HSE Home Hilbert Space Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  HSE Home  >  Th. List  >  chintcl Unicode version

Theorem chintcl 22817
Description: The intersection (infimum) of a non-empty subset of  CH belongs to  CH. Part of Theorem 3.13 of [Beran] p. 108. Also part of Definition 3.4-1 in [MegPav2000] p. 2345 (PDF p. 8). (Contributed by NM, 14-Oct-1999.) (New usage is discouraged.)
Assertion
Ref Expression
chintcl  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )

Proof of Theorem chintcl
StepHypRef Expression
1 inteq 4040 . . 3  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  |^| A  =  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH ) )
21eleq1d 2496 . 2  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( |^| A  e.  CH  <->  |^| if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH ) )
3 sseq1 3356 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  C_  CH  <->  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
4 neeq1 2601 . . . . 5  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( A  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
53, 4anbi12d 692 . . . 4  |-  ( A  =  if ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
6 sseq1 3356 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  C_ 
CH 
<->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_  CH )
)
7 neeq1 2601 . . . . 5  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( CH  =/=  (/)  <->  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) )
86, 7anbi12d 692 . . . 4  |-  ( CH  =  if ( ( A 
C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  ->  ( ( CH  C_  CH  /\  CH  =/=  (/) )  <->  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) ) ) )
9 ssid 3354 . . . . 5  |-  CH  C_  CH
10 h0elch 22740 . . . . . 6  |-  0H  e.  CH
11 ne0i 3621 . . . . . 6  |-  ( 0H  e.  CH  ->  CH  =/=  (/) )
1210, 11ax-mp 8 . . . . 5  |-  CH  =/=  (/)
139, 12pm3.2i 442 . . . 4  |-  ( CH  C_ 
CH  /\  CH  =/=  (/) )
145, 8, 13elimhyp 3774 . . 3  |-  ( if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  C_ 
CH  /\  if (
( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  =/=  (/) )
1514chintcli 22816 . 2  |-  |^| if ( ( A  C_  CH 
/\  A  =/=  (/) ) ,  A ,  CH )  e.  CH
162, 15dedth 3767 1  |-  ( ( A  C_  CH  /\  A  =/=  (/) )  ->  |^| A  e.  CH )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2593    C_ wss 3307   (/)c0 3615   ifcif 3726   |^|cint 4037   CHcch 22415   0Hc0h 22421
This theorem is referenced by:  ococin  22893
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2411  ax-rep 4307  ax-sep 4317  ax-nul 4325  ax-pow 4364  ax-pr 4390  ax-un 4687  ax-cnex 9030  ax-resscn 9031  ax-1cn 9032  ax-icn 9033  ax-addcl 9034  ax-addrcl 9035  ax-mulcl 9036  ax-mulrcl 9037  ax-mulcom 9038  ax-addass 9039  ax-mulass 9040  ax-distr 9041  ax-i2m1 9042  ax-1ne0 9043  ax-1rid 9044  ax-rnegex 9045  ax-rrecex 9046  ax-cnre 9047  ax-pre-lttri 9048  ax-pre-lttrn 9049  ax-pre-ltadd 9050  ax-pre-mulgt0 9051  ax-pre-sup 9052  ax-addf 9053  ax-mulf 9054  ax-hilex 22485  ax-hfvadd 22486  ax-hvcom 22487  ax-hvass 22488  ax-hv0cl 22489  ax-hvaddid 22490  ax-hfvmul 22491  ax-hvmulid 22492  ax-hvmulass 22493  ax-hvdistr1 22494  ax-hvdistr2 22495  ax-hvmul0 22496  ax-hfi 22564  ax-his1 22567  ax-his2 22568  ax-his3 22569  ax-his4 22570
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2417  df-cleq 2423  df-clel 2426  df-nfc 2555  df-ne 2595  df-nel 2596  df-ral 2697  df-rex 2698  df-reu 2699  df-rmo 2700  df-rab 2701  df-v 2945  df-sbc 3149  df-csb 3239  df-dif 3310  df-un 3312  df-in 3314  df-ss 3321  df-pss 3323  df-nul 3616  df-if 3727  df-pw 3788  df-sn 3807  df-pr 3808  df-tp 3809  df-op 3810  df-uni 4003  df-int 4038  df-iun 4082  df-br 4200  df-opab 4254  df-mpt 4255  df-tr 4290  df-eprel 4481  df-id 4485  df-po 4490  df-so 4491  df-fr 4528  df-we 4530  df-ord 4571  df-on 4572  df-lim 4573  df-suc 4574  df-om 4832  df-xp 4870  df-rel 4871  df-cnv 4872  df-co 4873  df-dm 4874  df-rn 4875  df-res 4876  df-ima 4877  df-iota 5404  df-fun 5442  df-fn 5443  df-f 5444  df-f1 5445  df-fo 5446  df-f1o 5447  df-fv 5448  df-ov 6070  df-oprab 6071  df-mpt2 6072  df-1st 6335  df-2nd 6336  df-riota 6535  df-recs 6619  df-rdg 6654  df-er 6891  df-map 7006  df-pm 7007  df-en 7096  df-dom 7097  df-sdom 7098  df-sup 7432  df-pnf 9106  df-mnf 9107  df-xr 9108  df-ltxr 9109  df-le 9110  df-sub 9277  df-neg 9278  df-div 9662  df-nn 9985  df-2 10042  df-3 10043  df-4 10044  df-n0 10206  df-z 10267  df-uz 10473  df-q 10559  df-rp 10597  df-xneg 10694  df-xadd 10695  df-xmul 10696  df-icc 10907  df-seq 11307  df-exp 11366  df-cj 11887  df-re 11888  df-im 11889  df-sqr 12023  df-abs 12024  df-topgen 13650  df-psmet 16677  df-xmet 16678  df-met 16679  df-bl 16680  df-mopn 16681  df-top 16946  df-bases 16948  df-topon 16949  df-lm 17276  df-haus 17362  df-grpo 21762  df-gid 21763  df-ginv 21764  df-gdiv 21765  df-ablo 21853  df-vc 22008  df-nv 22054  df-va 22057  df-ba 22058  df-sm 22059  df-0v 22060  df-vs 22061  df-nmcv 22062  df-ims 22063  df-hnorm 22454  df-hvsub 22457  df-hlim 22458  df-sh 22692  df-ch 22707  df-ch0 22738
  Copyright terms: Public domain W3C validator