MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem2 Unicode version

Theorem chordthmlem2 19874
Description: If M is the midpoint of AB, AQ = BQ, and P is on the line AB, then QMP is a right angle. This is proven by reduction to the special case chordthmlem 19873, where P = B, and using angrtmuld 19850 to observe that QMP is right iff QMB is. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem2.angdef  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
chordthmlem2.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
chordthmlem2.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
chordthmlem2.Q  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
chordthmlem2.X  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
chordthmlem2.M  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
chordthmlem2.P  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
chordthmlem2.ABequidistQ  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
chordthmlem2.PneM  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
chordthmlem2.QneM  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
Assertion
Ref Expression
chordthmlem2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Distinct variable groups:    x, y, Q    x, P, y    x, M, y    x, B, y   
x, A, y
Allowed substitution hints:    ph( x, y)    F( x, y)    X( x, y)

Proof of Theorem chordthmlem2
StepHypRef Expression
1 chordthmlem2.angdef . . 3  |-  F  =  ( x  e.  ( CC  \  { 0 } ) ,  y  e.  ( CC  \  { 0 } ) 
|->  ( Im `  ( log `  ( y  /  x ) ) ) )
2 chordthmlem2.A . . 3  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 chordthmlem2.B . . 3  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
4 chordthmlem2.Q . . 3  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
5 chordthmlem2.M . . 3  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
6 chordthmlem2.ABequidistQ . . 3  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
7 2re 9695 . . . . . . . . . 10  |-  2  e.  RR
87a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  e.  RR )
9 2ne0 9709 . . . . . . . . . 10  |-  2  =/=  0
109a1i 12 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
118, 10rereccld 9467 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
12 chordthmlem2.X . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1311, 12resubcld 9091 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  RR )
1413recnd 8741 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  CC )
153, 2subcld 9037 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
1611recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
1712recnd 8741 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1816, 17, 15subdird 9116 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
19 2cn 9696 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  CC
2019a1i 12 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
213, 20, 10divcan4d 9422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  B )
223times2d 9834 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( B  x.  2 )  =  ( B  +  B ) )
2322oveq1d 5725 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2421, 23eqtr3d 2287 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
2524, 5oveq12d 5728 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
263, 3addcld 8734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( B  +  B
)  e.  CC )
272, 3addcld 8734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
2826, 27, 20, 10divsubdird 9455 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
293, 2, 3pnpcan2d 9075 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B )
)  =  ( B  -  A ) )
3029oveq1d 5725 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3125, 28, 303eqtr2d 2291 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
3215, 20, 10divrec2d 9420 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
3331, 32eqtrd 2285 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
34 chordthmlem2.P . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
3517, 2mulcld 8735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( X  x.  A
)  e.  CC )
36 ax-1cn 8675 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  1  e.  CC
3736a1i 12 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
3837, 17subcld 9037 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
3938, 3mulcld 8735 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  B
)  e.  CC )
4035, 39addcld 8734 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X
)  x.  B ) )  e.  CC )
4134, 40eqeltrd 2327 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
422, 41, 3, 17affineequiv 19867 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( P  =  ( ( X  x.  A
)  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) )  <-> 
( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) ) )
4334, 42mpbid 203 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) )
4433, 43oveq12d 5728 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
4527halfcld 9835 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
465, 45eqeltrd 2327 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
473, 46, 41nnncan1d 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( P  -  M ) )
4818, 44, 473eqtr2rd 2292 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) )
49 chordthmlem2.PneM . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =/=  M )
5041, 46, 49subne0d 9046 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =/=  0 )
5148, 50eqnetrrd 2432 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
5214, 15, 51mulne0bbd 9302 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  =/=  0 )
533, 2, 52subne0ad 9048 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =/=  A )
5453necomd 2495 . . 3  |-  ( ph  ->  A  =/=  B )
55 chordthmlem2.QneM . . 3  |-  ( ph  ->  Q  =/=  M )
561, 2, 3, 4, 5, 6, 54, 55chordthmlem 19873 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
574, 46subcld 9037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  e.  CC )
5841, 46subcld 9037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  e.  CC )
593, 46subcld 9037 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  e.  CC )
604, 46, 55subne0d 9046 . . 3  |-  ( ph  ->  ( Q  -  M
)  =/=  0 )
6120, 10recne0d 9410 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  =/=  0 )
6216, 15, 61, 52mulne0d 9300 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( B  -  A )
)  =/=  0 )
6333, 62eqnetrd 2430 . . 3  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =/=  0 )
6433, 48oveq12d 5728 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  /  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A
) ) ) )
6514, 15, 51mulne0bad 9301 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  =/=  0 )
6616, 14, 15, 65, 52divcan5rd 9443 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A
) )  /  (
( ( 1  / 
2 )  -  X
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6764, 66eqtrd 2285 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  =  ( ( 1  /  2 )  /  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
6811, 13, 65redivcld 9468 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  /  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  e.  RR )
6967, 68eqeltrd 2327 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  /  ( P  -  M )
)  e.  RR )
701, 57, 58, 59, 60, 50, 63, 69angrtmuld 19850 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) }  <->  ( ( Q  -  M ) F ( B  -  M
) )  e.  {
( pi  /  2
) ,  -u (
pi  /  2 ) } ) )
7156, 70mpbird 225 1  |-  ( ph  ->  ( ( Q  -  M ) F ( P  -  M ) )  e.  { ( pi  /  2 ) ,  -u ( pi  / 
2 ) } )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 6    = wceq 1619    e. wcel 1621    =/= wne 2412    \ cdif 3075   {csn 3544   {cpr 3545   ` cfv 4592  (class class class)co 5710    e. cmpt2 5712   CCcc 8615   RRcr 8616   0cc0 8617   1c1 8618    + caddc 8620    x. cmul 8622    - cmin 8917   -ucneg 8918    / cdiv 9303   2c2 9675   Imcim 11460   abscabs 11596   picpi 12222   logclog 19744
This theorem is referenced by:  chordthmlem3  19875
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-5 1533  ax-6 1534  ax-7 1535  ax-gen 1536  ax-8 1623  ax-11 1624  ax-13 1625  ax-14 1626  ax-17 1628  ax-12o 1664  ax-10 1678  ax-9 1684  ax-4 1692  ax-16 1926  ax-ext 2234  ax-rep 4028  ax-sep 4038  ax-nul 4046  ax-pow 4082  ax-pr 4108  ax-un 4403  ax-inf2 7226  ax-cnex 8673  ax-resscn 8674  ax-1cn 8675  ax-icn 8676  ax-addcl 8677  ax-addrcl 8678  ax-mulcl 8679  ax-mulrcl 8680  ax-mulcom 8681  ax-addass 8682  ax-mulass 8683  ax-distr 8684  ax-i2m1 8685  ax-1ne0 8686  ax-1rid 8687  ax-rnegex 8688  ax-rrecex 8689  ax-cnre 8690  ax-pre-lttri 8691  ax-pre-lttrn 8692  ax-pre-ltadd 8693  ax-pre-mulgt0 8694  ax-pre-sup 8695  ax-addf 8696  ax-mulf 8697
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 940  df-3an 941  df-tru 1315  df-ex 1538  df-nf 1540  df-sb 1883  df-eu 2118  df-mo 2119  df-clab 2240  df-cleq 2246  df-clel 2249  df-nfc 2374  df-ne 2414  df-nel 2415  df-ral 2513  df-rex 2514  df-reu 2515  df-rab 2516  df-v 2729  df-sbc 2922  df-csb 3010  df-dif 3081  df-un 3083  df-in 3085  df-ss 3089  df-pss 3091  df-nul 3363  df-if 3471  df-pw 3532  df-sn 3550  df-pr 3551  df-tp 3552  df-op 3553  df-uni 3728  df-int 3761  df-iun 3805  df-iin 3806  df-br 3921  df-opab 3975  df-mpt 3976  df-tr 4011  df-eprel 4198  df-id 4202  df-po 4207  df-so 4208  df-fr 4245  df-se 4246  df-we 4247  df-ord 4288  df-on 4289  df-lim 4290  df-suc 4291  df-om 4548  df-xp 4594  df-rel 4595  df-cnv 4596  df-co 4597  df-dm 4598  df-rn 4599  df-res 4600  df-ima 4601  df-fun 4602  df-fn 4603  df-f 4604  df-f1 4605  df-fo 4606  df-f1o 4607  df-fv 4608  df-isom 4609  df-ov 5713  df-oprab 5714  df-mpt2 5715  df-of 5930  df-1st 5974  df-2nd 5975  df-iota 6143  df-riota 6190  df-recs 6274  df-rdg 6309  df-1o 6365  df-2o 6366  df-oadd 6369  df-er 6546  df-map 6660  df-pm 6661  df-ixp 6704  df-en 6750  df-dom 6751  df-sdom 6752  df-fin 6753  df-fi 7049  df-sup 7078  df-oi 7109  df-card 7456  df-cda 7678  df-pnf 8749  df-mnf 8750  df-xr 8751  df-ltxr 8752  df-le 8753  df-sub 8919  df-neg 8920  df-div 9304  df-n 9627  df-2 9684  df-3 9685  df-4 9686  df-5 9687  df-6 9688  df-7 9689  df-8 9690  df-9 9691  df-10 9692  df-n0 9845  df-z 9904  df-dec 10004  df-uz 10110  df-q 10196  df-rp 10234  df-xneg 10331  df-xadd 10332  df-xmul 10333  df-ioo 10538  df-ioc 10539  df-ico 10540  df-icc 10541  df-fz 10661  df-fzo 10749  df-fl 10803  df-mod 10852  df-seq 10925  df-exp 10983  df-fac 11167  df-bc 11194  df-hash 11216  df-shft 11439  df-cj 11461  df-re 11462  df-im 11463  df-sqr 11597  df-abs 11598  df-limsup 11822  df-clim 11839  df-rlim 11840  df-sum 12036  df-ef 12223  df-sin 12225  df-cos 12226  df-pi 12228  df-struct 13024  df-ndx 13025  df-slot 13026  df-base 13027  df-sets 13028  df-ress 13029  df-plusg 13095  df-mulr 13096  df-starv 13097  df-sca 13098  df-vsca 13099  df-tset 13101  df-ple 13102  df-ds 13104  df-hom 13106  df-cco 13107  df-rest 13201  df-topn 13202  df-topgen 13218  df-pt 13219  df-prds 13222  df-xrs 13277  df-0g 13278  df-gsum 13279  df-qtop 13284  df-imas 13285  df-xps 13287  df-mre 13361  df-mrc 13362  df-acs 13363  df-mnd 14202  df-submnd 14251  df-mulg 14327  df-cntz 14628  df-cmn 14926  df-xmet 16205  df-met 16206  df-bl 16207  df-mopn 16208  df-cnfld 16210  df-top 16468  df-bases 16470  df-topon 16471  df-topsp 16472  df-cld 16588  df-ntr 16589  df-cls 16590  df-nei 16667  df-lp 16700  df-perf 16701  df-cn 16789  df-cnp 16790  df-haus 16875  df-tx 17089  df-hmeo 17278  df-fbas 17352  df-fg 17353  df-fil 17373  df-fm 17465  df-flim 17466  df-flf 17467  df-xms 17717  df-ms 17718  df-tms 17719  df-cncf 18214  df-limc 19048  df-dv 19049  df-log 19746
  Copyright terms: Public domain W3C validator