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Theorem chordthmlem4 20637
Description: If P is on the segment AB and M is the midpoint of AB, then PA  x. PB = BM 2  - PM 2 . If all lengths are reexpressed as fractions of AB, this reduces to the identity  X  x.  (
1  -  X )  =  ( 1  / 
2 ) 2  -  ( ( 1  /  2 )  -  X ) 2 . (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem4.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
chordthmlem4.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
chordthmlem4.X  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
chordthmlem4.M  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
chordthmlem4.P  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
Assertion
Ref Expression
chordthmlem4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  M
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  M ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem chordthmlem4
StepHypRef Expression
1 1re 9054 . . . . . . . . 9  |-  1  e.  RR
21a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  1  e.  RR )
3 unitssre 11006 . . . . . . . . 9  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
4 chordthmlem4.X . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
53, 4sseldi 3314 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
62, 5resubcld 9429 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  RR )
76recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
87abscld 12201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  RR )
98recnd 9078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  e.  CC )
10 chordthmlem4.B . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
11 chordthmlem4.A . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
1210, 11subcld 9375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  A
)  e.  CC )
1312abscld 12201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  A )
)  e.  RR )
1413recnd 9078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  A )
)  e.  CC )
155recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1615abscld 12201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  RR )
1716recnd 9078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  e.  CC )
189, 14, 17, 14mul4d 9242 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) )  x.  ( ( abs `  X )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) )  =  ( ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  x.  ( abs `  ( B  -  A
) ) ) ) )
19 chordthmlem4.P . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
2015, 11mulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( X  x.  A
)  e.  CC )
217, 10mulcld 9072 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  B
)  e.  CC )
2220, 21addcld 9071 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X
)  x.  B ) )  e.  CC )
2319, 22eqeltrd 2486 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
2411, 23, 10, 15affineequiv2 20629 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  =  ( ( X  x.  A
)  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) )  <-> 
( P  -  A
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) ) )
2519, 24mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  A
)  =  ( ( 1  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) )
2625fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  A )
)  =  ( abs `  ( ( 1  -  X )  x.  ( B  -  A )
) ) )
277, 12absmuld 12219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  -  X
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  ( 1  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
2826, 27eqtrd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  A )
)  =  ( ( abs `  ( 1  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
2923, 10abssubd 12218 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  B )
)  =  ( abs `  ( B  -  P
) ) )
3011, 23, 10, 15affineequiv 20628 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( P  =  ( ( X  x.  A
)  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) )  <-> 
( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) ) )
3119, 30mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  P
)  =  ( X  x.  ( B  -  A ) ) )
3231fveq2d 5699 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  P )
)  =  ( abs `  ( X  x.  ( B  -  A )
) ) )
3315, 12absmuld 12219 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( X  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  X )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) )
3429, 32, 333eqtrd 2448 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  B )
)  =  ( ( abs `  X )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
3528, 34oveq12d 6066 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) )  x.  ( ( abs `  X )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) ) )
3614sqvald 11483 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 )  =  ( ( abs `  ( B  -  A
) )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) )
3736oveq2d 6064 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A )
)  x.  ( abs `  ( B  -  A
) ) ) ) )
3818, 35, 373eqtr4d 2454 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) )
392recnd 9078 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
4039halfcld 10176 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  CC )
4140sqcld 11484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 ) ^ 2 )  e.  CC )
422rehalfcld 10178 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( 1  /  2
)  e.  RR )
4342, 5resubcld 9429 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  RR )
4443recnd 9078 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  CC )
4544abscld 12201 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  e.  RR )
4645recnd 9078 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  e.  CC )
4746sqcld 11484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  e.  CC )
4814sqcld 11484 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 )  e.  CC )
4941, 47, 48subdird 9454 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) ) )
50 subsq 11451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  CC  /\  ( ( 1  / 
2 )  -  X
)  e.  CC )  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  -  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  / 
2 )  +  ( ( 1  /  2
)  -  X ) )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) ) )
5140, 44, 50syl2anc 643 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
2 )  -  (
( ( 1  / 
2 )  -  X
) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
)  +  ( ( 1  /  2 )  -  X ) )  x.  ( ( 1  /  2 )  -  ( ( 1  / 
2 )  -  X
) ) ) )
5240, 40, 15addsubassd 9395 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) )  -  X
)  =  ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )
53392halvesd 10177 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( 1  /  2 ) )  =  1 )
5453oveq1d 6063 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( 1  /  2
) )  -  X
)  =  ( 1  -  X ) )
5552, 54eqtr3d 2446 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  +  ( ( 1  /  2
)  -  X ) )  =  ( 1  -  X ) )
5640, 15nncand 9380 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  / 
2 )  -  (
( 1  /  2
)  -  X ) )  =  X )
5755, 56oveq12d 6066 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  +  ( ( 1  / 
2 )  -  X
) )  x.  (
( 1  /  2
)  -  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) )  =  ( ( 1  -  X )  x.  X ) )
5851, 57eqtr2d 2445 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  X
)  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^
2 ) ) )
59 0re 9055 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
6059, 1elicc2i 10940 . . . . . . . . 9  |-  ( X  e.  ( 0 [,] 1 )  <->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1
) )
614, 60sylib 189 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( X  e.  RR  /\  0  <_  X  /\  X  <_  1 ) )
6261simp3d 971 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  X  <_  1 )
635, 2, 62abssubge0d 12197 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  -  X ) )  =  ( 1  -  X ) )
6461simp2d 970 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  0  <_  X )
655, 64absidd 12188 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  X
)  =  X )
6663, 65oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  X ) )  =  ( ( 1  -  X )  x.  X
) )
67 absresq 12070 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 1  /  2
)  -  X )  e.  RR  ->  (
( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^
2 ) )
6843, 67syl 16 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^
2 ) )
6968oveq2d 6064 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 ) ^
2 )  -  (
( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  -  ( ( ( 1  /  2 )  -  X ) ^
2 ) ) )
7058, 66, 693eqtr4d 2454 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  -  X ) )  x.  ( abs `  X ) )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^
2 )  -  (
( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 ) ) )
7170oveq1d 6063 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( 1  -  X
) )  x.  ( abs `  X ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2 ) ^
2 )  -  (
( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 ) )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) ) )
72 2cn 10034 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  e.  CC
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  e.  CC )
74 2ne0 10047 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  2  =/=  0
7574a1i 11 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  2  =/=  0 )
7610, 73, 75divcan4d 9760 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  B )
7710times2d 10175 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ph  ->  ( B  x.  2 )  =  ( B  +  B ) )
7877oveq1d 6063 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  ( ( B  x.  2 )  /  2
)  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
7976, 78eqtr3d 2446 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( B  +  B )  /  2 ) )
80 chordthmlem4.M . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  M  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
8179, 80oveq12d 6066 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
8210, 10addcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( B  +  B
)  e.  CC )
8311, 10addcld 9071 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
8482, 83, 73, 75divsubdird 9793 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( ( B  +  B
)  /  2 )  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) )
8510, 11, 10pnpcan2d 9413 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B )
)  =  ( B  -  A ) )
8685oveq1d 6063 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( ( ( B  +  B )  -  ( A  +  B
) )  /  2
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
8781, 84, 863eqtr2d 2450 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( B  -  A )  /  2 ) )
8812, 73, 75divrec2d 9758 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  A )  /  2
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
8987, 88eqtrd 2444 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( B  -  M
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( B  -  A ) ) )
9089fveq2d 5699 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  M )
)  =  ( abs `  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( B  -  A )
) ) )
9140, 12absmuld 12219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  ( 1  /  2 ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
9259a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
93 halfgt0 10152 . . . . . . . . . . 11  |-  0  <  ( 1  /  2
)
9493a1i 11 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  0  <  ( 1  /  2 ) )
9592, 42, 94ltled 9185 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  0  <_  ( 1  /  2 ) )
9642, 95absidd 12188 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
1  /  2 ) )  =  ( 1  /  2 ) )
9796oveq1d 6063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  (
1  /  2 ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A
) ) )  =  ( ( 1  / 
2 )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) )
9890, 91, 973eqtrd 2448 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  M )
)  =  ( ( 1  /  2 )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
9998oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  M )
) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 ) )
10040, 14sqmuld 11498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) )
10199, 100eqtrd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  M )
) ^ 2 )  =  ( ( ( 1  /  2 ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) )
10240, 15, 12subdird 9454 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
10389, 31oveq12d 6066 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  x.  ( B  -  A ) )  -  ( X  x.  ( B  -  A
) ) ) )
10483halfcld 10176 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
10580, 104eqeltrd 2486 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  M  e.  CC )
10610, 105, 23nnncan1d 9409 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( B  -  M )  -  ( B  -  P )
)  =  ( P  -  M ) )
107102, 103, 1063eqtr2rd 2451 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( P  -  M
)  =  ( ( ( 1  /  2
)  -  X )  x.  ( B  -  A ) ) )
108107fveq2d 5699 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  M )
)  =  ( abs `  ( ( ( 1  /  2 )  -  X )  x.  ( B  -  A )
) ) )
10944, 12absmuld 12219 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( abs `  (
( ( 1  / 
2 )  -  X
)  x.  ( B  -  A ) ) )  =  ( ( abs `  ( ( 1  /  2 )  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
110108, 109eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  M )
)  =  ( ( abs `  ( ( 1  /  2 )  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) )
111110oveq1d 6063 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  M )
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( 1  /  2 )  -  X ) )  x.  ( abs `  ( B  -  A )
) ) ^ 2 ) )
11246, 14sqmuld 11498 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( ( 1  / 
2 )  -  X
) )  x.  ( abs `  ( B  -  A ) ) ) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( 1  / 
2 )  -  X
) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A ) ) ^ 2 ) ) )
113111, 112eqtrd 2444 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  M )
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( ( 1  /  2 )  -  X ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) )
114101, 113oveq12d 6066 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  -  M
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( 1  /  2
) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  (
( 1  /  2
)  -  X ) ) ^ 2 )  x.  ( ( abs `  ( B  -  A
) ) ^ 2 ) ) ) )
11549, 71, 1143eqtr4rd 2455 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  -  M
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  M ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( abs `  ( 1  -  X ) )  x.  ( abs `  X
) )  x.  (
( abs `  ( B  -  A )
) ^ 2 ) ) )
11638, 115eqtr4d 2447 1  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  M
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  M ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    /\ w3a 936    = wceq 1649    e. wcel 1721    =/= wne 2575   class class class wbr 4180   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    < clt 9084    <_ cle 9085    - cmin 9255    / cdiv 9641   2c2 10013   [,]cicc 10883   ^cexp 11345   abscabs 12002
This theorem is referenced by:  chordthmlem5  20638
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-iun 4063  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-er 6872  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-sup 7412  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-n0 10186  df-z 10247  df-uz 10453  df-rp 10577  df-icc 10887  df-seq 11287  df-exp 11346  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004
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