Theorem chrelat2 10283

Description: A consequence of relative atomicity.

Hypotheses

Ref	Expression
chpssat.1	|- A e. CH
chpssat.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
chrelat2	|- (-. A (_ B <-> E.x e. Atoms (x (_ A /\ -. x (_ B))

Distinct variable groups:   x,A   x,B

Proof of Theorem chrelat2

Step	Hyp	Ref	Expression
1		nssinpss 2238	. . 3 |- (-. A (_ B <-> (A i^i B) (. A)
2		chpssat.1	. . . . . 6 |- A e. CH
3		chpssat.2	. . . . . 6 |- B e. CH
4	2, 3	chincl 9371	. . . . 5 |- (A i^i B) e. CH
5	4, 2	chrelat 10282	. . . 4 |- ((A i^i B) (. A -> E.x e. Atoms ((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ A))
6		atelch 10262	. . . . . 6 |- (x e. Atoms -> x e. CH)
7		chlubt 9420	. . . . . . . . . 10 |- (((A i^i B) e. CH /\ x e. CH /\ A e. CH) -> (((A i^i B) (_ A /\ x (_ A) <-> ((A i^i B) vH x) (_ A))
8	4, 2, 7	mp3an13 906	. . . . . . . . 9 |- (x e. CH -> (((A i^i B) (_ A /\ x (_ A) <-> ((A i^i B) vH x) (_ A))
9		pm3.27 323	. . . . . . . . 9 |- (((A i^i B) (_ A /\ x (_ A) -> x (_ A)
10	8, 9	syl6bir 215	. . . . . . . 8 |- (x e. CH -> (((A i^i B) vH x) (_ A -> x (_ A))
11	10	adantld 390	. . . . . . 7 |- (x e. CH -> (((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ A) -> x (_ A))
12		chnlet 9425	. . . . . . . . . . 11 |- (((A i^i B) e. CH /\ x e. CH) -> (-. x (_ (A i^i B) <-> (A i^i B) (. ((A i^i B) vH x)))
13	4, 12	mpan 694	. . . . . . . . . 10 |- (x e. CH -> (-. x (_ (A i^i B) <-> (A i^i B) (. ((A i^i B) vH x)))
14		ssin 2230	. . . . . . . . . . 11 |- ((x (_ A /\ x (_ B) <-> x (_ (A i^i B))
15	14	negbii 187	. . . . . . . . . 10 |- (-. (x (_ A /\ x (_ B) <-> -. x (_ (A i^i B))
16	13, 15	syl5bb 531	. . . . . . . . 9 |- (x e. CH -> (-. (x (_ A /\ x (_ B) <-> (A i^i B) (. ((A i^i B) vH x)))
17	16, 8	anbi12d 627	. . . . . . . 8 |- (x e. CH -> ((-. (x (_ A /\ x (_ B) /\ ((A i^i B) (_ A /\ x (_ A)) <-> ((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ A)))
18		pm3.21 284	. . . . . . . . . . 11 |- (x (_ B -> (x (_ A -> (x (_ A /\ x (_ B)))
19		ianor 305	. . . . . . . . . . . 12 |- (-. (-. (x (_ A /\ x (_ B) /\ x (_ A) <-> (-. -. (x (_ A /\ x (_ B) \/ -. x (_ A))
20		pm4.13 161	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x (_ A /\ x (_ B) <-> -. -. (x (_ A /\ x (_ B))
21	20	orbi1i 256	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x (_ A /\ x (_ B) \/ -. x (_ A) <-> (-. -. (x (_ A /\ x (_ B) \/ -. x (_ A))
22		orcom 246	. . . . . . . . . . . . 13 |- (((x (_ A /\ x (_ B) \/ -. x (_ A) <-> (-. x (_ A \/ (x (_ A /\ x (_ B)))
23		imor 234	. . . . . . . . . . . . 13 |- ((x (_ A -> (x (_ A /\ x (_ B)) <-> (-. x (_ A \/ (x (_ A /\ x (_ B)))
24	22, 23	bitr4 176	. . . . . . . . . . . 12 |- (((x (_ A /\ x (_ B) \/ -. x (_ A) <-> (x (_ A -> (x (_ A /\ x (_ B)))
25	19, 21, 24	3bitr2r 180	. . . . . . . . . . 11 |- ((x (_ A -> (x (_ A /\ x (_ B)) <-> -. (-. (x (_ A /\ x (_ B) /\ x (_ A))
26	18, 25	sylib 198	. . . . . . . . . 10 |- (x (_ B -> -. (-. (x (_ A /\ x (_ B) /\ x (_ A))
27	26	con2i 97	. . . . . . . . 9 |- ((-. (x (_ A /\ x (_ B) /\ x (_ A) -> -. x (_ B)
28	27	adantrl 394	. . . . . . . 8 |- ((-. (x (_ A /\ x (_ B) /\ ((A i^i B) (_ A /\ x (_ A)) -> -. x (_ B)
29	17, 28	syl6bir 215	. . . . . . 7 |- (x e. CH -> (((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ A) -> -. x (_ B))
30	11, 29	jcad 599	. . . . . 6 |- (x e. CH -> (((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ A) -> (x (_ A /\ -. x (_ B)))
31	6, 30	syl 10	. . . . 5 |- (x e. Atoms -> (((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ A) -> (x (_ A /\ -. x (_ B)))
32	31	r19.22i 1731	. . . 4 |- (E.x e. Atoms ((A i^i B) (. ((A i^i B) vH x) /\ ((A i^i B) vH x) (_ A) -> E.x e. Atoms (x (_ A /\ -. x (_ B))
33	5, 32	syl 10	. . 3 |- ((A i^i B) (. A -> E.x e. Atoms (x (_ A /\ -. x (_ B))
34	1, 33	sylbi 199	. 2 |- (-. A (_ B -> E.x e. Atoms (x (_ A /\ -. x (_ B))
35		sstr2 2069	. . . . . . 7 |- (x (_ A -> (A (_ B -> x (_ B))
36	35	com12 11	. . . . . 6 |- (A (_ B -> (x (_ A -> x (_ B))
37	36	a1d 12	. . . . 5 |- (A (_ B -> (x e. Atoms -> (x (_ A -> x (_ B)))
38	37	r19.21aiv 1712	. . . 4 |- (A (_ B -> A.x e. Atoms (x (_ A -> x (_ B))
39		iman 237	. . . . . 6 |- ((x (_ A -> x (_ B) <-> -. (x (_ A /\ -. x (_ B))
40	39	ralbii 1666	. . . . 5 |- (A.x e. Atoms (x (_ A -> x (_ B) <-> A.x e. Atoms -. (x (_ A /\ -. x (_ B))
41		ralnex 1652	. . . . 5 |- (A.x e. Atoms -. (x (_ A /\ -. x (_ B) <-> -. E.x e. Atoms (x (_ A /\ -. x (_ B))
42	40, 41	bitr 173	. . . 4 |- (A.x e. Atoms (x (_ A -> x (_ B) <-> -. E.x e. Atoms (x (_ A /\ -. x (_ B))
43	38, 42	sylib 198	. . 3 |- (A (_ B -> -. E.x e. Atoms (x (_ A /\ -. x (_ B))
44	43	con2i 97	. 2 |- (E.x e. Atoms (x (_ A /\ -. x (_ B) -> -. A (_ B)
45	34, 44	impbi 157	1 |- (-. A (_ B <-> E.x e. Atoms (x (_ A /\ -. x (_ B))

Syntax hints:  -. wn 2   -> wi 3   <-> wb 146   \/ wo 222   /\ wa 223   e. wcel 957  A.wral 1644  E.wrex 1645   i^i cin 2044   (_ wss 2045   (. wpss 2046  (class class class)co 3960  CHcch 8782   vH chj 8786  Atomscat 8817

This theorem is referenced by:  chrelat2t 10288

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 961  ax-gen 962  ax-8 963  ax-9 964  ax-10 965  ax-11 966  ax-12 967  ax-13 968  ax-14 969  ax-17 970  ax-4 972  ax-5o 974  ax-6o 977  ax-9o 1122  ax-10o 1139  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2690  ax-sep 2700  ax-nul 2707  ax-pow 2739  ax-pr 2776  ax-un 2863  ax-reg 4580  ax-inf2 4612  ax-ac 4731  ax-hilex 8853  ax-hfvadd 8854  ax-hvcom 8855  ax-hvass 8856  ax-hv0cl 8857  ax-hvaddid 8858  ax-hfvmul 8859  ax-hvmulid 8860  ax-hvmulass 8861  ax-hvdistr1 8862  ax-hvdistr2 8863  ax-hvmul0 8864  ax-hfi 8930  ax-his1 8933  ax-his2 8934  ax-his3 8935  ax-his4 8936  ax-hcompl 9059

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 775  df-3an 776  df-ex 980  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1586  df-nel 1587  df-ral 1648  df-rex 1649  df-reu 1650  df-rab 1651  df-v 1810  df-sbc 1940  df-csb 2000  df-dif 2047  df-un 2048  df-in 2049  df-ss 2051  df-pss 2053  df-nul 2279  df-if 2360  df-pw 2400  df-sn 2410  df-pr 2411  df-tp 2413  df-op 2414  df-uni 2501  df-int 2531  df-iun 2565  df-iin 2566  df-br 2617  df-opab 2664  df-tr 2678  df-eprel 2829  df-id 2832  df-po 2837  df-so 2847  df-fr 2914  df-we 2931  df-ord 2948  df-on 2949  df-lim 2950  df-suc 2951  df-om 3129  df-xp 3181  df-rel 3182  df-cnv 3183  df-co 3184  df-dm 3185  df-rn 3186  df-res 3187  df-ima 3188  df-fun 3189  df-fn 3190  df-f 3191  df-f1 3192  df-fo 3193  df-f1o 3194  df-fv 3195  df-rdg 3929  df-opr 3962  df-oprab 3963  df-1st 4076  df-2nd 4077  df-1o 4130  df-oadd 4132  df-omul 4133  df-er 4258  df-ec 4260  df-qs 4263  df-map 4321  df-en 4364  df-dom 4365  df-sdom 4366  df-sup 4561  df-r1 4630  df-rank 4631  df-ni 4987  df-pli 4988  df-mi 4989  df-lti 4990  df-plpq 5022  df-mpq 5023  df-enq 5024  df-nq 5025  df-plq 5026  df-mq 5027  df-rq 5028  df-ltq 5029  df-1q 5030  df-np 5073  df-1p 5074  df-plp 5075  df-mp 5076  df-ltp 5077  df-plpr 5151  df-mpr 5152  df-enr 5153  df-nr 5154  df-plr 5155  df-mr 5156  df-ltr 5157  df-0r 5158  df-1r 5159  df-m1r 5160  df-c 5227  df-0 5228  df-1 5229  df-i 5230  df-r 5231  df-plus 5232  df-mul 5233  df-lt 5234  df-sub 5343  df-neg 5345  df-pnf 5474  df-mnf 5475  df-xr 5476  df-ltxr 5477  df-le 5478  df-div 5686  df-n 5887  df-2 5931  df-3 5932  df-4 5933  df-n0 6061  df-z 6097  df-fl 6186  df-q 6211  df-seq1 6263  df-shft 6296  df-ioo 6316  df-uz 6368  df-fz 6418  df-seqz 6483  df-exp 6519  df-sqr 6621  df-re 6703  df-im 6704  df-cj 6705  df-abs 6706  df-clim 6943  df-sum 6948  df-top 7571  df-bases 7573  df-topgen 7574  df-cld 7642  df-ntr 7643  df-cls 7644  df-cn 7733  df-cnp 7734  df-haus 7761  df-met 7772  df-bl 7774  df-opn 7775  df-lm 7905  df-grp 8020  df-gid 8021  df-ginv 8022  df-gdiv 8023  df-abl 8084  df-vc 8150  df-nv 8196  df-va 8199  df-ba 8200  df-sm 8201  df-0v 8202  df-vs 8203  df-nm 8204  df-ims 8205  df-ip 8336  df-ph 8456  df-hnorm 8821  df-hvsub 8824  df-hlim 8825  df-hcau 8826  df-sh 9064  df-ch 9080  df-oc 9112  df-ch0 9113  df-shsum 9261  df-span 9262  df-chj 9263  df-chsup 9264  df-cv 10197  df-at 10256

Copyright terms: Public domain