167, 94sseldi 3348 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  Prime )
112111adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  Prime )
113110, 112, 78syl2anc 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
11498, 101, 102, 109, 113letrd 9229 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
2  x.  N ) )
115 elfzle2 11063 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
11695, 115syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )
117116adantrr 699 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
11851adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  RR )
119 lemin 10781 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  ( k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <->  ( k  <_ 
( 2  x.  N
)  /\  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
12098, 102, 118, 119syl3anc 1185 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <->  ( k  <_ 
( 2  x.  N
)  /\  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
121114, 117, 120mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
122121, 36syl6breqr 4254 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  K
)
12339adantr 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  K  e.  NN )
124123nnzd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
125 fznn 11117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( 1 ... K )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  <_  K ) ) )
126124, 125syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... K
)  <->  ( k  e.  NN  /\  k  <_  K ) ) )
12797, 122, 126mpbir2and 890 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  ( 1 ... K ) )
128127, 112, 76sylanbrc 647 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime ) )
129128expr 600 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  ->  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ) )
13092, 129mtod 171 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  -.  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
13194, 70syldan 458 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
132 elnn0 10225 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0  <->  ( ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  \/  ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
133131, 132sylib 190 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  \/  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
134133ord 368 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( -.  ( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN  ->  ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
135130, 134mpd 15 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  =  0 )
136135oveq2d 6099 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  =  ( k ^ 0 ) )
13796nncnd 10018 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  CC )
138137exp0d 11519 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ 0 )  =  1 )
139136, 138eqtrd 2470 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  =  1 )
140139fveq2d 5734 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( log `  1 ) )
141 log1 20482 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
142140, 141syl6eq 2486 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  0 )
143 fzfid 11314 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e. 
Fin )
144 ssfi 7331 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) 
C_  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )  -> 
( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime )  e.  Fin )
145143, 62, 144sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
14660, 90, 142, 145fsumss 12521 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )
14766nnrpd 10649 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  RR+ )
14870nn0zd 10375 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  ZZ )
149 relogexp 20492 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  ZZ )  -> 
( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  x.  ( log `  k
) ) )
150147, 148, 149syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) ) )
151150sumeq2dv 12499 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) ) )
152 pclogsum 21001 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) )  =  ( log `  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
15315, 152syl 16 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) )  =  ( log `  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
154146, 151, 1533eqtrd 2474 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
15530recnd 9116 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  CC )
156 fsumconst 12575 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  e.  Fin  /\  ( log `  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
15748, 155, 156syl2anc 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
15826, 2eleqtri 2510 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
159 ppival2g 20914 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  2  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
(π `  K )  =  ( # `  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )
16049, 158, 159sylancl 645 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  =  ( # `  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ) )
161160oveq1d 6098 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) )
162157, 161eqtr4d 2473 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
16388, 154, 1623brtr3d 4243 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  (
(π `  K )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
164 min1 10778 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_ 
( 2  x.  N
) )
16522, 51, 164syl2anc 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
16636, 165syl5eqbr 4247 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  <_  ( 2  x.  N ) )
167 ppiwordi 20947 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  K  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
(π `  K )  <_ 
(π `  ( 2  x.  N ) ) )
16840, 22, 166, 167syl3anc 1185 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  <_  (π `  (
2  x.  N ) ) )
169 1re 9092 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
170169a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  e.  RR )
171 2re 10071 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
172171a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  2  e.  RR )
173 1lt2 10144 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
174173a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <  2 )
175 2cn 10072 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
176175mulid1i 9094 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1774nnge1d 10044 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <_  N )
178 eluzelre 10499 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  RR )
179 2pos 10084 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
180171, 179pm3.2i 443 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
181180a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
182 lemul2 9865 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
183170, 178, 181, 182syl3anc 1185 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
184177, 183mpbid 203 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) )
185176, 184syl5eqbrr 4248 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
186170, 172, 22, 174, 185ltletrd 9232 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
18722, 186rplogcld 20526 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR+ )
18843, 25, 187lemul1d 10689 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  <_  (π `  ( 2  x.  N
) )  <->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( (π `  (
2  x.  N ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
189168, 188mpbid 203 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( (π `  (
2  x.  N ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) )
19017, 44, 31, 163, 189letrd 9229 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
19111, 17, 31, 35, 190ltletrd 9232 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 178    \/ wo 359    /\ wa 360    = wceq 1653    e. wcel 1726    \ cdif 3319    i^i cin 3321    C_ wss 3322   ifcif 3741   class class class wbr 4214   ` cfv 5456  (class class class)co 6083   Fincfn 7111   CCcc 8990   RRcr 8991   0cc0 8992   1c1 8993    x. cmul 8997    < clt 9122    <_ cle 9123    / cdiv 9679   NNcn 10002   2c2 10051   4c4 10053   NN0cn0 10223   ZZcz 10284   ZZ>=cuz 10490   RR+crp 10614   ...cfz 11045   ^cexp 11384    _C cbc 11595   #chash 11620   sum_csu 12481   expce 12666   Primecprime 13081    pCnt cpc 13212   logclog 20454  πcppi 20878
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  21167
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1556  ax-5 1567  ax-17 1627  ax-9 1667  ax-8 1688  ax-13 1728  ax-14 1730  ax-6 1745  ax-7 1750  ax-11 1762  ax-12 1951  ax-ext 2419  ax-rep 4322  ax-sep 4332  ax-nul 4340  ax-pow 4379  ax-pr 4405  ax-un 4703  ax-inf2 7598  ax-cnex 9048  ax-resscn 9049  ax-1cn 9050  ax-icn 9051  ax-addcl 9052  ax-addrcl 9053  ax-mulcl 9054  ax-mulrcl 9055  ax-mulcom 9056  ax-addass 9057  ax-mulass 9058  ax-distr 9059  ax-i2m1 9060  ax-1ne0 9061  ax-1rid 9062  ax-rnegex 9063  ax-rrecex 9064  ax-cnre 9065  ax-pre-lttri 9066  ax-pre-lttrn 9067  ax-pre-ltadd 9068  ax-pre-mulgt0 9069  ax-pre-sup 9070  ax-addf 9071  ax-mulf 9072
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 938  df-3an 939  df-tru 1329  df-ex 1552  df-nf 1555  df-sb 1660  df-eu 2287  df-mo 2288  df-clab 2425  df-cleq 2431  df-clel 2434  df-nfc 2563  df-ne 2603  df-nel 2604  df-ral 2712  df-rex 2713  df-reu 2714  df-rmo 2715  df-rab 2716  df-v 2960  df-sbc 3164  df-csb 3254  df-dif 3325  df-un 3327  df-in 3329  df-ss 3336  df-pss 3338  df-nul 3631  df-if 3742  df-pw 3803  df-sn 3822  df-pr 3823  df-tp 3824  df-op 3825  df-uni 4018  df-int 4053  df-iun 4097  df-iin 4098  df-br 4215  df-opab 4269  df-mpt 4270  df-tr 4305  df-eprel 4496  df-id 4500  df-po 4505  df-so 4506  df-fr 4543  df-se 4544  df-we 4545  df-ord 4586  df-on 4587  df-lim 4588  df-suc 4589  df-om 4848  df-xp 4886  df-rel 4887  df-cnv 4888  df-co 4889  df-dm 4890  df-rn 4891  df-res 4892  df-ima 4893  df-iota 5420  df-fun 5458  df-fn 5459  df-f 5460  df-f1 5461  df-fo 5462  df-f1o 5463  df-fv 5464  df-isom 5465  df-ov 6086  df-oprab 6087  df-mpt2 6088  df-of 6307  df-1st 6351  df-2nd 6352  df-riota 6551  df-recs 6635  df-rdg 6670  df-1o 6726  df-2o 6727  df-oadd 6730  df-er 6907  df-map 7022  df-pm 7023  df-ixp 7066  df-en 7112  df-dom 7113  df-sdom 7114  df-fin 7115  df-fi 7418  df-sup 7448  df-oi 7481  df-card 7828  df-cda 8050  df-pnf 9124  df-mnf 9125  df-xr 9126  df-ltxr 9127  df-le 9128  df-sub 9295  df-neg 9296  df-div 9680  df-nn 10003  df-2 10060  df-3 10061  df-4 10062  df-5 10063  df-6 10064  df-7 10065  df-8 10066  df-9 10067  df-10 10068  df-n0 10224  df-z 10285  df-dec 10385  df-uz 10491  df-q 10577  df-rp 10615  df-xneg 10712  df-xadd 10713  df-xmul 10714  df-ioo 10922  df-ioc 10923  df-ico 10924  df-icc 10925  df-fz 11046  df-fzo 11138  df-fl 11204  df-mod 11253  df-seq 11326  df-exp 11385  df-fac 11569  df-bc 11596  df-hash 11621  df-shft 11884  df-cj 11906  df-re 11907  df-im 11908  df-sqr 12042  df-abs 12043  df-limsup 12267  df-clim 12284  df-rlim 12285  df-sum 12482  df-ef 12672  df-sin 12674  df-cos 12675  df-pi 12677  df-dvds 12855  df-gcd 13009  df-prm 13082  df-pc 13213  df-struct 13473  df-ndx 13474  df-slot 13475  df-base 13476  df-sets 13477  df-ress 13478  df-plusg 13544  df-mulr 13545  df-starv 13546  df-sca 13547  df-vsca 13548  df-tset 13550  df-ple 13551  df-ds 13553  df-unif 13554  df-hom 13555  df-cco 13556  df-rest 13652  df-topn 13653  df-topgen 13669  df-pt 13670  df-prds 13673  df-xrs 13728  df-0g 13729  df-gsum 13730  df-qtop 13735  df-imas 13736  df-xps 13738  df-mre 13813  df-mrc 13814  df-acs 13816  df-mnd 14692  df-submnd 14741  df-mulg 14817  df-cntz 15118  df-cmn 15416  df-psmet 16696  df-xmet 16697  df-met 16698  df-bl 16699  df-mopn 16700  df-fbas 16701  df-fg 16702  df-cnfld 16706  df-top 16965  df-bases 16967  df-topon 16968  df-topsp 16969  df-cld 17085  df-ntr 17086  df-cls 17087  df-nei 17164  df-lp 17202  df-perf 17203  df-cn 17293  df-cnp 17294  df-haus 17381  df-tx 17596  df-hmeo 17789  df-fil 17880  df-fm 17972  df-flim 17973  df-flf 17974  df-xms 18352  df-ms 18353  df-tms 18354  df-cncf 18910  df-limc 19755  df-dv 19756  df-log 20456  df-ppi 20884
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