MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chordthmlem5 Unicode version

Theorem chordthmlem5 20638
Description: If P is on the segment AB and AQ = BQ, then PA  x. PB = BQ 2  - PQ 2 . This follows from two uses of chordthmlem3 20636 to show that PQ 2 = QM 2  + PM 2 and BQ 2 = QM 2  + BM 2 , so BQ 2  - PQ 2 = (QM 2  + BM 2 )  - (QM 2  + PM 2 ) = BM 2  - PM 2 , which equals PA  x. PB by chordthmlem4 20637. (Contributed by David Moews, 28-Feb-2017.)
Hypotheses
Ref Expression
chordthmlem5.A  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
chordthmlem5.B  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
chordthmlem5.Q  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
chordthmlem5.X  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
chordthmlem5.P  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
chordthmlem5.ABequidistQ  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
Assertion
Ref Expression
chordthmlem5  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  Q
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  Q ) ) ^ 2 ) ) )

Proof of Theorem chordthmlem5
StepHypRef Expression
1 chordthmlem5.Q . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  Q  e.  CC )
2 chordthmlem5.A . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  A  e.  CC )
3 chordthmlem5.B . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  B  e.  CC )
42, 3addcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( A  +  B
)  e.  CC )
54halfcld 10176 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  e.  CC )
61, 5subcld 9375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( Q  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
76abscld 12201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
87recnd 9078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  CC )
98sqcld 11484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
103, 5subcld 9375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( B  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
1110abscld 12201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
1211recnd 9078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  CC )
1312sqcld 11484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
14 chordthmlem5.P . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  P  =  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X )  x.  B ) ) )
15 unitssre 11006 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 0 [,] 1 )  C_  RR
16 chordthmlem5.X . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ph  ->  X  e.  ( 0 [,] 1 ) )
1715, 16sseldi 3314 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  X  e.  RR )
1817recnd 9078 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  X  e.  CC )
1918, 2mulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( X  x.  A
)  e.  CC )
20 ax-1cn 9012 . . . . . . . . . . . 12  |-  1  e.  CC
2120a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ph  ->  1  e.  CC )
2221, 18subcld 9375 . . . . . . . . . 10  |-  ( ph  ->  ( 1  -  X
)  e.  CC )
2322, 3mulcld 9072 . . . . . . . . 9  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  X )  x.  B
)  e.  CC )
2419, 23addcld 9071 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( ( X  x.  A )  +  ( ( 1  -  X
)  x.  B ) )  e.  CC )
2514, 24eqeltrd 2486 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  P  e.  CC )
2625, 5subcld 9375 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( P  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) )  e.  CC )
2726abscld 12201 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  RR )
2827recnd 9078 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) )  e.  CC )
2928sqcld 11484 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  e.  CC )
309, 13, 29pnpcand 9412 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 ) )  -  ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( P  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
31 0re 9055 . . . . 5  |-  0  e.  RR
3231a1i 11 . . . 4  |-  ( ph  ->  0  e.  RR )
33 eqidd 2413 . . . 4  |-  ( ph  ->  ( ( A  +  B )  /  2
)  =  ( ( A  +  B )  /  2 ) )
342mul02d 9228 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( 0  x.  A
)  =  0 )
3521subid1d 9364 . . . . . . . 8  |-  ( ph  ->  ( 1  -  0 )  =  1 )
3635oveq1d 6063 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  0 )  x.  B
)  =  ( 1  x.  B ) )
373mulid2d 9070 . . . . . . 7  |-  ( ph  ->  ( 1  x.  B
)  =  B )
3836, 37eqtrd 2444 . . . . . 6  |-  ( ph  ->  ( ( 1  -  0 )  x.  B
)  =  B )
3934, 38oveq12d 6066 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( ( 0  x.  A )  +  ( ( 1  -  0 )  x.  B ) )  =  ( 0  +  B ) )
403addid2d 9231 . . . . 5  |-  ( ph  ->  ( 0  +  B
)  =  B )
4139, 40eqtr2d 2445 . . . 4  |-  ( ph  ->  B  =  ( ( 0  x.  A )  +  ( ( 1  -  0 )  x.  B ) ) )
42 chordthmlem5.ABequidistQ . . . 4  |-  ( ph  ->  ( abs `  ( A  -  Q )
)  =  ( abs `  ( B  -  Q
) ) )
432, 3, 1, 32, 33, 41, 42chordthmlem3 20636 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( B  -  Q )
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
442, 3, 1, 17, 33, 14, 42chordthmlem3 20636 . . 3  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  Q )
) ^ 2 )  =  ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
4543, 44oveq12d 6066 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( ( abs `  ( B  -  Q
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  Q ) ) ^ 2 ) )  =  ( ( ( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( B  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 ) )  -  (
( ( abs `  ( Q  -  ( ( A  +  B )  /  2 ) ) ) ^ 2 )  +  ( ( abs `  ( P  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 ) ) ) )
462, 3, 16, 33, 14chordthmlem4 20637 . 2  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  (
( A  +  B
)  /  2 ) ) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  ( ( A  +  B )  / 
2 ) ) ) ^ 2 ) ) )
4730, 45, 463eqtr4rd 2455 1  |-  ( ph  ->  ( ( abs `  ( P  -  A )
)  x.  ( abs `  ( P  -  B
) ) )  =  ( ( ( abs `  ( B  -  Q
) ) ^ 2 )  -  ( ( abs `  ( P  -  Q ) ) ^ 2 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    = wceq 1649    e. wcel 1721   ` cfv 5421  (class class class)co 6048   CCcc 8952   RRcr 8953   0cc0 8954   1c1 8955    + caddc 8957    x. cmul 8959    - cmin 9255    / cdiv 9641   2c2 10013   [,]cicc 10883   ^cexp 11345   abscabs 12002
This theorem is referenced by:  chordthm  20639  chordthmALT  28764
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1662  ax-8 1683  ax-13 1723  ax-14 1725  ax-6 1740  ax-7 1745  ax-11 1757  ax-12 1946  ax-ext 2393  ax-rep 4288  ax-sep 4298  ax-nul 4306  ax-pow 4345  ax-pr 4371  ax-un 4668  ax-inf2 7560  ax-cnex 9010  ax-resscn 9011  ax-1cn 9012  ax-icn 9013  ax-addcl 9014  ax-addrcl 9015  ax-mulcl 9016  ax-mulrcl 9017  ax-mulcom 9018  ax-addass 9019  ax-mulass 9020  ax-distr 9021  ax-i2m1 9022  ax-1ne0 9023  ax-1rid 9024  ax-rnegex 9025  ax-rrecex 9026  ax-cnre 9027  ax-pre-lttri 9028  ax-pre-lttrn 9029  ax-pre-ltadd 9030  ax-pre-mulgt0 9031  ax-pre-sup 9032  ax-addf 9033  ax-mulf 9034
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2266  df-mo 2267  df-clab 2399  df-cleq 2405  df-clel 2408  df-nfc 2537  df-ne 2577  df-nel 2578  df-ral 2679  df-rex 2680  df-reu 2681  df-rmo 2682  df-rab 2683  df-v 2926  df-sbc 3130  df-csb 3220  df-dif 3291  df-un 3293  df-in 3295  df-ss 3302  df-pss 3304  df-nul 3597  df-if 3708  df-pw 3769  df-sn 3788  df-pr 3789  df-tp 3790  df-op 3791  df-uni 3984  df-int 4019  df-iun 4063  df-iin 4064  df-br 4181  df-opab 4235  df-mpt 4236  df-tr 4271  df-eprel 4462  df-id 4466  df-po 4471  df-so 4472  df-fr 4509  df-se 4510  df-we 4511  df-ord 4552  df-on 4553  df-lim 4554  df-suc 4555  df-om 4813  df-xp 4851  df-rel 4852  df-cnv 4853  df-co 4854  df-dm 4855  df-rn 4856  df-res 4857  df-ima 4858  df-iota 5385  df-fun 5423  df-fn 5424  df-f 5425  df-f1 5426  df-fo 5427  df-f1o 5428  df-fv 5429  df-isom 5430  df-ov 6051  df-oprab 6052  df-mpt2 6053  df-of 6272  df-1st 6316  df-2nd 6317  df-riota 6516  df-recs 6600  df-rdg 6635  df-1o 6691  df-2o 6692  df-oadd 6695  df-er 6872  df-map 6987  df-pm 6988  df-ixp 7031  df-en 7077  df-dom 7078  df-sdom 7079  df-fin 7080  df-fi 7382  df-sup 7412  df-oi 7443  df-card 7790  df-cda 8012  df-pnf 9086  df-mnf 9087  df-xr 9088  df-ltxr 9089  df-le 9090  df-sub 9257  df-neg 9258  df-div 9642  df-nn 9965  df-2 10022  df-3 10023  df-4 10024  df-5 10025  df-6 10026  df-7 10027  df-8 10028  df-9 10029  df-10 10030  df-n0 10186  df-z 10247  df-dec 10347  df-uz 10453  df-q 10539  df-rp 10577  df-xneg 10674  df-xadd 10675  df-xmul 10676  df-ioo 10884  df-ioc 10885  df-ico 10886  df-icc 10887  df-fz 11008  df-fzo 11099  df-fl 11165  df-mod 11214  df-seq 11287  df-exp 11346  df-fac 11530  df-bc 11557  df-hash 11582  df-shft 11845  df-cj 11867  df-re 11868  df-im 11869  df-sqr 12003  df-abs 12004  df-limsup 12228  df-clim 12245  df-rlim 12246  df-sum 12443  df-ef 12633  df-sin 12635  df-cos 12636  df-pi 12638  df-struct 13434  df-ndx 13435  df-slot 13436  df-base 13437  df-sets 13438  df-ress 13439  df-plusg 13505  df-mulr 13506  df-starv 13507  df-sca 13508  df-vsca 13509  df-tset 13511  df-ple 13512  df-ds 13514  df-unif 13515  df-hom 13516  df-cco 13517  df-rest 13613  df-topn 13614  df-topgen 13630  df-pt 13631  df-prds 13634  df-xrs 13689  df-0g 13690  df-gsum 13691  df-qtop 13696  df-imas 13697  df-xps 13699  df-mre 13774  df-mrc 13775  df-acs 13777  df-mnd 14653  df-submnd 14702  df-mulg 14778  df-cntz 15079  df-cmn 15377  df-psmet 16657  df-xmet 16658  df-met 16659  df-bl 16660  df-mopn 16661  df-fbas 16662  df-fg 16663  df-cnfld 16667  df-top 16926  df-bases 16928  df-topon 16929  df-topsp 16930  df-cld 17046  df-ntr 17047  df-cls 17048  df-nei 17125  df-lp 17163  df-perf 17164  df-cn 17253  df-cnp 17254  df-haus 17341  df-tx 17555  df-hmeo 17748  df-fil 17839  df-fm 17931  df-flim 17932  df-flf 17933  df-xms 18311  df-ms 18312  df-tms 18313  df-cncf 18869  df-limc 19714  df-dv 19715  df-log 20415
  Copyright terms: Public domain W3C validator