Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chebbnd2 Structured version   Unicode version

Theorem chebbnd2 21171
 Description: The Chebyshev bound, part 2: The function π is eventually upper bounded by a positive constant times . Alternatively stated, the function π is eventually bounded. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chebbnd2 π

Proof of Theorem chebbnd2
StepHypRef Expression
1 ovex 6106 . . . . . 6
21a1i 11 . . . . 5
3 ovex 6106 . . . . . 6
43a1i 11 . . . . 5
5 ovex 6106 . . . . . 6 π
65a1i 11 . . . . 5 π
7 eqidd 2437 . . . . 5
8 simpr 448 . . . . . . . . . 10
9 2re 10069 . . . . . . . . . . 11
10 elicopnf 11000 . . . . . . . . . . 11
119, 10ax-mp 8 . . . . . . . . . 10
128, 11sylib 189 . . . . . . . . 9
13 chtrpcl 20958 . . . . . . . . 9
1412, 13syl 16 . . . . . . . 8
1514rpcnne0d 10657 . . . . . . 7
16 ppinncl 20957 . . . . . . . . . . 11 π
1712, 16syl 16 . . . . . . . . . 10 π
1817nnrpd 10647 . . . . . . . . 9 π
1912simpld 446 . . . . . . . . . 10
20 1re 9090 . . . . . . . . . . . 12
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11
229a1i 11 . . . . . . . . . . 11
23 1lt2 10142 . . . . . . . . . . . 12
2423a1i 11 . . . . . . . . . . 11
2512simprd 450 . . . . . . . . . . 11
2621, 22, 19, 24, 25ltletrd 9230 . . . . . . . . . 10
2719, 26rplogcld 20524 . . . . . . . . 9
2818, 27rpmulcld 10664 . . . . . . . 8 π
2928rpcnne0d 10657 . . . . . . 7 π π
30 recdiv 9720 . . . . . . 7 π π π π
3115, 29, 30syl2anc 643 . . . . . 6 π π
3231mpteq2dva 4295 . . . . 5 π π
332, 4, 6, 7, 32offval2 6322 . . . 4 π π
34 0re 9091 . . . . . . . . . . 11
3534a1i 11 . . . . . . . . . 10
36 2pos 10082 . . . . . . . . . . 11
3736a1i 11 . . . . . . . . . 10
3835, 22, 19, 37, 25ltletrd 9230 . . . . . . . . 9
3919, 38elrpd 10646 . . . . . . . 8
4039rpcnne0d 10657 . . . . . . 7
4128rpcnd 10650 . . . . . . 7 π
42 dmdcan 9724 . . . . . . 7 π π π
4315, 40, 41, 42syl3anc 1184 . . . . . 6 π π
4418rpcnd 10650 . . . . . . 7 π
4527rpcnne0d 10657 . . . . . . 7
46 divdiv2 9726 . . . . . . 7 π π π
4744, 40, 45, 46syl3anc 1184 . . . . . 6 π π
4843, 47eqtr4d 2471 . . . . 5 π π
4948mpteq2dva 4295 . . . 4 π π
5033, 49eqtrd 2468 . . 3 π π
5139ex 424 . . . . . 6
5251ssrdv 3354 . . . . 5
53 chto1ub 21170 . . . . . 6
5453a1i 11 . . . . 5
5552, 54o1res2 12357 . . . 4
56 ax-1cn 9048 . . . . . . 7
5756a1i 11 . . . . . 6
5814, 28rpdivcld 10665 . . . . . . 7 π
5958rpcnd 10650 . . . . . 6 π
60 pnfxr 10713 . . . . . . . . 9
61 icossre 10991 . . . . . . . . 9
629, 60, 61mp2an 654 . . . . . . . 8
63 rlimconst 12338 . . . . . . . 8
6462, 56, 63mp2an 654 . . . . . . 7
6564a1i 11 . . . . . 6
66 chtppilim 21169 . . . . . . 7 π
6766a1i 11 . . . . . 6 π
68 ax-1ne0 9059 . . . . . . 7
6968a1i 11 . . . . . 6
7058rpne0d 10653 . . . . . 6 π
7157, 59, 65, 67, 69, 70rlimdiv 12439 . . . . 5 π
72 rlimo1 12410 . . . . 5 π π
7371, 72syl 16 . . . 4 π
74 o1mul 12408 . . . 4 π π
7555, 73, 74syl2anc 643 . . 3 π
7650, 75eqeltrrd 2511 . 2 π
7776trud 1332 1 π
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wb 177   wa 359   wtru 1325   wceq 1652   wcel 1725   wne 2599  cvv 2956   wss 3320   class class class wbr 4212   cmpt 4266  cfv 5454  (class class class)co 6081   cof 6303  cc 8988  cr 8989  cc0 8990  c1 8991   cmul 8995   cpnf 9117  cxr 9119   clt 9120   cle 9121   cdiv 9677  cn 10000  c2 10049  crp 10612  cico 10918   crli 12279  co1 12280  clog 20452  ccht 20873  πcppi 20876 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-o1 12284  df-lo1 12285  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455  df-cht 20879  df-ppi 20882
 Copyright terms: Public domain W3C validator