HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcl Unicode version

Theorem chintcl 21871
Description: The intersection (infimum) of a non-empty subset of  CH belongs to  CH. Part of Theorem 3.13 of [Beran] p. 108. Also part of Definition 3.4-1 in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chintcl  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )

Proof of Theorem chintcl
StepHypRef Expression
1 inteq 3839 . . 3  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  |^| A  =  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH ) )
21eleq1d 2324 . 2  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( |^| A  e.  CH  <->  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH ) )
3 sseq1 3174 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  C_  CH  <->  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
4 neeq1 2429 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
53, 4anbi12d 694 . . . 4  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
6 sseq1 3174 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  C_ 
CH 
<->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
7 neeq1 2429 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
86, 7anbi12d 694 . . . 4  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( ( CH  C_  CH  /\  CH  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
9 ssid 3172 . . . . 5  |-  CH  C_  CH
10 h0elch 21794 . . . . . 6  |-  0H  e.  CH
11 ne0i 3436 . . . . . 6  |-  ( 0H  e.  CH  ->  CH  =/=  (/) )
1210, 11ax-mp 10 . . . . 5  |-  CH  =/=  (/)
139, 12pm3.2i 443 . . . 4  |-  ( CH  C_ 
CH  /\  CH  =/=  (/) )
145, 8, 13elimhyp 3587 . . 3  |-  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) )
1514chintcli 21870 . 2  |-  |^| if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH
162, 15dedth 3580 1  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    /\ wa 360    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2421    C_ wss 3127   (/)c0 3430   ifcif 3539   |^|cint 3836   CHcch 21469   0Hc0h 21475
This theorem is referenced by:  ococin  21947
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1927  ax-ext 2239  ax-rep 4105  ax-sep 4115  ax-nul 4123  ax-pow 4160  ax-pr 4186  ax-un 4484  ax-cnex 8761  ax-resscn 8762  ax-1cn 8763  ax-icn 8764  ax-addcl 8765  ax-addrcl 8766  ax-mulcl 8767  ax-mulrcl 8768  ax-mulcom 8769  ax-addass 8770  ax-mulass 8771  ax-distr 8772  ax-i2m1 8773  ax-1ne0 8774  ax-1rid 8775  ax-rnegex 8776  ax-rrecex 8777  ax-cnre 8778  ax-pre-lttri 8779  ax-pre-lttrn 8780  ax-pre-ltadd 8781  ax-pre-mulgt0 8782  ax-pre-sup 8783  ax-addf 8784  ax-mulf 8785  ax-hilex 21539  ax-hfvadd 21540  ax-hvcom 21541  ax-hvass 21542  ax-hv0cl 21543  ax-hvaddid 21544  ax-hfvmul 21545  ax-hvmulid 21546  ax-hvmulass 21547  ax-hvdistr1 21548  ax-hvdistr2 21549  ax-hvmul0 21550  ax-hfi 21618  ax-his1 21621  ax-his2 21622  ax-his3 21623  ax-his4 21624
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1884  df-eu 2122  df-mo 2123  df-clab 2245  df-cleq 2251  df-clel 2254  df-nfc 2383  df-ne 2423  df-nel 2424  df-ral 2523  df-rex 2524  df-reu 2525  df-rmo 2526  df-rab 2527  df-v 2765  df-sbc 2967  df-csb 3057  df-dif 3130  df-un 3132  df-in 3134  df-ss 3141  df-pss 3143  df-nul 3431  df-if 3540  df-pw 3601  df-sn 3620  df-pr 3621  df-tp 3622  df-op 3623  df-uni 3802  df-int 3837  df-iun 3881  df-br 3998  df-opab 4052  df-mpt 4053  df-tr 4088  df-eprel 4277  df-id 4281  df-po 4286  df-so 4287  df-fr 4324  df-we 4326  df-ord 4367  df-on 4368  df-lim 4369  df-suc 4370  df-om 4629  df-xp 4675  df-rel 4676  df-cnv 4677  df-co 4678  df-dm 4679  df-rn 4680  df-res 4681  df-ima 4682  df-fun 4683  df-fn 4684  df-f 4685  df-f1 4686  df-fo 4687  df-f1o 4688  df-fv 4689  df-ov 5795  df-oprab 5796  df-mpt2 5797  df-1st 6056  df-2nd 6057  df-iota 6225  df-riota 6272  df-recs 6356  df-rdg 6391  df-er 6628  df-map 6742  df-pm 6743  df-en 6832  df-dom 6833  df-sdom 6834  df-sup 7162  df-pnf 8837  df-mnf 8838  df-xr 8839  df-ltxr 8840  df-le 8841  df-sub 9007  df-neg 9008  df-div 9392  df-n 9715  df-2 9772  df-3 9773  df-4 9774  df-n0 9933  df-z 9992  df-uz 10198  df-q 10284  df-rp 10322  df-xneg 10419  df-xadd 10420  df-xmul 10421  df-icc 10629  df-seq 11013  df-exp 11071  df-cj 11549  df-re 11550  df-im 11551  df-sqr 11685  df-abs 11686  df-topgen 13306  df-xmet 16335  df-met 16336  df-bl 16337  df-mopn 16338  df-top 16598  df-bases 16600  df-topon 16601  df-lm 16921  df-haus 17005  df-grpo 20818  df-gid 20819  df-ginv 20820  df-gdiv 20821  df-ablo 20909  df-vc 21062  df-nv 21108  df-va 21111  df-ba 21112  df-sm 21113  df-0v 21114  df-vs 21115  df-nmcv 21116  df-ims 21117  df-hnorm 21508  df-hvsub 21511  df-hlim 21512  df-sh 21746  df-ch 21761  df-ch0 21792
  Copyright terms: Public domain W3C validator