Theorem chssoct 9415

Description: A closed subspace less than its orthocomplement is zero.

Assertion

Ref	Expression
chssoct	|- (A e. CH -> (A (_ (_|_` A) <-> A = 0H))

Proof of Theorem chssoct

Step	Hyp	Ref	Expression
1		chocint 9414	. . . . 5 |- (A e. CH -> (A i^i (_|_` A)) = 0H)
2	1	sseq2d 2089	. . . 4 |- (A e. CH -> (A (_ (A i^i (_|_` A)) <-> A (_ 0H))
3		chle0t 9363	. . . 4 |- (A e. CH -> (A (_ 0H <-> A = 0H))
4	2, 3	bitrd 528	. . 3 |- (A e. CH -> (A (_ (A i^i (_|_` A)) <-> A = 0H))
5		sslin 2235	. . . 4 |- (A (_ (_|_` A) -> (A i^i A) (_ (A i^i (_|_` A)))
6		inidm 2222	. . . 4 |- (A i^i A) = A
7	5, 6	syl5ssr 2106	. . 3 |- (A (_ (_|_` A) -> A (_ (A i^i (_|_` A)))
8	4, 7	syl5bi 208	. 2 |- (A e. CH -> (A (_ (_|_` A) -> A = 0H))
9		pm3.27 323	. . . 4 |- ((A e. CH /\ A = 0H) -> A = 0H)
10		chocclt 9180	. . . . . 6 |- (A e. CH -> (_|_` A) e. CH)
11		ch0let 9361	. . . . . 6 |- ((_|_` A) e. CH -> 0H (_ (_|_` A))
12	10, 11	syl 10	. . . . 5 |- (A e. CH -> 0H (_ (_|_` A))
13	12	adantr 389	. . . 4 |- ((A e. CH /\ A = 0H) -> 0H (_ (_|_` A))
14	9, 13	eqsstrd 2095	. . 3 |- ((A e. CH /\ A = 0H) -> A (_ (_|_` A))
15	14	ex 373	. 2 |- (A e. CH -> (A = 0H -> A (_ (_|_` A)))
16	8, 15	impbid 516	1 |- (A e. CH -> (A (_ (_|_` A) <-> A = 0H))

Syntax hints:   -> wi 3   <-> wb 146   /\ wa 223   = wceq 956   e. wcel 958   i^i cin 2046   (_ wss 2047  ` cfv 3182  CHcch 8794  _|_cort 8795  0Hc0h 8800

This theorem is referenced by:  irredlem1 10313  irred 10317

This theorem was proved from axioms:  ax-1 4  ax-2 5  ax-3 6  ax-mp 7  ax-7 962  ax-gen 963  ax-8 964  ax-9 965  ax-10 966  ax-11 967  ax-12 968  ax-13 969  ax-14 970  ax-17 971  ax-4 973  ax-5o 975  ax-6o 978  ax-9o 1123  ax-10o 1140  ax-16 1210  ax-11o 1218  ax-ext 1459  ax-rep 2693  ax-sep 2703  ax-nul 2710  ax-pow 2742  ax-pr 2779  ax-un 2866  ax-reg 4590  ax-inf2 4622  ax-ac 4741  ax-hilex 8865  ax-hfvadd 8866  ax-hvcom 8867  ax-hvass 8868  ax-hv0cl 8869  ax-hvaddid 8870  ax-hfvmul 8871  ax-hvmulid 8872  ax-hvmulass 8873  ax-hvdistr1 8874  ax-hvdistr2 8875  ax-hvmul0 8876  ax-hfi 8942  ax-his1 8945  ax-his2 8946  ax-his3 8947  ax-his4 8948

This theorem depends on definitions:  df-bi 147  df-or 224  df-an 225  df-3or 776  df-3an 777  df-ex 981  df-sb 1172  df-eu 1382  df-mo 1383  df-clab 1464  df-cleq 1469  df-clel 1472  df-ne 1587  df-nel 1588  df-ral 1649  df-rex 1650  df-reu 1651  df-rab 1652  df-v 1812  df-sbc 1942  df-csb 2002  df-dif 2049  df-un 2050  df-in 2051  df-ss 2053  df-pss 2055  df-nul 2281  df-if 2362  df-pw 2402  df-sn 2412  df-pr 2413  df-tp 2415  df-op 2416  df-uni 2504  df-int 2534  df-iun 2568  df-iin 2569  df-br 2620  df-opab 2667  df-tr 2681  df-eprel 2832  df-id 2835  df-po 2840  df-so 2850  df-fr 2917  df-we 2934  df-ord 2951  df-on 2952  df-lim 2953  df-suc 2954  df-om 3132  df-xp 3184  df-rel 3185  df-cnv 3186  df-co 3187  df-dm 3188  df-rn 3189  df-res 3190  df-ima 3191  df-fun 3192  df-fn 3193  df-f 3194  df-f1 3195  df-fo 3196  df-f1o 3197  df-fv 3198  df-rdg 3932  df-opr 3965  df-oprab 3966  df-1st 4079  df-2nd 4080  df-1o 4133  df-oadd 4135  df-omul 4136  df-er 4261  df-ec 4263  df-qs 4266  df-map 4324  df-en 4368  df-dom 4369  df-sdom 4370  df-sup 4571  df-r1 4640  df-rank 4641  df-ni 4997  df-pli 4998  df-mi 4999  df-lti 5000  df-plpq 5032  df-mpq 5033  df-enq 5034  df-nq 5035  df-plq 5036  df-mq 5037  df-rq 5038  df-ltq 5039  df-1q 5040  df-np 5083  df-1p 5084  df-plp 5085  df-mp 5086  df-ltp 5087  df-plpr 5161  df-mpr 5162  df-enr 5163  df-nr 5164  df-plr 5165  df-mr 5166  df-ltr 5167  df-0r 5168  df-1r 5169  df-m1r 5170  df-c 5237  df-0 5238  df-1 5239  df-i 5240  df-r 5241  df-plus 5242  df-mul 5243  df-lt 5244  df-sub 5353  df-neg 5355  df-pnf 5484  df-mnf 5485  df-xr 5486  df-ltxr 5487  df-le 5488  df-div 5700  df-n 5922  df-2 5967  df-3 5968  df-4 5969  df-n0 6097  df-z 6133  df-fl 6221  df-q 6253  df-seq1 6305  df-shft 6338  df-ioo 6358  df-uz 6415  df-fz 6465  df-seqz 6530  df-exp 6566  df-sqr 6667  df-re 6748  df-im 6749  df-cj 6750  df-abs 6751  df-clim 6971  df-sum 6976  df-top 7588  df-bases 7590  df-topgen 7591  df-cld 7659  df-ntr 7660  df-cls 7661  df-cn 7750  df-cnp 7751  df-haus 7778  df-met 7789  df-bl 7791  df-opn 7792  df-lm 7918  df-grp 8033  df-gid 8034  df-ginv 8035  df-gdiv 8036  df-abl 8096  df-vc 8161  df-nv 8207  df-va 8210  df-ba 8211  df-sm 8212  df-0v 8213  df-vs 8214  df-nm 8215  df-ims 8216  df-ip 8346  df-ph 8468  df-hnorm 8833  df-hvsub 8836  df-hlim 8837  df-sh 9072  df-ch 9088  df-oc 9120  df-ch0 9121

Copyright terms: Public domain