Metamath Proof Explorer < Previous   Next > Nearby theorems Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpchtsum Structured version   Unicode version

Theorem chpchtsum 20995
 Description: The second Chebyshev function is the sum of the theta function at arguments quickly approaching zero. (This is usually stated as an infinite sum, but after a certain point, the terms are all zero, and it is easier for us to use an explicit finite sum.) (Contributed by Mario Carneiro, 7-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpchtsum ψ
Distinct variable group:   ,

Proof of Theorem chpchtsum
Dummy variable is distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fzfid 11304 . . . . 5
2 inss2 3554 . . . . . . . . . 10
3 simpr 448 . . . . . . . . . 10
42, 3sseldi 3338 . . . . . . . . 9
5 prmnn 13074 . . . . . . . . 9
64, 5syl 16 . . . . . . . 8
76nnrpd 10639 . . . . . . 7
87relogcld 20510 . . . . . 6
98recnd 9106 . . . . 5
10 fsumconst 12565 . . . . 5
111, 9, 10syl2anc 643 . . . 4
12 simpl 444 . . . . . . . . . 10
13 1re 9082 . . . . . . . . . . . 12
1413a1i 11 . . . . . . . . . . 11
156nnred 10007 . . . . . . . . . . 11
16 prmuz2 13089 . . . . . . . . . . . . 13
174, 16syl 16 . . . . . . . . . . . 12
18 eluz2b2 10540 . . . . . . . . . . . . 13
1918simprbi 451 . . . . . . . . . . . 12
2017, 19syl 16 . . . . . . . . . . 11
21 inss1 3553 . . . . . . . . . . . . . 14
2221, 3sseldi 3338 . . . . . . . . . . . . 13
23 0re 9083 . . . . . . . . . . . . . 14
24 elicc2 10967 . . . . . . . . . . . . . 14
2523, 12, 24sylancr 645 . . . . . . . . . . . . 13
2622, 25mpbid 202 . . . . . . . . . . . 12
2726simp3d 971 . . . . . . . . . . 11
2814, 15, 12, 20, 27ltletrd 9222 . . . . . . . . . 10
2912, 28rplogcld 20516 . . . . . . . . 9
3015, 20rplogcld 20516 . . . . . . . . 9
3129, 30rpdivcld 10657 . . . . . . . 8
3231rpred 10640 . . . . . . 7
3331rpge0d 10644 . . . . . . 7
34 flge0nn0 11217 . . . . . . 7
3532, 33, 34syl2anc 643 . . . . . 6
36 hashfz1 11622 . . . . . 6
3735, 36syl 16 . . . . 5
3837oveq1d 6088 . . . 4
3932flcld 11199 . . . . . 6
4039zcnd 10368 . . . . 5
4140, 9mulcomd 9101 . . . 4
4211, 38, 413eqtrrd 2472 . . 3
4342sumeq2dv 12489 . 2
44 chpval2 20994 . 2 ψ
45 simpl 444 . . . . . 6
4623a1i 11 . . . . . . 7
4713a1i 11 . . . . . . . 8
48 0lt1 9542 . . . . . . . . 9
4948a1i 11 . . . . . . . 8
50 elfzuz2 11054 . . . . . . . . 9
51 eluzle 10490 . . . . . . . . . . 11
5251adantl 453 . . . . . . . . . 10
53 simpl 444 . . . . . . . . . . 11
54 1z 10303 . . . . . . . . . . 11
55 flge 11206 . . . . . . . . . . 11
5653, 54, 55sylancl 644 . . . . . . . . . 10
5752, 56mpbird 224 . . . . . . . . 9
5850, 57sylan2 461 . . . . . . . 8
5946, 47, 45, 49, 58ltletrd 9222 . . . . . . 7
6046, 45, 59ltled 9213 . . . . . 6
61 elfznn 11072 . . . . . . . 8
6261adantl 453 . . . . . . 7
6362nnrecred 10037 . . . . . 6
6445, 60, 63recxpcld 20606 . . . . 5
65 chtval 20885 . . . . 5
6664, 65syl 16 . . . 4
6766sumeq2dv 12489 . . 3
68 ppifi 20880 . . . 4
69 fzfid 11304 . . . 4
702sseli 3336 . . . . . . . 8
71 elfznn 11072 . . . . . . . 8
7270, 71anim12i 550 . . . . . . 7
7372a1i 11 . . . . . 6
7423a1i 11 . . . . . . . . 9
752a1i 11 . . . . . . . . . . . 12
7675sselda 3340 . . . . . . . . . . 11
7776, 5syl 16 . . . . . . . . . 10
7877nnred 10007 . . . . . . . . 9
7977nngt0d 10035 . . . . . . . . 9
8074, 78, 12, 79, 27ltletrd 9222 . . . . . . . 8
8180ex 424 . . . . . . 7
8281adantrd 455 . . . . . 6
8373, 82jcad 520 . . . . 5
84 inss2 3554 . . . . . . . . 9
8584sseli 3336 . . . . . . . 8
8661, 85anim12ci 551 . . . . . . 7
8786a1i 11 . . . . . 6
8859ex 424 . . . . . . 7
8988adantrd 455 . . . . . 6
9087, 89jcad 520 . . . . 5
91 elin 3522 . . . . . . . . 9
92 simprll 739 . . . . . . . . . . 11
9392biantrud 494 . . . . . . . . . 10
9423a1i 11 . . . . . . . . . . 11
95 simpl 444 . . . . . . . . . . 11
9692, 5syl 16 . . . . . . . . . . . 12
9796nnred 10007 . . . . . . . . . . 11
9896nnnn0d 10266 . . . . . . . . . . . 12
9998nn0ge0d 10269 . . . . . . . . . . 11
100 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . 13
10124, 100syl6bb 253 . . . . . . . . . . . 12
102101baibd 876 . . . . . . . . . . 11
10394, 95, 97, 99, 102syl22anc 1185 . . . . . . . . . 10
10493, 103bitr3d 247 . . . . . . . . 9
10591, 104syl5bb 249 . . . . . . . 8
106 simprr 734 . . . . . . . . . . . . 13
10795, 106elrpd 10638 . . . . . . . . . . . 12
108107relogcld 20510 . . . . . . . . . . 11
10992, 16syl 16 . . . . . . . . . . . . 13
110109, 19syl 16 . . . . . . . . . . . 12
11197, 110rplogcld 20516 . . . . . . . . . . 11
112108, 111rerpdivcld 10667 . . . . . . . . . 10
113 simprlr 740 . . . . . . . . . . 11
114113nnzd 10366 . . . . . . . . . 10
115 flge 11206 . . . . . . . . . 10
116112, 114, 115syl2anc 643 . . . . . . . . 9
117113nnnn0d 10266 . . . . . . . . . . . . 13
11896, 117nnexpcld 11536 . . . . . . . . . . . 12
119118nnrpd 10639 . . . . . . . . . . 11
120119, 107logled 20514 . . . . . . . . . 10
12196nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . 12
122 relogexp 20482 . . . . . . . . . . . 12
123121, 114, 122syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
124123breq1d 4214 . . . . . . . . . 10
125113nnred 10007 . . . . . . . . . . 11
126125, 108, 111lemuldivd 10685 . . . . . . . . . 10
127120, 124, 1263bitrd 271 . . . . . . . . 9
128 nnuz 10513 . . . . . . . . . . 11
129113, 128syl6eleq 2525 . . . . . . . . . 10
130112flcld 11199 . . . . . . . . . 10
131 elfz5 11043 . . . . . . . . . 10
132129, 130, 131syl2anc 643 . . . . . . . . 9
133116, 127, 1323bitr4rd 278 . . . . . . . 8
134105, 133anbi12d 692 . . . . . . 7
13595flcld 11199 . . . . . . . . . . 11
136 elfz5 11043 . . . . . . . . . . 11
137129, 135, 136syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
138 flge 11206 . . . . . . . . . . 11
13995, 114, 138syl2anc 643 . . . . . . . . . 10
140137, 139bitr4d 248 . . . . . . . . 9
141 elin 3522 . . . . . . . . . 10
14292biantrud 494 . . . . . . . . . . . 12
143107rpge0d 10644 . . . . . . . . . . . . . 14
144113nnrecred 10037 . . . . . . . . . . . . . 14
14595, 143, 144recxpcld 20606 . . . . . . . . . . . . 13
146 elicc2 10967 . . . . . . . . . . . . . . 15
147 df-3an 938 . . . . . . . . . . . . . . 15
148146, 147syl6bb 253 . . . . . . . . . . . . . 14
149148baibd 876 . . . . . . . . . . . . 13
15094, 145, 97, 99, 149syl22anc 1185 . . . . . . . . . . . 12
151142, 150bitr3d 247 . . . . . . . . . . 11
15295, 143, 144cxpge0d 20607 . . . . . . . . . . . 12
153113nnrpd 10639 . . . . . . . . . . . 12
15497, 99, 145, 152, 153cxple2d 20610 . . . . . . . . . . 11
15596nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . 13
156 cxpexp 20551 . . . . . . . . . . . . 13
157155, 117, 156syl2anc 643 . . . . . . . . . . . 12
158113nncnd 10008 . . . . . . . . . . . . . . 15
159113nnne0d 10036 . . . . . . . . . . . . . . 15
160158, 159recid2d 9778 . . . . . . . . . . . . . 14
161160oveq2d 6089 . . . . . . . . . . . . 13
162107, 144, 158cxpmuld 20617 . . . . . . . . . . . . 13
16395recnd 9106 . . . . . . . . . . . . . 14
164163cxp1d 20589 . . . . . . . . . . . . 13
165161, 162, 1643eqtr3d 2475 . . . . . . . . . . . 12
166157, 165breq12d 4217 . . . . . . . . . . 11
167151, 154, 1663bitrd 271 . . . . . . . . . 10
168141, 167syl5bb 249 . . . . . . . . 9
169140, 168anbi12d 692 . . . . . . . 8
170118nnred 10007 . . . . . . . . . . 11
171 bernneq3 11499 . . . . . . . . . . . 12
172109, 117, 171syl2anc 643 . . . . . . . . . . 11
173125, 170, 172ltled 9213 . . . . . . . . . 10
174 letr 9159 . . . . . . . . . . 11
175125, 170, 95, 174syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
176173, 175mpand 657 . . . . . . . . 9
177176pm4.71rd 617 . . . . . . . 8
178155exp1d 11510 . . . . . . . . . . 11
17996nnge1d 10034 . . . . . . . . . . . 12
18097, 179, 129leexp2ad 11547 . . . . . . . . . . 11
181178, 180eqbrtrrd 4226 . . . . . . . . . 10
182 letr 9159 . . . . . . . . . . 11
18397, 170, 95, 182syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10
184181, 183mpand 657 . . . . . . . . 9
185184pm4.71rd 617 . . . . . . . 8
186169, 177, 1853bitr2rd 274 . . . . . . 7
187134, 186bitrd 245 . . . . . 6
188187ex 424 . . . . 5
18983, 90, 188pm5.21ndd 344 . . . 4
1909adantrr 698 . . . 4
19168, 69, 1, 189, 190fsumcom2 12550 . . 3
19267, 191eqtr4d 2470 . 2
19343, 44, 1923eqtr4d 2477 1 ψ
 Colors of variables: wff set class Syntax hints:   wi 4   wb 177   wa 359   w3a 936   wceq 1652   wcel 1725   cin 3311   wss 3312   class class class wbr 4204  cfv 5446  (class class class)co 6073  cfn 7101  cc 8980  cr 8981  cc0 8982  c1 8983   cmul 8987   clt 9112   cle 9113   cdiv 9669  cn 9992  c2 10041  cn0 10213  cz 10274  cuz 10480  crp 10604  cicc 10911  cfz 11035  cfl 11193  cexp 11374  chash 11610  csu 12471  cprime 13071  clog 20444   ccxp 20445  ccht 20865  ψcchp 20867 This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2416  ax-rep 4312  ax-sep 4322  ax-nul 4330  ax-pow 4369  ax-pr 4395  ax-un 4693  ax-inf2 7588  ax-cnex 9038  ax-resscn 9039  ax-1cn 9040  ax-icn 9041  ax-addcl 9042  ax-addrcl 9043  ax-mulcl 9044  ax-mulrcl 9045  ax-mulcom 9046  ax-addass 9047  ax-mulass 9048  ax-distr 9049  ax-i2m1 9050  ax-1ne0 9051  ax-1rid 9052  ax-rnegex 9053  ax-rrecex 9054  ax-cnre 9055  ax-pre-lttri 9056  ax-pre-lttrn 9057  ax-pre-ltadd 9058  ax-pre-mulgt0 9059  ax-pre-sup 9060  ax-addf 9061  ax-mulf 9062 This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2284  df-mo 2285  df-clab 2422  df-cleq 2428  df-clel 2431  df-nfc 2560  df-ne 2600  df-nel 2601  df-ral 2702  df-rex 2703  df-reu 2704  df-rmo 2705  df-rab 2706  df-v 2950  df-sbc 3154  df-csb 3244  df-dif 3315  df-un 3317  df-in 3319  df-ss 3326  df-pss 3328  df-nul 3621  df-if 3732  df-pw 3793  df-sn 3812  df-pr 3813  df-tp 3814  df-op 3815  df-uni 4008  df-int 4043  df-iun 4087  df-iin 4088  df-br 4205  df-opab 4259  df-mpt 4260  df-tr 4295  df-eprel 4486  df-id 4490  df-po 4495  df-so 4496  df-fr 4533  df-se 4534  df-we 4535  df-ord 4576  df-on 4577  df-lim 4578  df-suc 4579  df-om 4838  df-xp 4876  df-rel 4877  df-cnv 4878  df-co 4879  df-dm 4880  df-rn 4881  df-res 4882  df-ima 4883  df-iota 5410  df-fun 5448  df-fn 5449  df-f 5450  df-f1 5451  df-fo 5452  df-f1o 5453  df-fv 5454  df-isom 5455  df-ov 6076  df-oprab 6077  df-mpt2 6078  df-of 6297  df-1st 6341  df-2nd 6342  df-riota 6541  df-recs 6625  df-rdg 6660  df-1o 6716  df-2o 6717  df-oadd 6720  df-er 6897  df-map 7012  df-pm 7013  df-ixp 7056  df-en 7102  df-dom 7103  df-sdom 7104  df-fin 7105  df-fi 7408  df-sup 7438  df-oi 7471  df-card 7818  df-cda 8040  df-pnf 9114  df-mnf 9115  df-xr 9116  df-ltxr 9117  df-le 9118  df-sub 9285  df-neg 9286  df-div 9670  df-nn 9993  df-2 10050  df-3 10051  df-4 10052  df-5 10053  df-6 10054  df-7 10055  df-8 10056  df-9 10057  df-10 10058  df-n0 10214  df-z 10275  df-dec 10375  df-uz 10481  df-q 10567  df-rp 10605  df-xneg 10702  df-xadd 10703  df-xmul 10704  df-ioo 10912  df-ioc 10913  df-ico 10914  df-icc 10915  df-fz 11036  df-fzo 11128  df-fl 11194  df-mod 11243  df-seq 11316  df-exp 11375  df-fac 11559  df-bc 11586  df-hash 11611  df-shft 11874  df-cj 11896  df-re 11897  df-im 11898  df-sqr 12032  df-abs 12033  df-limsup 12257  df-clim 12274  df-rlim 12275  df-sum 12472  df-ef 12662  df-sin 12664  df-cos 12665  df-pi 12667  df-dvds 12845  df-gcd 12999  df-prm 13072  df-pc 13203  df-struct 13463  df-ndx 13464  df-slot 13465  df-base 13466  df-sets 13467  df-ress 13468  df-plusg 13534  df-mulr 13535  df-starv 13536  df-sca 13537  df-vsca 13538  df-tset 13540  df-ple 13541  df-ds 13543  df-unif 13544  df-hom 13545  df-cco 13546  df-rest 13642  df-topn 13643  df-topgen 13659  df-pt 13660  df-prds 13663  df-xrs 13718  df-0g 13719  df-gsum 13720  df-qtop 13725  df-imas 13726  df-xps 13728  df-mre 13803  df-mrc 13804  df-acs 13806  df-mnd 14682  df-submnd 14731  df-mulg 14807  df-cntz 15108  df-cmn 15406  df-psmet 16686  df-xmet 16687  df-met 16688  df-bl 16689  df-mopn 16690  df-fbas 16691  df-fg 16692  df-cnfld 16696  df-top 16955  df-bases 16957  df-topon 16958  df-topsp 16959  df-cld 17075  df-ntr 17076  df-cls 17077  df-nei 17154  df-lp 17192  df-perf 17193  df-cn 17283  df-cnp 17284  df-haus 17371  df-tx 17586  df-hmeo 17779  df-fil 17870  df-fm 17962  df-flim 17963  df-flf 17964  df-xms 18342  df-ms 18343  df-tms 18344  df-cncf 18900  df-limc 19745  df-dv 19746  df-log 20446  df-cxp 20447  df-cht 20871  df-vma 20872  df-chp 20873
 Copyright terms: Public domain W3C validator