MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpo1ub Unicode version

Theorem chpo1ub 20625
Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ub  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )

Proof of Theorem chpo1ub
StepHypRef Expression
1 2re 9812 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2 elicopnf 10735 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 10 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4 chtrpcl 20409 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
53, 4sylbi 189 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
65rpcnne0d 10396 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
73simplbi 448 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
8 0re 8835 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
98a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
101a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  e.  RR )
11 2pos 9825 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
1211a1i 12 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  2 )
133simprbi 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
149, 10, 7, 12, 13ltletrd 8973 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
157, 14elrpd 10385 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
1615rpcnne0d 10396 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
17 rpre 10357 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
18 chpcl 20358 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1917, 18syl 17 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
2019recnd 8858 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
2115, 20syl 17 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
22 dmdcan 9467 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( theta `  x
)  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0 )  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (ψ `  x )  e.  CC )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
236, 16, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
2423adantl 454 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
2524mpteq2dva 4109 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( ( theta `  x )  /  x
)  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
26 ovex 5846 . . . . . . 7  |-  ( 2 [,)  +oo )  e.  _V
2726a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  e.  _V )
28 ovex 5846 . . . . . . 7  |-  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  _V
2928a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  e.  _V )
30 ovex 5846 . . . . . . 7  |-  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) )  e.  _V
3130a1i 12 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  _V )
32 eqidd 2287 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) ) )
33 eqidd 2287 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )
3427, 29, 31, 32, 33offval2 6058 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( ( theta `  x )  /  x )  x.  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) ) )
3515ssriv 3187 . . . . . 6  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+
36 resmpt 5001 . . . . . 6  |-  ( ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
3735, 36mp1i 13 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
3825, 34, 373eqtr4rd 2329 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) ) )
3935a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+ )
40 chto1ub 20621 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
4140a1i 12 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
4239, 41o1res2 12033 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
43 chpchtlim 20624 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
44 rlimo1 12086 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1  -> 
( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
4543, 44ax-mp 10 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
46 o1mul 12084 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O ( 1 )  /\  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )  -> 
( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
4742, 45, 46sylancl 645 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
4838, 47eqeltrd 2360 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) )
49 rerpdivcl 10378 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
5019, 49mpancom 652 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
5150recnd 8858 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
5251adantl 454 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
53 eqid 2286 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )
5452, 53fmptd 5647 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) :
RR+ --> CC )
55 rpssre 10361 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
5655a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
571a1i 12 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  e.  RR )
5854, 56, 57o1resb 12036 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )  <->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) ) )
5948, 58mpbird 225 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
6059trud 1316 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 178    /\ wa 360    T. wtru 1309    = wceq 1625    e. wcel 1687    =/= wne 2449   _Vcvv 2791    C_ wss 3155   class class class wbr 4026    e. cmpt 4080    |` cres 4692   ` cfv 5223  (class class class)co 5821    o Fcof 6039   CCcc 8732   RRcr 8733   0cc0 8734   1c1 8735    x. cmul 8739    +oocpnf 8861    < clt 8864    <_ cle 8865    / cdiv 9420   2c2 9792   RR+crp 10351   [,)cico 10654    ~~> r crli 11955   O (
1 )co1 11956   thetaccht 20324  ψcchp 20326
This theorem is referenced by:  chpo1ubb  20626  vmadivsum  20627  selberg2lem  20695  pntrmax  20709  pntrsumo1  20710  pntrlog2bndlem2  20723
This theorem was proved from axioms:  ax-1 7  ax-2 8  ax-3 9  ax-mp 10  ax-gen 1535  ax-5 1546  ax-17 1605  ax-9 1638  ax-8 1646  ax-13 1689  ax-14 1691  ax-6 1706  ax-7 1711  ax-11 1718  ax-12 1870  ax-ext 2267  ax-rep 4134  ax-sep 4144  ax-nul 4152  ax-pow 4189  ax-pr 4215  ax-un 4513  ax-inf2 7339  ax-cnex 8790  ax-resscn 8791  ax-1cn 8792  ax-icn 8793  ax-addcl 8794  ax-addrcl 8795  ax-mulcl 8796  ax-mulrcl 8797  ax-mulcom 8798  ax-addass 8799  ax-mulass 8800  ax-distr 8801  ax-i2m1 8802  ax-1ne0 8803  ax-1rid 8804  ax-rnegex 8805  ax-rrecex 8806  ax-cnre 8807  ax-pre-lttri 8808  ax-pre-lttrn 8809  ax-pre-ltadd 8810  ax-pre-mulgt0 8811  ax-pre-sup 8812  ax-addf 8813  ax-mulf 8814
This theorem depends on definitions:  df-bi 179  df-or 361  df-an 362  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1312  df-ex 1531  df-nf 1534  df-sb 1633  df-eu 2150  df-mo 2151  df-clab 2273  df-cleq 2279  df-clel 2282  df-nfc 2411  df-ne 2451  df-nel 2452  df-ral 2551  df-rex 2552  df-reu 2553  df-rmo 2554  df-rab 2555  df-v 2793  df-sbc 2995  df-csb 3085  df-dif 3158  df-un 3160  df-in 3162  df-ss 3169  df-pss 3171  df-nul 3459  df-if 3569  df-pw 3630  df-sn 3649  df-pr 3650  df-tp 3651  df-op 3652  df-uni 3831  df-int 3866  df-iun 3910  df-iin 3911  df-br 4027  df-opab 4081  df-mpt 4082  df-tr 4117  df-eprel 4306  df-id 4310  df-po 4315  df-so 4316  df-fr 4353  df-se 4354  df-we 4355  df-ord 4396  df-on 4397  df-lim 4398  df-suc 4399  df-om 4658  df-xp 4696  df-rel 4697  df-cnv 4698  df-co 4699  df-dm 4700  df-rn 4701  df-res 4702  df-ima 4703  df-fun 5225  df-fn 5226  df-f 5227  df-f1 5228  df-fo 5229  df-f1o 5230  df-fv 5231  df-isom 5232  df-ov 5824  df-oprab 5825  df-mpt2 5826  df-of 6041  df-1st 6085  df-2nd 6086  df-iota 6254  df-riota 6301  df-recs 6385  df-rdg 6420  df-1o 6476  df-2o 6477  df-oadd 6480  df-er 6657  df-map 6771  df-pm 6772  df-ixp 6815  df-en 6861  df-dom 6862  df-sdom 6863  df-fin 6864  df-fi 7162  df-sup 7191  df-oi 7222  df-card 7569  df-cda 7791  df-pnf 8866  df-mnf 8867  df-xr 8868  df-ltxr 8869  df-le 8870  df-sub 9036  df-neg 9037  df-div 9421  df-nn 9744  df-2 9801  df-3 9802  df-4 9803  df-5 9804  df-6 9805  df-7 9806  df-8 9807  df-9 9808  df-10 9809  df-n0 9963  df-z 10022  df-dec 10122  df-uz 10228  df-q 10314  df-rp 10352  df-xneg 10449  df-xadd 10450  df-xmul 10451  df-ioo 10656  df-ioc 10657  df-ico 10658  df-icc 10659  df-fz 10779  df-fzo 10867  df-fl 10921  df-mod 10970  df-seq 11043  df-exp 11101  df-fac 11285  df-bc 11312  df-hash 11334  df-shft 11558  df-cj 11580  df-re 11581  df-im 11582  df-sqr 11716  df-abs 11717  df-limsup 11941  df-clim 11958  df-rlim 11959  df-o1 11960  df-lo1 11961  df-sum 12155  df-ef 12345  df-e 12346  df-sin 12347  df-cos 12348  df-pi 12350  df-dvds 12528  df-gcd 12682  df-prm 12755  df-pc 12886  df-struct 13146  df-ndx 13147  df-slot 13148  df-base 13149  df-sets 13150  df-ress 13151  df-plusg 13217  df-mulr 13218  df-starv 13219  df-sca 13220  df-vsca 13221  df-tset 13223  df-ple 13224  df-ds 13226  df-hom 13228  df-cco 13229  df-rest 13323  df-topn 13324  df-topgen 13340  df-pt 13341  df-prds 13344  df-xrs 13399  df-0g 13400  df-gsum 13401  df-qtop 13406  df-imas 13407  df-xps 13409  df-mre 13484  df-mrc 13485  df-acs 13487  df-mnd 14363  df-submnd 14412  df-mulg 14488  df-cntz 14789  df-cmn 15087  df-xmet 16369  df-met 16370  df-bl 16371  df-mopn 16372  df-cnfld 16374  df-top 16632  df-bases 16634  df-topon 16635  df-topsp 16636  df-cld 16752  df-ntr 16753  df-cls 16754  df-nei 16831  df-lp 16864  df-perf 16865  df-cn 16953  df-cnp 16954  df-haus 17039  df-tx 17253  df-hmeo 17442  df-fbas 17516  df-fg 17517  df-fil 17537  df-fm 17629  df-flim 17630  df-flf 17631  df-xms 17881  df-ms 17882  df-tms 17883  df-cncf 18378  df-limc 19212  df-dv 19213  df-log 19910  df-cxp 19911  df-cht 20330  df-vma 20331  df-chp 20332  df-ppi 20333
  Copyright terms: Public domain W3C validator