MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chpo1ub Structured version   Unicode version

Theorem chpo1ub 21174
Description: The ψ function is upper bounded by a linear term. (Contributed by Mario Carneiro, 16-Apr-2016.)
Assertion
Ref Expression
chpo1ub  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )

Proof of Theorem chpo1ub
StepHypRef Expression
1 2re 10069 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
2 elicopnf 11000 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4 chtrpcl 20958 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
( theta `  x )  e.  RR+ )
53, 4sylbi 188 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR+ )
65rpcnne0d 10657 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0
) )
73simplbi 447 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
8 0re 9091 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
101a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  e.  RR )
11 2pos 10082 . . . . . . . . . . . 12  |-  0  <  2
1211a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  2 )
133simprbi 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
149, 10, 7, 12, 13ltletrd 9230 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
157, 14elrpd 10646 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
1615rpcnne0d 10657 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 ) )
17 rpre 10618 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR+  ->  x  e.  RR )
18 chpcl 20907 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  RR  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
1917, 18syl 16 . . . . . . . . . 10  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  RR )
2019recnd 9114 . . . . . . . . 9  |-  ( x  e.  RR+  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
2115, 20syl 16 . . . . . . . 8  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (ψ `  x )  e.  CC )
22 dmdcan 9724 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( ( theta `  x
)  e.  CC  /\  ( theta `  x )  =/=  0 )  /\  (
x  e.  CC  /\  x  =/=  0 )  /\  (ψ `  x )  e.  CC )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
236, 16, 21, 22syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
2423adantl 453 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  x )  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( (ψ `  x )  /  x
) )
2524mpteq2dva 4295 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( ( theta `  x )  /  x
)  x.  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
26 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( 2 [,)  +oo )  e.  _V
2726a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  e.  _V )
28 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( (
theta `  x )  /  x )  e.  _V
2928a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  x )  e.  _V )
30 ovex 6106 . . . . . . 7  |-  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) )  e.  _V
3130a1i 11 . . . . . 6  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) )  e.  _V )
32 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) ) )
33 eqidd 2437 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )
3427, 29, 31, 32, 33offval2 6322 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( ( theta `  x )  /  x )  x.  (
(ψ `  x )  /  ( theta `  x
) ) ) ) )
3515ssriv 3352 . . . . . 6  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+
36 resmpt 5191 . . . . . 6  |-  ( ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+  ->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
3735, 36mp1i 12 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  =  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) ) )
3825, 34, 373eqtr4rd 2479 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  =  ( ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) ) )
3935a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR+ )
40 chto1ub 21170 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (
theta `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 )
4140a1i 11 . . . . . 6  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
4239, 41o1res2 12357 . . . . 5  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
43 chpchtlim 21173 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1
44 rlimo1 12410 . . . . . 6  |-  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  ~~> r  1  -> 
( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x
)  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )
4543, 44ax-mp 8 . . . . 5  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O ( 1 )
46 o1mul 12408 . . . . 5  |-  ( ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  x ) )  e.  O ( 1 )  /\  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) )  e.  O ( 1 ) )  -> 
( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
4742, 45, 46sylancl 644 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  x
) )  o F  x.  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( (ψ `  x )  /  ( theta `  x ) ) ) )  e.  O
( 1 ) )
4838, 47eqeltrd 2510 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) )
49 rerpdivcl 10639 . . . . . . . 8  |-  ( ( (ψ `  x )  e.  RR  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
5019, 49mpancom 651 . . . . . . 7  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  RR )
5150recnd 9114 . . . . . 6  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
5251adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  RR+ )  ->  ( (ψ `  x )  /  x
)  e.  CC )
53 eqid 2436 . . . . 5  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  =  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )
5452, 53fmptd 5893 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) ) :
RR+ --> CC )
55 rpssre 10622 . . . . 5  |-  RR+  C_  RR
5655a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  RR+  C_  RR )
571a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  2  e.  RR )
5854, 56, 57o1resb 12360 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )  <->  ( (
x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  |`  (
2 [,)  +oo ) )  e.  O ( 1 ) ) )
5948, 58mpbird 224 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x ) )  e.  O ( 1 ) )
6059trud 1332 1  |-  ( x  e.  RR+  |->  ( (ψ `  x )  /  x
) )  e.  O
( 1 )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1325    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   _Vcvv 2956    C_ wss 3320   class class class wbr 4212    e. cmpt 4266    |` cres 4880   ` cfv 5454  (class class class)co 6081    o Fcof 6303   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    x. cmul 8995    +oocpnf 9117    < clt 9120    <_ cle 9121    / cdiv 9677   2c2 10049   RR+crp 10612   [,)cico 10918    ~~> r crli 12279   O (
1 )co1 12280   thetaccht 20873  ψcchp 20875
This theorem is referenced by:  chpo1ubb  21175  vmadivsum  21176  selberg2lem  21244  pntrmax  21258  pntrsumo1  21259  pntrlog2bndlem2  21272
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-o1 12284  df-lo1 12285  df-sum 12480  df-ef 12670  df-e 12671  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cxp 20455  df-cht 20879  df-vma 20880  df-chp 20881  df-ppi 20882
  Copyright terms: Public domain W3C validator