HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcl Unicode version

Theorem chintcl 21903
Description: The intersection (infimum) of a non-empty subset of  CH belongs to  CH. Part of Theorem 3.13 of [Beran] p. 108. Also part of Definition 3.4-1 in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chintcl  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )

Proof of Theorem chintcl
StepHypRef Expression
1 inteq 3866 . . 3  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  |^| A  =  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH ) )
21eleq1d 2350 . 2  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( |^| A  e.  CH  <->  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH ) )
3 sseq1 3200 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  C_  CH  <->  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
4 neeq1 2455 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
53, 4anbi12d 693 . . . 4  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
6 sseq1 3200 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  C_ 
CH 
<->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
7 neeq1 2455 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
86, 7anbi12d 693 . . . 4  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( ( CH  C_  CH  /\  CH  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
9 ssid 3198 . . . . 5  |-  CH  C_  CH
10 h0elch 21826 . . . . . 6  |-  0H  e.  CH
11 ne0i 3462 . . . . . 6  |-  ( 0H  e.  CH  ->  CH  =/=  (/) )
1210, 11ax-mp 10 . . . . 5  |-  CH  =/=  (/)
139, 12pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( CH  C_ 
CH  /\  CH  =/=  (/) )
145, 8, 13elimhyp 3614 . . 3  |-  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) )
1514chintcli 21902 . 2  |-  |^| if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH
162, 15dedth 3607 1  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1624    e. wcel 1685    =/= wne 2447    C_ wss 3153   (/)c0 3456   ifcif 3566   |^|cint 3863   CHcch 21501   0Hc0h 21507
This theorem is referenced by:  ococin  21979
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1534  ax-5 1545  ax-17 1604  ax-9 1637  ax-8 1645  ax-13 1687  ax-14 1689  ax-6 1704  ax-7 1709  ax-11 1716  ax-12 1867  ax-ext 2265  ax-rep 4132  ax-sep 4142  ax-nul 4150  ax-pow 4187  ax-pr 4213  ax-un 4511  ax-cnex 8788  ax-resscn 8789  ax-1cn 8790  ax-icn 8791  ax-addcl 8792  ax-addrcl 8793  ax-mulcl 8794  ax-mulrcl 8795  ax-mulcom 8796  ax-addass 8797  ax-mulass 8798  ax-distr 8799  ax-i2m1 8800  ax-1ne0 8801  ax-1rid 8802  ax-rnegex 8803  ax-rrecex 8804  ax-cnre 8805  ax-pre-lttri 8806  ax-pre-lttrn 8807  ax-pre-ltadd 8808  ax-pre-mulgt0 8809  ax-pre-sup 8810  ax-addf 8811  ax-mulf 8812  ax-hilex 21571  ax-hfvadd 21572  ax-hvcom 21573  ax-hvass 21574  ax-hv0cl 21575  ax-hvaddid 21576  ax-hfvmul 21577  ax-hvmulid 21578  ax-hvmulass 21579  ax-hvdistr1 21580  ax-hvdistr2 21581  ax-hvmul0 21582  ax-hfi 21650  ax-his1 21653  ax-his2 21654  ax-his3 21655  ax-his4 21656
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1530  df-nf 1533  df-sb 1632  df-eu 2148  df-mo 2149  df-clab 2271  df-cleq 2277  df-clel 2280  df-nfc 2409  df-ne 2449  df-nel 2450  df-ral 2549  df-rex 2550  df-reu 2551  df-rmo 2552  df-rab 2553  df-v 2791  df-sbc 2993  df-csb 3083  df-dif 3156  df-un 3158  df-in 3160  df-ss 3167  df-pss 3169  df-nul 3457  df-if 3567  df-pw 3628  df-sn 3647  df-pr 3648  df-tp 3649  df-op 3650  df-uni 3829  df-int 3864  df-iun 3908  df-br 4025  df-opab 4079  df-mpt 4080  df-tr 4115  df-eprel 4304  df-id 4308  df-po 4313  df-so 4314  df-fr 4351  df-we 4353  df-ord 4394  df-on 4395  df-lim 4396  df-suc 4397  df-om 4656  df-xp 4694  df-rel 4695  df-cnv 4696  df-co 4697  df-dm 4698  df-rn 4699  df-res 4700  df-ima 4701  df-fun 5223  df-fn 5224  df-f 5225  df-f1 5226  df-fo 5227  df-f1o 5228  df-fv 5229  df-ov 5822  df-oprab 5823  df-mpt2 5824  df-1st 6083  df-2nd 6084  df-iota 6252  df-riota 6299  df-recs 6383  df-rdg 6418  df-er 6655  df-map 6769  df-pm 6770  df-en 6859  df-dom 6860  df-sdom 6861  df-sup 7189  df-pnf 8864  df-mnf 8865  df-xr 8866  df-ltxr 8867  df-le 8868  df-sub 9034  df-neg 9035  df-div 9419  df-nn 9742  df-2 9799  df-3 9800  df-4 9801  df-n0 9961  df-z 10020  df-uz 10226  df-q 10312  df-rp 10350  df-xneg 10447  df-xadd 10448  df-xmul 10449  df-icc 10657  df-seq 11041  df-exp 11099  df-cj 11578  df-re 11579  df-im 11580  df-sqr 11714  df-abs 11715  df-topgen 13338  df-xmet 16367  df-met 16368  df-bl 16369  df-mopn 16370  df-top 16630  df-bases 16632  df-topon 16633  df-lm 16953  df-haus 17037  df-grpo 20850  df-gid 20851  df-ginv 20852  df-gdiv 20853  df-ablo 20941  df-vc 21094  df-nv 21140  df-va 21143  df-ba 21144  df-sm 21145  df-0v 21146  df-vs 21147  df-nmcv 21148  df-ims 21149  df-hnorm 21540  df-hvsub 21543  df-hlim 21544  df-sh 21778  df-ch 21793  df-ch0 21824
  Copyright terms: Public domain W3C validator