Theorem chincl 9378

Description: Closure of Hilbert lattice intersection.

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	|- A e. CH
chjcl.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
chincl	|- (A i^i B) e. CH

Proof of Theorem chincl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 |- A e. CH
2	1	elisseti 1821	. . 3 |- A e. V
3		chjcl.2	. . . 4 |- B e. CH
4	3	elisseti 1821	. . 3 |- B e. V
5	2, 4	intpr 2567	. 2 |- |^|{A, B} = (A i^i B)
6	1, 3	pm3.2i 285	. . . . 5 |- (A e. CH /\ B e. CH)
7	2, 4	prss 2475	. . . . 5 |- ((A e. CH /\ B e. CH) <-> {A, B} (_ CH)
8	6, 7	mpbi 189	. . . 4 |- {A, B} (_ CH
9	2	prnz 2463	. . . 4 |- {A, B} =/= (/)
10	8, 9	pm3.2i 285	. . 3 |- ({A, B} (_ CH /\ {A, B} =/= (/))
11	10	chintcl 9290	. 2 |- |^|{A, B} e. CH
12	5, 11	eqeltrr 1548	1 |- (A i^i B) e. CH

Syntax hints:   /\ wa 223   e. wcel 960   =/= wne 1588   i^i cin 2049   (_ wss 2050  (/)c0 2283  {cpr 2414  |^|cint 2537  CHcch 8793

This theorem is referenced by:  chdmm1 9395  chdmj1 9399  chinclt 9417  ledi 9454  lejdi 9456  lejdir 9457  pjoml2 9523  pjoml3 9524  pjoml4 9525  pjoml6 9527  cmcmlem 9529  cmcm2 9531  cmbr2 9534  cmbr3 9538  cmm1 9544  fh3 9561  fh4 9562  qlaxr3 9572  osumcor 9582  osumcor2 9585  spansnm0 9590  5oa 9601  3oalem5 9606  3oalem6 9607  3oa 9608  pjssm 9621  pjssge0 9622  pjcj 9624  pjocin 9638  pjssdif2 10097  pjssdif1 10098  pjin1 10115  pjin3 10117  pjclem1 10118  pjclem4 10122  pjc 10123  pjcmmul1 10124  pjcmmul2 10125  pj3s 10130  pj3cor1 10132  stji1 10164  stm1 10165  stm1add3 10169  jp 10192  golem1 10193  golem2 10194  goeq 10195  stcltrlem2 10199  mdslle1 10239  mdslj1 10241  mdslj2 10242  mdsl1 10243  mdsl2 10244  mdsl2b 10245  cvmd 10246  mdslmd1lem1 10247  mdslmd1lem2 10248  mdslmd1 10251  mdsldmd1 10253  mdslmd3 10254  mdslmd4 10255  csmdsym 10256  mdexch 10257  hatomistic 10284  chrelat2 10287  cvexchlem 10290  cvexch 10291  sumdmdlem2 10341  mdcompl 10351  dmdcompl 10352  mddmdin0 10353

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-inf2 4634  ax-hilex 8864  ax-hv0cl 8868

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-sub 5368  df-neg 5370  df-n 5927  df-sh 9071  df-ch 9087

Copyright terms: Public domain