Theorem chsscon3 9379

Description: Hilbert lattice contraposition law.

Hypotheses

Ref	Expression
ch0le.1	|- A e. CH
chjcl.2	|- B e. CH

Assertion

Ref	Expression
chsscon3	|- (A (_ B <-> (_|_` B) (_ (_|_` A))

Proof of Theorem chsscon3

Step	Hyp	Ref	Expression
1		ch0le.1	. . . 4 |- A e. CH
2	1	chssi 9096	. . 3 |- A (_ H~
3		chjcl.2	. . . 4 |- B e. CH
4	3	chssi 9096	. . 3 |- B (_ H~
5		occont 9155	. . 3 |- ((A (_ H~ /\ B (_ H~) -> (A (_ B -> (_|_` B) (_ (_|_` A)))
6	2, 4, 5	mp2an 699	. 2 |- (A (_ B -> (_|_` B) (_ (_|_` A))
7	3	choccl 9180	. . . . 5 |- (_|_` B) e. CH
8	7	chssi 9096	. . . 4 |- (_|_` B) (_ H~
9	1	choccl 9180	. . . . 5 |- (_|_` A) e. CH
10	9	chssi 9096	. . . 4 |- (_|_` A) (_ H~
11		occont 9155	. . . 4 |- (((_|_` B) (_ H~ /\ (_|_` A) (_ H~) -> ((_|_` B) (_ (_|_` A) -> (_|_` (_|_` A)) (_ (_|_` (_|_` B))))
12	8, 10, 11	mp2an 699	. . 3 |- ((_|_` B) (_ (_|_` A) -> (_|_` (_|_` A)) (_ (_|_` (_|_` B)))
13	1	pjococ 9265	. . 3 |- (_|_` (_|_` A)) = A
14	3	pjococ 9265	. . 3 |- (_|_` (_|_` B)) = B
15	12, 13, 14	3sstr3g 2104	. 2 |- ((_|_` B) (_ (_|_` A) -> A (_ B)
16	6, 15	impbi 157	1 |- (A (_ B <-> (_|_` B) (_ (_|_` A))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   e. wcel 960   (_ wss 2050  ` cfv 3188  H~chil 8783  CHcch 8793  _|_cort 8794

This theorem is referenced by:  chsscon1 9380  chsscon2 9381  chcon3 9384  chdmm1 9395  chsscon3t 9418  spansnpj 9496  pjoml3 9524  pjss2 9620  pjssm 9621  pjocin 9638  pjnormss 10091  stji1 10164  mdsldmd1 10253

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 964  ax-gen 965  ax-8 966  ax-9 967  ax-10 968  ax-11 969  ax-12 970  ax-13 971  ax-14 972  ax-17 973  ax-4 975  ax-5o 977  ax-6o 980  ax-9o 1125  ax-10o 1142  ax-16 1212  ax-11o 1220  ax-ext 1462  ax-rep 2698  ax-sep 2708  ax-nul 2715  ax-pow 2748  ax-pr 2785  ax-un 2872  ax-reg 4602  ax-inf2 4634  ax-ac 4754  ax-hilex 8864  ax-hfvadd 8865  ax-hvcom 8866  ax-hvass 8867  ax-hv0cl 8868  ax-hvaddid 8869  ax-hfvmul 8870  ax-hvmulid 8871  ax-hvmulass 8872  ax-hvdistr1 8873  ax-hvdistr2 8874  ax-hvmul0 8875  ax-hfi 8941  ax-his1 8944  ax-his2 8945  ax-his3 8946  ax-his4 8947  ax-hcompl 9066

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 778  df-3an 779  df-ex 983  df-sb 1174  df-eu 1384  df-mo 1385  df-clab 1467  df-cleq 1472  df-clel 1475  df-ne 1590  df-nel 1591  df-ral 1652  df-rex 1653  df-reu 1654  df-rab 1655  df-v 1815  df-sbc 1945  df-csb 2005  df-dif 2052  df-un 2053  df-in 2054  df-ss 2056  df-pss 2058  df-nul 2284  df-if 2366  df-pw 2406  df-sn 2416  df-pr 2417  df-tp 2419  df-op 2420  df-uni 2508  df-int 2538  df-iun 2572  df-iin 2573  df-br 2625  df-opab 2672  df-tr 2686  df-eprel 2838  df-id 2841  df-po 2846  df-so 2856  df-fr 2923  df-we 2940  df-ord 2957  df-on 2958  df-lim 2959  df-suc 2960  df-om 3138  df-xp 3190  df-rel 3191  df-cnv 3192  df-co 3193  df-dm 3194  df-rn 3195  df-res 3196  df-ima 3197  df-fun 3198  df-fn 3199  df-f 3200  df-f1 3201  df-fo 3202  df-f1o 3203  df-fv 3204  df-rdg 3938  df-opr 3971  df-oprab 3972  df-1st 4085  df-2nd 4086  df-1o 4139  df-oadd 4141  df-omul 4142  df-er 4267  df-ec 4269  df-qs 4272  df-map 4330  df-en 4374  df-dom 4375  df-sdom 4376  df-sup 4583  df-r1 4653  df-rank 4654  df-ni 5012  df-pli 5013  df-mi 5014  df-lti 5015  df-plpq 5047  df-mpq 5048  df-enq 5049  df-nq 5050  df-plq 5051  df-mq 5052  df-rq 5053  df-ltq 5054  df-1q 5055  df-np 5098  df-1p 5099  df-plp 5100  df-mp 5101  df-ltp 5102  df-plpr 5176  df-mpr 5177  df-enr 5178  df-nr 5179  df-plr 5180  df-mr 5181  df-ltr 5182  df-0r 5183  df-1r 5184  df-m1r 5185  df-c 5252  df-0 5253  df-1 5254  df-i 5255  df-r 5256  df-plus 5257  df-mul 5258  df-lt 5259  df-sub 5368  df-neg 5370  df-pnf 5499  df-mnf 5500  df-xr 5501  df-ltxr 5502  df-le 5503  df-div 5715  df-n 5927  df-2 5972  df-3 5973  df-4 5974  df-n0 6102  df-z 6138  df-fl 6226  df-q 6257  df-seq1 6309  df-shft 6342  df-ioo 6362  df-uz 6419  df-fz 6469  df-seqz 6534  df-exp 6570  df-sqr 6671  df-re 6752  df-im 6753  df-cj 6754  df-abs 6755  df-clim 6975  df-sum 6980  df-top 7594  df-bases 7596  df-topgen 7597  df-cld 7660  df-ntr 7661  df-cls 7662  df-cn 7751  df-cnp 7752  df-haus 7779  df-met 7790  df-bl 7792  df-opn 7793  df-lm 7919  df-grp 8034  df-gid 8035  df-ginv 8036  df-gdiv 8037  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468  df-hnorm 8832  df-hvsub 8835  df-hlim 8836  df-hcau 8837  df-sh 9071  df-ch 9087  df-oc 9119  df-ch0 9120

Copyright terms: Public domain