Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem4 Unicode version

Theorem chordthmlem4 20637
 Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA PB = BM 2 PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity 2 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A
chordthmlem4.B
chordthmlem4.X
chordthmlem4.M
chordthmlem4.P
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1re 9054 . . . . . . . . 9
21a1i 11 . . . . . . . 8
3 unitssre 11006 . . . . . . . . 9
4 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9
53, 4sseldi 3314 . . . . . . . 8
62, 5resubcld 9429 . . . . . . 7
76recnd 9078 . . . . . 6
87abscld 12201 . . . . 5
98recnd 9078 . . . 4
10 chordthmlem4.B . . . . . . 7
11 chordthmlem4.A . . . . . . 7
1210, 11subcld 9375 . . . . . 6
1312abscld 12201 . . . . 5
1413recnd 9078 . . . 4
155recnd 9078 . . . . . 6
1615abscld 12201 . . . . 5
1716recnd 9078 . . . 4
189, 14, 17, 14mul4d 9242 . . 3
19 chordthmlem4.P . . . . . . 7
2015, 11mulcld 9072 . . . . . . . . . 10
217, 10mulcld 9072 . . . . . . . . . 10
2220, 21addcld 9071 . . . . . . . . 9
2319, 22eqeltrd 2486 . . . . . . . 8
2411, 23, 10, 15affineequiv2 20629 . . . . . . 7
2519, 24mpbid 202 . . . . . 6
2625fveq2d 5699 . . . . 5
277, 12absmuld 12219 . . . . 5
2826, 27eqtrd 2444 . . . 4
2923, 10abssubd 12218 . . . . 5
3011, 23, 10, 15affineequiv 20628 . . . . . . 7
3119, 30mpbid 202 . . . . . 6
3231fveq2d 5699 . . . . 5
3315, 12absmuld 12219 . . . . 5
3429, 32, 333eqtrd 2448 . . . 4
3528, 34oveq12d 6066 . . 3
3614sqvald 11483 . . . 4
3736oveq2d 6064 . . 3
3818, 35, 373eqtr4d 2454 . 2
392recnd 9078 . . . . . 6
4039halfcld 10176 . . . . 5
4140sqcld 11484 . . . 4
422rehalfcld 10178 . . . . . . . . 9
4342, 5resubcld 9429 . . . . . . . 8
4443recnd 9078 . . . . . . 7
4544abscld 12201 . . . . . 6
4645recnd 9078 . . . . 5
4746sqcld 11484 . . . 4
4814sqcld 11484 . . . 4
4941, 47, 48subdird 9454 . . 3
50 subsq 11451 . . . . . . 7
5140, 44, 50syl2anc 643 . . . . . 6
5240, 40, 15addsubassd 9395 . . . . . . . 8
53392halvesd 10177 . . . . . . . . 9
5453oveq1d 6063 . . . . . . . 8
5552, 54eqtr3d 2446 . . . . . . 7
5640, 15nncand 9380 . . . . . . 7
5755, 56oveq12d 6066 . . . . . 6
5851, 57eqtr2d 2445 . . . . 5
59 0re 9055 . . . . . . . . . 10
6059, 1elicc2i 10940 . . . . . . . . 9
614, 60sylib 189 . . . . . . . 8
6261simp3d 971 . . . . . . 7
635, 2, 62abssubge0d 12197 . . . . . 6
6461simp2d 970 . . . . . . 7
655, 64absidd 12188 . . . . . 6
6663, 65oveq12d 6066 . . . . 5
67 absresq 12070 . . . . . . 7
6843, 67syl 16 . . . . . 6
6968oveq2d 6064 . . . . 5
7058, 66, 693eqtr4d 2454 . . . 4
7170oveq1d 6063 . . 3
72 2cn 10034 . . . . . . . . . . . . . 14
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
74 2ne0 10047 . . . . . . . . . . . . . 14
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13
7610, 73, 75divcan4d 9760 . . . . . . . . . . . 12
7710times2d 10175 . . . . . . . . . . . . 13
7877oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . 12
7976, 78eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . 11
80 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11
8179, 80oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10
8210, 10addcld 9071 . . . . . . . . . . 11
8311, 10addcld 9071 . . . . . . . . . . 11
8482, 83, 73, 75divsubdird 9793 . . . . . . . . . 10
8510, 11, 10pnpcan2d 9413 . . . . . . . . . . 11
8685oveq1d 6063 . . . . . . . . . 10
8781, 84, 863eqtr2d 2450 . . . . . . . . 9
8812, 73, 75divrec2d 9758 . . . . . . . . 9
8987, 88eqtrd 2444 . . . . . . . 8
9089fveq2d 5699 . . . . . . 7
9140, 12absmuld 12219 . . . . . . 7
9259a1i 11 . . . . . . . . . 10
93 halfgt0 10152 . . . . . . . . . . 11
9493a1i 11 . . . . . . . . . 10
9592, 42, 94ltled 9185 . . . . . . . . 9
9642, 95absidd 12188 . . . . . . . 8
9796oveq1d 6063 . . . . . . 7
9890, 91, 973eqtrd 2448 . . . . . 6
9998oveq1d 6063 . . . . 5
10040, 14sqmuld 11498 . . . . 5
10199, 100eqtrd 2444 . . . 4
10240, 15, 12subdird 9454 . . . . . . . . 9
10389, 31oveq12d 6066 . . . . . . . . 9
10483halfcld 10176 . . . . . . . . . . 11
10580, 104eqeltrd 2486 . . . . . . . . . 10
10610, 105, 23nnncan1d 9409 . . . . . . . . 9
107102, 103, 1063eqtr2rd 2451 . . . . . . . 8
108107fveq2d 5699 . . . . . . 7
10944, 12absmuld 12219 . . . . . . 7
110108, 109eqtrd 2444 . . . . . 6
111110oveq1d 6063 . . . . 5
11246, 14sqmuld 11498 . . . . 5
113111, 112eqtrd 2444 . . . 4
114101, 113oveq12d 6066 . . 3
11549, 71, 1143eqtr4rd 2455 . 2
11638, 115eqtr4d 2447 1
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   w3a 936   wceq 1649   wcel 1721   wne 2575   class class class wbr 4180  cfv 5421  (class class class)co 6048  cc 8952  cr 8953  cc0 8954  c1 8955   caddc 8957   cmul 8959   clt 9084   cle 9085   cmin 9255   cdiv 9641  c2 10013  cicc 10883  cexp 11345  cabs 12002 This theorem is referenced by:  chordthmlem5  20638 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-icc 10887  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004
 Copyright terms: Public domain W3C validator