Theorem chlejb1 9395

Description: Hilbert lattice ordering in terms of join.

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	|- A e. CH
chjcl.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
chlejb1	|- (A (_ B <-> (A vH B) = B)

Proof of Theorem chlejb1

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ssid 2080	. . . . 5 |- B (_ B
2		ch0le.1	. . . . . 6 |- A e. CH
3		chjcl.2	. . . . . 6 |- B e. CH
4	2, 3, 3	chlubi 9391	. . . . 5 |- ((A (_ B /\ B (_ B) -> (A vH B) (_ B)
5	1, 4	mpan2 696	. . . 4 |- (A (_ B -> (A vH B) (_ B)
6	3, 2	chub2 9389	. . . 4 |- B (_ (A vH B)
7	5, 6	jctir 293	. . 3 |- (A (_ B -> ((A vH B) (_ B /\ B (_ (A vH B)))
8		eqss 2077	. . 3 |- ((A vH B) = B <-> ((A vH B) (_ B /\ B (_ (A vH B)))
9	7, 8	sylibr 200	. 2 |- (A (_ B -> (A vH B) = B)
10	2, 3	chub1 9388	. . 3 |- A (_ (A vH B)
11		sstr2 2071	. . . 4 |- (A (_ (A vH B) -> ((A vH B) (_ B -> A (_ B))
12		eqimss 2109	. . . 4 |- ((A vH B) = B -> (A vH B) (_ B)
13	11, 12	syl5 21	. . 3 |- (A (_ (A vH B) -> ((A vH B) = B -> A (_ B))
14	10, 13	ax-mp 7	. 2 |- ((A vH B) = B -> A (_ B)
15	9, 14	impbi 157	1 |- (A (_ B <-> (A vH B) = B)

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   (_ wss 2047  (class class class)co 3963  CHcch 8794   vH chj 8798

This theorem is referenced by:  chnle 9404  chlejb1t 9431  mdexch 10258

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-inf2 4622  ax-ac 4741  ax-hilex 8865  ax-hfvadd 8866  ax-hvcom 8867  ax-hvass 8868  ax-hv0cl 8869  ax-hvaddid 8870  ax-hfvmul 8871  ax-hvmulid 8872  ax-hvmulass 8873  ax-hvdistr1 8874  ax-hvdistr2 8875  ax-hvmul0 8876  ax-hfi 8942  ax-his1 8945  ax-his2 8946  ax-his3 8947  ax-his4 8948  ax-hcompl 9067

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4571  df-ni 4997  df-pli 4998  df-mi 4999  df-lti 5000  df-plpq 5032  df-mpq 5033  df-enq 5034  df-nq 5035  df-plq 5036  df-mq 5037  df-rq 5038  df-ltq 5039  df-1q 5040  df-np 5083  df-1p 5084  df-plp 5085  df-mp 5086  df-ltp 5087  df-plpr 5161  df-mpr 5162  df-enr 5163  df-nr 5164  df-plr 5165  df-mr 5166  df-ltr 5167  df-0r 5168  df-1r 5169  df-m1r 5170  df-c 5237  df-0 5238  df-1 5239  df-i 5240  df-r 5241  df-plus 5242  df-mul 5243  df-lt 5244  df-sub 5353  df-neg 5355  df-pnf 5484  df-mnf 5485  df-xr 5486  df-ltxr 5487  df-le 5488  df-div 5700  df-n 5922  df-2 5967  df-3 5968  df-4 5969  df-n0 6097  df-z 6133  df-seq1 6305  df-uz 6415  df-exp 6566  df-sqr 6667  df-re 6748  df-im 6749  df-cj 6750  df-abs 6751  df-clim 6971  df-hnorm 8833  df-hvsub 8836  df-hlim 8837  df-hcau 8838  df-sh 9072  df-ch 9088  df-oc 9120  df-ch0 9121  df-shsum 9269  df-chj 9271

Copyright terms: Public domain