Theorem chintcl 9250

Description: The intersection of a non-empty set of closed subspaces is a closed subspace.

Hypothesis

Ref	Expression
chintcl.1	|- (A (_ CH /\ A =/= (/))

Assertion

Ref	Expression
chintcl	|- |^|A e. CH

Proof of Theorem chintcl

Step	Hyp	Ref	Expression
1		closedsub 9048	. 2 |- (|^|A e. CH <-> (|^|A e. SH /\ A.fA.x((f:NN-->|^|A /\ f ~~>v x) -> x e. |^|A)))
2		chintcl.1	. . . . . 6 |- (A (_ CH /\ A =/= (/))
3	2	pm3.26i 320	. . . . 5 |- A (_ CH
4		chsssh 9049	. . . . 5 |- CH (_ SH
5	3, 4	sstri 2070	. . . 4 |- A (_ SH
6	2	pm3.27i 324	. . . 4 |- A =/= (/)
7	5, 6	pm3.2i 285	. . 3 |- (A (_ SH /\ A =/= (/))
8	7	shintcl 9248	. 2 |- |^|A e. SH
9		visset 1810	. . . . . . . . . . 11 |- x e. V
10	9	chlim 9059	. . . . . . . . . 10 |- ((y e. CH /\ f:NN-->y /\ f ~~>v x) -> x e. y)
11	10	3exp 831	. . . . . . . . 9 |- (y e. CH -> (f:NN-->y -> (f ~~>v x -> x e. y)))
12	11	com3r 35	. . . . . . . 8 |- (f ~~>v x -> (y e. CH -> (f:NN-->y -> x e. y)))
13	3	sseli 2062	. . . . . . . 8 |- (y e. A -> y e. CH)
14	12, 13	syl5 21	. . . . . . 7 |- (f ~~>v x -> (y e. A -> (f:NN-->y -> x e. y)))
15	14	imp 350	. . . . . 6 |- ((f ~~>v x /\ y e. A) -> (f:NN-->y -> x e. y))
16	15	r19.20dva 1707	. . . . 5 |- (f ~~>v x -> (A.y e. A f:NN-->y -> A.y e. A x e. y))
17	6	fint 3645	. . . . 5 |- (f:NN-->|^|A <-> A.y e. A f:NN-->y)
18	9	elint2 2536	. . . . 5 |- (x e. |^|A <-> A.y e. A x e. y)
19	16, 17, 18	3imtr4g 552	. . . 4 |- (f ~~>v x -> (f:NN-->|^|A -> x e. |^|A))
20	19	impcom 351	. . 3 |- ((f:NN-->|^|A /\ f ~~>v x) -> x e. |^|A)
21	20	gen2 982	. 2 |- A.fA.x((f:NN-->|^|A /\ f ~~>v x) -> x e. |^|A)
22	1, 8, 21	mpbir2an 729	1 |- |^|A e. CH

Syntax hints:   -> wi 3   /\ wa 223  A.wal 953   e. wcel 957   =/= wne 1583  A.wral 1643   (_ wss 2044  (/)c0 2277  |^|cint 2529   class class class wbr 2615  -->wf 3174  NNcn 5279   ~~>v chli 8751  SHcsh 8752  CHcch 8753

This theorem is referenced by:  chintclt 9251  chincl 9338

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1209  ax-11o 1217  ax-ext 1458  ax-rep 2689  ax-sep 2699  ax-nul 2706  ax-pow 2738  ax-pr 2775  ax-un 2862  ax-inf2 4608  ax-hilex 8824  ax-hv0cl 8828

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1171  df-eu 1381  df-mo 1382  df-clab 1463  df-cleq 1468  df-clel 1471  df-ne 1585  df-ral 1647  df-rex 1648  df-reu 1649  df-rab 1650  df-v 1809  df-sbc 1939  df-csb 1999  df-dif 2046  df-un 2047  df-in 2048  df-ss 2050  df-pss 2052  df-nul 2278  df-if 2359  df-pw 2399  df-sn 2409  df-pr 2410  df-tp 2412  df-op 2413  df-uni 2500  df-int 2530  df-iun 2564  df-br 2616  df-opab 2663  df-tr 2677  df-eprel 2828  df-id 2831  df-po 2836  df-so 2846  df-fr 2913  df-we 2930  df-ord 2947  df-on 2948  df-lim 2949  df-suc 2950  df-om 3128  df-xp 3180  df-rel 3181  df-cnv 3182  df-co 3183  df-dm 3184  df-rn 3185  df-res 3186  df-ima 3187  df-fun 3188  df-fn 3189  df-f 3190  df-fv 3194  df-rdg 3927  df-opr 3960  df-oprab 3961  df-1st 4072  df-2nd 4073  df-1o 4126  df-oadd 4128  df-omul 4129  df-er 4254  df-ec 4256  df-qs 4259  df-ni 4983  df-pli 4984  df-mi 4985  df-lti 4986  df-plpq 5018  df-mpq 5019  df-enq 5020  df-nq 5021  df-plq 5022  df-mq 5023  df-rq 5024  df-ltq 5025  df-1q 5026  df-np 5069  df-1p 5070  df-plp 5071  df-mp 5072  df-ltp 5073  df-plpr 5147  df-mpr 5148  df-enr 5149  df-nr 5150  df-plr 5151  df-mr 5152  df-ltr 5153  df-0r 5154  df-1r 5155  df-m1r 5156  df-c 5223  df-0 5224  df-1 5225  df-i 5226  df-r 5227  df-plus 5228  df-mul 5229  df-sub 5339  df-neg 5341  df-n 5883  df-sh 9031  df-ch 9047

Copyright terms: Public domain