MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Unicode version

Theorem chordthmlem2 20635
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 20634, where P = B, and using angrtmuld 20611 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
chordthmlem2.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
chordthmlem2.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
chordthmlem2.Q  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
chordthmlem2.X  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
chordthmlem2.M  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
chordthmlem2.P  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
chordthmlem2.ABequidistQ  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
chordthmlem2.PneM  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
chordthmlem2.QneM  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Distinct variable groups:    x, y, Q    x, P, y    x, M, y    x, B, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
2 chordthmlem2.A . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 chordthmlem2.B . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 chordthmlem2.Q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
5 chordthmlem2.M . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
7 2re 10033 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
87a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
9 2ne0 10047 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
109a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
118, 10rereccld 9805 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1311, 12resubcld 9429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  RR )
1413recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  CC )
153, 2subcld 9375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
1611recnd 9078 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
1712recnd 9078 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1816, 17, 15subdird 9454 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
19 2cn 10034 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
2019a1i 11 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
213, 20, 10divcan4d 9760 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  B )
223times2d 10175 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  2 )  =  ( B  +  B ) )
2322oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2421, 23eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2524, 5oveq12d 6066 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
263, 3addcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  +  B
)  e.  CC )
272, 3addcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2826, 27, 20, 10divsubdird 9793 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
293, 2, 3pnpcan2d 9413 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B )
)  =  ( B  -  A ) )
3029oveq1d 6063 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3125, 28, 303eqtr2d 2450 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3215, 20, 10divrec2d 9758 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
3331, 32eqtrd 2444 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
34 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
3517, 2mulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  A
)  e.  CC )
36 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
3736a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3837, 17subcld 9375 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
3938, 3mulcld 9072 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  B
)  e.  CC )
4035, 39addcld 9071 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X
)  x.  B ) )  e.  CC )
4134, 40eqeltrd 2486 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
422, 41, 3, 17affineequiv 20628 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  =  ( ( X  x.  A
)  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) )  <-> 
( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) ) )
4334, 42mpbid 202 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) )
4433, 43oveq12d 6066 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
4527halfcld 10176 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
465, 45eqeltrd 2486 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
473, 46, 41nnncan1d 9409 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( P  -  M ) )
4818, 44, 473eqtr2rd 2451 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) )
49 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
5041, 46, 49subne0d 9384 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =/=  0 )
5148, 50eqnetrrd 2595 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
5214, 15, 51mulne0bbd 9640 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =/=  0 )
533, 2, 52subne0ad 9386 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
5453necomd 2658 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
55 chordthmlem2.QneM . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
561, 2, 3, 4, 5, 6, 54, 55chordthmlem 20634 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
574, 46subcld 9375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  e.  CC )
5841, 46subcld 9375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  e.  CC )
593, 46subcld 9375 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  e.  CC )
604, 46, 55subne0d 9384 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  =/=  0 )
6120, 10recne0d 9748 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
6216, 15, 61, 52mulne0d 9638 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
6333, 62eqnetrd 2593 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =/=  0 )
6433, 48oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  /  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A
) ) ) )
6514, 15, 51mulne0bad 9639 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  =/=  0 )
6616, 14, 15, 65, 52divcan5rd 9781 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A
) )  /  (
( ( 1  / 
2 )  -  X
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6764, 66eqtrd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6811, 13, 65redivcld 9806 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  /  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  e.  RR )
6967, 68eqeltrd 2486 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  e.  RR )
701, 57, 58, 59, 60, 50, 63, 69angrtmuld 20611 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) } ) )
7156, 70mpbird 224 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575    \ cdif 3285   {csn 3782   {cpr 3783   ` cfv 5421  (class class class)co 6048    e. cmpt2 6050   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    - cmin 9255   -ucneg 9256    / cdiv 9641   2c2 10013   Imcim 11866   abscabs 12002   picpi 12632   logclog 20413
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  20636
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415
  Copyright terms: Public domain W3C validator