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Theorem chebbnd1lem1 20620
Description: Lemma for chebbnd1 20623: show a lower bound on π ( x ) at even integers using similar techniques to those used to prove bpos 20534. (Note that the expression  K is actually equal to  2  x.  N, but proving that is not necessary for the proof, and it's too much work.) The key to the proof is bposlem1 20525, which shows that each term in the expansion  ( (
2  x.  N )  _C  N )  = 
prod_ p  e.  Prime  ( p ^ ( p  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) is at most  2  x.  N, so that the sum really only has nonzero elements up to  2  x.  N, and since each term is at most  2  x.  N, after taking logs we get the inequality π ( 2  x.  N
)  x.  log (
2  x.  N )  <_  log ( ( 2  x.  N )  _C  N ), and bclbnd 20521 finishes the proof. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.) (Revised by Mario Carneiro, 15-Apr-2016.)
Hypothesis
Ref Expression
chebbnd1lem1.1  |-  K  =  if ( ( 2  x.  N )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
Assertion
Ref Expression
chebbnd1lem1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )

Proof of Theorem chebbnd1lem1
Dummy variable  k is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 4nn 9881 . . . . . 6  |-  4  e.  NN
2 nnuz 10265 . . . . . . . . 9  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
32uztrn2 10247 . . . . . . . 8  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  ( ZZ>= ` 
4 ) )  ->  N  e.  NN )
41, 3mpan 651 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  NN )
54nnnn0d 10020 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  NN0 )
6 nnexpcl 11118 . . . . . 6  |-  ( ( 4  e.  NN  /\  N  e.  NN0 )  -> 
( 4 ^ N
)  e.  NN )
71, 5, 6sylancr 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4 ^ N )  e.  NN )
87nnrpd 10391 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 4 ^ N )  e.  RR+ )
94nnrpd 10391 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  RR+ )
108, 9rpdivcld 10409 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  e.  RR+ )
1110relogcld 19976 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  e.  RR )
12 fzctr 10856 . . . . . 6  |-  ( N  e.  NN0  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
135, 12syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  ( 0 ... (
2  x.  N ) ) )
14 bccl2 11337 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( 0 ... ( 2  x.  N
) )  ->  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN )
1513, 14syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
1615nnrpd 10391 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  RR+ )
1716relogcld 19976 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  RR )
18 2z 10056 . . . . . . 7  |-  2  e.  ZZ
19 eluzelz 10240 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  ZZ )
20 zmulcl 10068 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  N  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  ZZ )
2118, 19, 20sylancr 644 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  ZZ )
2221zred 10119 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
23 ppicl 20371 . . . . 5  |-  ( ( 2  x.  N )  e.  RR  ->  (π `  ( 2  x.  N
) )  e.  NN0 )
2422, 23syl 15 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  (
2  x.  N ) )  e.  NN0 )
2524nn0red 10021 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  (
2  x.  N ) )  e.  RR )
26 2nn 9879 . . . . . 6  |-  2  e.  NN
27 nnmulcl 9771 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  NN  /\  N  e.  NN )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  NN )
2826, 4, 27sylancr 644 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  NN )
2928nnrpd 10391 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
3029relogcld 19976 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
3125, 30remulcld 8865 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  ( 2  x.  N
) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
32 bclbnd 20521 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
4 ^ N )  /  N )  < 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
33 logltb 19955 . . . 4  |-  ( ( ( ( 4 ^ N )  /  N
)  e.  RR+  /\  (
( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  RR+ )  ->  (
( ( 4 ^ N )  /  N
)  <  ( (
2  x.  N )  _C  N )  <->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
3410, 16, 33syl2anc 642 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
( 4 ^ N
)  /  N )  <  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  <->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
3532, 34mpbid 201 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) )
36 chebbnd1lem1.1 . . . . . . . 8  |-  K  =  if ( ( 2  x.  N )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
37 ifcl 3603 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  NN  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  NN )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
3828, 15, 37syl2anc 642 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
3936, 38syl5eqel 2369 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  NN )
4039nnred 9763 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  RR )
41 ppicl 20371 . . . . . 6  |-  ( K  e.  RR  ->  (π `  K )  e.  NN0 )
4240, 41syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  e.  NN0 )
4342nn0red 10021 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  e.  RR )
4443, 30remulcld 8865 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  e.  RR )
45 fzfid 11037 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... K )  e. 
Fin )
46 inss1 3391 . . . . . 6  |-  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  C_  (
1 ... K )
47 ssfi 7085 . . . . . 6  |-  ( ( ( 1 ... K
)  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) 
C_  ( 1 ... K ) )  -> 
( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  e.  Fin )
4845, 46, 47sylancl 643 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
4939nnzd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  e.  ZZ )
5015nnzd 10118 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ )
5115nnred 9763 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  RR )
52 min2 10520 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
5322, 51, 52syl2anc 642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
5436, 53syl5eqbr 4058 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )
55 eluz2 10238 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K
)  <->  ( K  e.  ZZ  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  ZZ  /\  K  <_ 
( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
5649, 50, 54, 55syl3anbrc 1136 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K )
)
57 fzss2 10833 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  ( ZZ>= `  K
)  ->  ( 1 ... K )  C_  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
5856, 57syl 15 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... K )  C_  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
59 ssrin 3396 . . . . . . . 8  |-  ( ( 1 ... K ) 
C_  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime )  C_  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
6058, 59syl 15 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime )  C_  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime ) )
6160sselda 3182 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
62 inss1 3391 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  C_  (
1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )
63 simpr 447 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
6462, 63sseldi 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
65 elfznn 10821 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  k  e.  NN )
6664, 65syl 15 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  NN )
67 inss2 3392 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  C_  Prime
6867, 63sseldi 3180 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  Prime )
6915adantr 451 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( (
2  x.  N )  _C  N )  e.  NN )
7068, 69pccld 12905 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
7166, 70nnexpcld 11268 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  NN )
7271nnrpd 10391 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR+ )
7372relogcld 19976 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR )
7461, 73syldan 456 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR )
7530adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR )
76 elin 3360 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime )  <->  ( k  e.  ( 1 ... K
)  /\  k  e.  Prime ) )
7776simprbi 450 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime )  ->  k  e. 
Prime )
78 bposlem1 20525 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  NN  /\  k  e.  Prime )  -> 
( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
794, 77, 78syl2an 463 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
8061, 72syldan 456 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR+ )
8180reeflogd 19977 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  =  ( k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
8229adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR+ )
8382reeflogd 19977 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) )  =  ( 2  x.  N ) )
8479, 81, 833brtr4d 4055 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
85 efle 12400 . . . . . . 7  |-  ( ( ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  RR  /\  ( log `  ( 2  x.  N ) )  e.  RR )  -> 
( ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  ( log `  ( 2  x.  N
) )  <->  ( exp `  ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) ) )
8674, 75, 85syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( ( log `  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )  <_ 
( log `  (
2  x.  N ) )  <->  ( exp `  ( log `  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) ) )  <_  ( exp `  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) ) )
8784, 86mpbird 223 . . . . 5  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )
8848, 74, 75, 87fsumle 12259 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  <_  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) ) )
8973recnd 8863 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  CC )
9061, 89syldan 456 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  e.  CC )
91 eldifn 3301 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) )  ->  -.  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )
9291adantl 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  -.  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )
93 difss 3305 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  C_  (
( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )
94 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )
9593, 94sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )
9662, 95sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
9796, 65syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  NN )
9897adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  NN )
9998nnred 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  RR )
10095, 71syldan 456 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  NN )
101100nnred 9763 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
102101adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  e.  RR )
10322adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
10498nncnd 9764 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  CC )
105104exp1d 11242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
1 )  =  k )
10698nnge1d 9790 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  1  <_  k
)
107 simprr 733 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN )
108107, 2syl6eleq 2375 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )
10999, 106, 108leexp2ad 11279 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
1 )  <_  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
110105, 109eqbrtrrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )
1114adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  N  e.  NN )
11267, 95sseldi 3180 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  Prime )
113112adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  Prime )
114111, 113, 78syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k ^
( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  <_  (
2  x.  N ) )
11599, 102, 103, 110, 114letrd 8975 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
2  x.  N ) )
116 elfzle2 10802 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( k  e.  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )
11796, 116syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )
118117adantrr 697 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )
11951adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  _C  N )  e.  RR )
120 lemin 10522 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( k  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  ( k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <->  ( k  <_ 
( 2  x.  N
)  /\  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
12199, 103, 119, 120syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  <->  ( k  <_ 
( 2  x.  N
)  /\  k  <_  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) ) )
122115, 118, 121mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  if ( ( 2  x.  N )  <_  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
123122, 36syl6breqr 4065 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  <_  K
)
12439adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  K  e.  NN )
125124nnzd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  K  e.  ZZ )
126 fznn 10854 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( K  e.  ZZ  ->  (
k  e.  ( 1 ... K )  <->  ( k  e.  NN  /\  k  <_  K ) ) )
127125, 126syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  ( k  e.  ( 1 ... K
)  <->  ( k  e.  NN  /\  k  <_  K ) ) )
12898, 123, 127mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  ( 1 ... K ) )
129128, 113, 76sylanbrc 645 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  (
k  e.  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  i^i  Prime )  \  ( ( 1 ... K )  i^i 
Prime ) )  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN ) )  ->  k  e.  ( ( 1 ... K
)  i^i  Prime ) )
130129expr 598 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  ->  k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ) )
13192, 130mtod 168 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  -.  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN )
13295, 70syldan 456 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  NN0 )
133 elnn0 9969 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN0  <->  ( ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  \/  ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
134132, 133sylib 188 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  NN  \/  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
135134ord 366 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( -.  ( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  NN  ->  ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  =  0 ) )
136131, 135mpd 14 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  =  0 )
137136oveq2d 5876 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  =  ( k ^ 0 ) )
13897nncnd 9764 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  k  e.  CC )
139138exp0d 11241 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ 0 )  =  1 )
140137, 139eqtrd 2317 . . . . . . . 8  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( k ^ ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )  =  1 )
141140fveq2d 5531 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( log `  1 ) )
142 log1 19941 . . . . . . 7  |-  ( log `  1 )  =  0
143141, 142syl6eq 2333 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  \  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  0 )
144 fzfid 11037 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  e. 
Fin )
145 ssfi 7085 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1 ... (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  e.  Fin  /\  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) 
C_  ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )  -> 
( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime )  e.  Fin )
146144, 62, 145sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (
1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  i^i 
Prime )  e.  Fin )
14760, 90, 143, 146fsumss 12200 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) ) )
14866nnrpd 10391 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  k  e.  RR+ )
14970nn0zd 10117 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  e.  ZZ )
150 relogexp 19951 . . . . . . 7  |-  ( ( k  e.  RR+  /\  (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  e.  ZZ )  -> 
( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) )  x.  ( log `  k
) ) )
151148, 149, 150syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  ( ZZ>= ` 
4 )  /\  k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) )  ->  ( log `  ( k ^ (
k  pCnt  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( ( k  pCnt  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) ) )
152151sumeq2dv 12178 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) ) )
153 pclogsum 20456 . . . . . 6  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  _C  N )  e.  NN  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) )  =  ( log `  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
15415, 153syl 15 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  i^i  Prime ) ( ( k  pCnt  ( ( 2  x.  N
)  _C  N ) )  x.  ( log `  k ) )  =  ( log `  (
( 2  x.  N
)  _C  N ) ) )
155147, 152, 1543eqtrd 2321 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
k ^ ( k 
pCnt  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ) ) )  =  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) ) )
15630recnd 8863 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  CC )
157 fsumconst 12254 . . . . . 6  |-  ( ( ( ( 1 ... K )  i^i  Prime )  e.  Fin  /\  ( log `  ( 2  x.  N ) )  e.  CC )  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
15848, 156, 157syl2anc 642 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (
# `  ( (
1 ... K )  i^i 
Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
15926, 2eleqtri 2357 . . . . . . 7  |-  2  e.  ( ZZ>= `  1 )
160 ppival2g 20369 . . . . . . 7  |-  ( ( K  e.  ZZ  /\  2  e.  ( ZZ>= ` 
1 ) )  -> 
(π `  K )  =  ( # `  (
( 1 ... K
)  i^i  Prime ) ) )
16149, 159, 160sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  =  ( # `  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ) )
162161oveq1d 5875 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  =  ( ( # `  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) )
163158, 162eqtr4d 2320 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  sum_ k  e.  ( ( 1 ... K )  i^i  Prime ) ( log `  (
2  x.  N ) )  =  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) ) )
16488, 155, 1633brtr3d 4054 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  (
(π `  K )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
165 min1 10519 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  _C  N
)  e.  RR )  ->  if ( ( 2  x.  N )  <_  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N ) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_ 
( 2  x.  N
) )
16622, 51, 165syl2anc 642 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  if (
( 2  x.  N
)  <_  ( (
2  x.  N )  _C  N ) ,  ( 2  x.  N
) ,  ( ( 2  x.  N )  _C  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) )
16736, 166syl5eqbr 4058 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  K  <_  ( 2  x.  N ) )
168 ppiwordi 20402 . . . . 5  |-  ( ( K  e.  RR  /\  ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  K  <_  ( 2  x.  N ) )  -> 
(π `  K )  <_ 
(π `  ( 2  x.  N ) ) )
16940, 22, 167, 168syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  (π `  K
)  <_  (π `  (
2  x.  N ) ) )
170 1re 8839 . . . . . . . 8  |-  1  e.  RR
171170a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  e.  RR )
172 2re 9817 . . . . . . . 8  |-  2  e.  RR
173172a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  2  e.  RR )
174 1lt2 9888 . . . . . . . 8  |-  1  <  2
175174a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <  2 )
176 2cn 9818 . . . . . . . . 9  |-  2  e.  CC
177176mulid1i 8841 . . . . . . . 8  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
1784nnge1d 9790 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <_  N )
179 eluzelre 10241 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  N  e.  RR )
180 2pos 9830 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
181172, 180pm3.2i 441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
182181a1i 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
183 lemul2 9611 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 1  <_  N 
<->  ( 2  x.  1 )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
184171, 179, 182, 183syl3anc 1182 . . . . . . . . 9  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 1  <_  N  <->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) ) )
185178, 184mpbid 201 . . . . . . . 8  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( 2  x.  1 )  <_ 
( 2  x.  N
) )
186177, 185syl5eqbrr 4059 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  2  <_  ( 2  x.  N ) )
187171, 173, 22, 175, 186ltletrd 8978 . . . . . 6  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  1  <  ( 2  x.  N ) )
18822, 187rplogcld 19982 . . . . 5  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( 2  x.  N
) )  e.  RR+ )
18943, 25, 188lemul1d 10431 . . . 4  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  <_  (π `  ( 2  x.  N
) )  <->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( (π `  (
2  x.  N ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) ) )
190169, 189mpbid 201 . . 3  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( (π `  K )  x.  ( log `  ( 2  x.  N ) ) )  <_  ( (π `  (
2  x.  N ) )  x.  ( log `  ( 2  x.  N
) ) ) )
19117, 44, 31, 164, 190letrd 8975 . 2  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 2  x.  N )  _C  N
) )  <_  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
19211, 17, 31, 35, 191ltletrd 8978 1  |-  ( N  e.  ( ZZ>= `  4
)  ->  ( log `  ( ( 4 ^ N )  /  N
) )  <  (
(π `  ( 2  x.  N ) )  x.  ( log `  (
2  x.  N ) ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1625    e. wcel 1686    \ cdif 3151    i^i cin 3153    C_ wss 3154   ifcif 3567   class class class wbr 4025   ` cfv 5257  (class class class)co 5860   Fincfn 6865   CCcc 8737   RRcr 8738   0cc0 8739   1c1 8740    x. cmul 8744    < clt 8869    <_ cle 8870    / cdiv 9425   NNcn 9748   2c2 9797   4c4 9799   NN0cn0 9967   ZZcz 10026   ZZ>=cuz 10232   RR+crp 10356   ...cfz 10784   ^cexp 11106    _C cbc 11317   #chash 11339   sum_csu 12160   expce 12345   Primecprime 12760    pCnt cpc 12891   logclog 19914  πcppi 20333
This theorem is referenced by:  chebbnd1lem3  20622
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1688  ax-14 1690  ax-6 1705  ax-7 1710  ax-11 1717  ax-12 1868  ax-ext 2266  ax-rep 4133  ax-sep 4143  ax-nul 4151  ax-pow 4190  ax-pr 4216  ax-un 4514  ax-inf2 7344  ax-cnex 8795  ax-resscn 8796  ax-1cn 8797  ax-icn 8798  ax-addcl 8799  ax-addrcl 8800  ax-mulcl 8801  ax-mulrcl 8802  ax-mulcom 8803  ax-addass 8804  ax-mulass 8805  ax-distr 8806  ax-i2m1 8807  ax-1ne0 8808  ax-1rid 8809  ax-rnegex 8810  ax-rrecex 8811  ax-cnre 8812  ax-pre-lttri 8813  ax-pre-lttrn 8814  ax-pre-ltadd 8815  ax-pre-mulgt0 8816  ax-pre-sup 8817  ax-addf 8818  ax-mulf 8819
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1632  df-eu 2149  df-mo 2150  df-clab 2272  df-cleq 2278  df-clel 2281  df-nfc 2410  df-ne 2450  df-nel 2451  df-ral 2550  df-rex 2551  df-reu 2552  df-rmo 2553  df-rab 2554  df-v 2792  df-sbc 2994  df-csb 3084  df-dif 3157  df-un 3159  df-in 3161  df-ss 3168  df-pss 3170  df-nul 3458  df-if 3568  df-pw 3629  df-sn 3648  df-pr 3649  df-tp 3650  df-op 3651  df-uni 3830  df-int 3865  df-iun 3909  df-iin 3910  df-br 4026  df-opab 4080  df-mpt 4081  df-tr 4116  df-eprel 4307  df-id 4311  df-po 4316  df-so 4317  df-fr 4354  df-se 4355  df-we 4356  df-ord 4397  df-on 4398  df-lim 4399  df-suc 4400  df-om 4659  df-xp 4697  df-rel 4698  df-cnv 4699  df-co 4700  df-dm 4701  df-rn 4702  df-res 4703  df-ima 4704  df-iota 5221  df-fun 5259  df-fn 5260  df-f 5261  df-f1 5262  df-fo 5263  df-f1o 5264  df-fv 5265  df-isom 5266  df-ov 5863  df-oprab 5864  df-mpt2 5865  df-of 6080  df-1st 6124  df-2nd 6125  df-riota 6306  df-recs 6390  df-rdg 6425  df-1o 6481  df-2o 6482  df-oadd 6485  df-er 6662  df-map 6776  df-pm 6777  df-ixp 6820  df-en 6866  df-dom 6867  df-sdom 6868  df-fin 6869  df-fi 7167  df-sup 7196  df-oi 7227  df-card 7574  df-cda 7796  df-pnf 8871  df-mnf 8872  df-xr 8873  df-ltxr 8874  df-le 8875  df-sub 9041  df-neg 9042  df-div 9426  df-nn 9749  df-2 9806  df-3 9807  df-4 9808  df-5 9809  df-6 9810  df-7 9811  df-8 9812  df-9 9813  df-10 9814  df-n0 9968  df-z 10027  df-dec 10127  df-uz 10233  df-q 10319  df-rp 10357  df-xneg 10454  df-xadd 10455  df-xmul 10456  df-ioo 10662  df-ioc 10663  df-ico 10664  df-icc 10665  df-fz 10785  df-fzo 10873  df-fl 10927  df-mod 10976  df-seq 11049  df-exp 11107  df-fac 11291  df-bc 11318  df-hash 11340  df-shft 11564  df-cj 11586  df-re 11587  df-im 11588  df-sqr 11722  df-abs 11723  df-limsup 11947  df-clim 11964  df-rlim 11965  df-sum 12161  df-ef 12351  df-sin 12353  df-cos 12354  df-pi 12356  df-dvds 12534  df-gcd 12688  df-prm 12761  df-pc 12892  df-struct 13152  df-ndx 13153  df-slot 13154  df-base 13155  df-sets 13156  df-ress 13157  df-plusg 13223  df-mulr 13224  df-starv 13225  df-sca 13226  df-vsca 13227  df-tset 13229  df-ple 13230  df-ds 13232  df-hom 13234  df-cco 13235  df-rest 13329  df-topn 13330  df-topgen 13346  df-pt 13347  df-prds 13350  df-xrs 13405  df-0g 13406  df-gsum 13407  df-qtop 13412  df-imas 13413  df-xps 13415  df-mre 13490  df-mrc 13491  df-acs 13493  df-mnd 14369  df-submnd 14418  df-mulg 14494  df-cntz 14795  df-cmn 15093  df-xmet 16375  df-met 16376  df-bl 16377  df-mopn 16378  df-cnfld 16380  df-top 16638  df-bases 16640  df-topon 16641  df-topsp 16642  df-cld 16758  df-ntr 16759  df-cls 16760  df-nei 16837  df-lp 16870  df-perf 16871  df-cn 16959  df-cnp 16960  df-haus 17045  df-tx 17259  df-hmeo 17448  df-fbas 17522  df-fg 17523  df-fil 17543  df-fm 17635  df-flim 17636  df-flf 17637  df-xms 17887  df-ms 17888  df-tms 17889  df-cncf 18384  df-limc 19218  df-dv 19219  df-log 19916  df-ppi 20339
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