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Theorem chtppilim 20640
Description: The  theta function is asymptotic to π ( x ) log ( x ), so it is sufficient to prove 
theta ( x )  /  x 
~~> r  1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8853 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2 rehalfcl 9954 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
4 rpre 10376 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
5 resubcl 9127 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  -  y
)  e.  RR )
61, 4, 5sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  e.  RR )
7 ifcl 3614 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( 1  -  y
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
83, 6, 7sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
9 0re 8854 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
109a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
113a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
12 halfgt0 9948 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( 1  /  2
)
1312a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
( 1  /  2
) )
14 max2 10532 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
156, 3, 14sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
1610, 11, 8, 13, 15ltletrd 8992 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )
178, 16elrpd 10404 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR+ )
1817rpsqrcld 11910 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  e.  RR+ )
19 halflt1 9949 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  <  1
20 ltsubrp 10401 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( 1  -  y
)  <  1 )
211, 20mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  <  1 )
22 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
23 breq1 4042 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  y )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  -  y )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
2422, 23ifboth 3609 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  <  1  /\  ( 1  -  y
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2519, 21, 24sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2617rpge0d 10410 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
271a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
28 0le1 9313 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
2928a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_ 
1 )
308, 26, 27, 29sqrltd 11926 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1  <->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )  <  ( sqr `  1
) ) )
3125, 30mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  < 
( sqr `  1
) )
32 sqr1 11773 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  1 )  =  1
3331, 32syl6breq 4078 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  <  1 )
3418, 33chtppilimlem2 20639 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x
) ) )
356adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
1  -  y )  e.  RR )
36 max1 10530 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
3735, 3, 36sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
388adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
39 2re 9831 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
40 elicopnf 10755 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4241simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
43 chtcl 20363 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
45 ppinncl 20428 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(π `  x )  e.  NN )
4641, 45sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  NN )
4746nnrpd 10405 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  RR+ )
481a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
4939a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  e.  RR )
50 1lt2 9902 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  1  <  2 )
5241simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
5348, 49, 42, 51, 52ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  1  <  x )
5442, 53rplogcld 19996 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5547, 54rpmulcld 10422 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR+ )
5644, 55rerpdivcld 10433 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5756adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
58 lelttr 8928 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5935, 38, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
6037, 59mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  -> 
( 1  -  y
)  <  ( ( theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
618recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  CC )
6261sqsqrd 11937 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) )
6463oveq1d 5889 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6564breq1d 4049 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) )
6644adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6755rpregt0d 10412 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
69 ltmuldiv 9642 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  e.  RR  /\  ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
7038, 66, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
7165, 70bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
729a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
73 2pos 9844 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  2
7473a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  2 )
7572, 49, 42, 74, 52ltletrd 8992 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
7642, 75elrpd 10404 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
77 chtleppi 20465 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  <_  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  <_ 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7955rpcnd 10408 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
8079mulid1d 8868 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 )  =  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
8178, 80breqtrrd 4065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  <_ 
( ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) )  x.  1 ) )
8244, 48, 55ledivmuld 10455 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <_  1  <->  ( theta `  x )  <_  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 ) ) )
8381, 82mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <_  1 )
8456, 48, 83abssuble0d 11931 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( abs `  ( ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  =  ( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8584breq1d 4049 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
8685adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
871a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
884adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  y  e.  RR )
89 ltsub23 9270 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
9087, 57, 88, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
9186, 90bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
9260, 71, 913imtr4d 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9392imim2d 48 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
)  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  < 
y ) ) )
9493ralimdva 2634 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  A. x  e.  (
2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
9594reximdv 2667 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  < 
y ) ) )
9634, 95mpd 14 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9796rgen 2621 . . 3  |-  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y )
9856recnd 8877 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9998adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
10099ralrimiva 2639 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo )
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
10142ssriv 3197 . . . . 5  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR
102101a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR )
103 ax-1cn 8811 . . . . 5  |-  1  e.  CC
104103a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
105100, 102, 104rlim2 11986 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
10697, 105mpbiri 224 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1 )
107106trud 1314 1  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1632    e. wcel 1696   A.wral 2556   E.wrex 2557    C_ wss 3165   ifcif 3578   class class class wbr 4039    e. cmpt 4093   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    x. cmul 8758    +oocpnf 8880    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   RR+crp 10370   [,)cico 10674   ^cexp 11120   sqrcsqr 11734   abscabs 11735    ~~> r crli 11975   logclog 19928   thetaccht 20344  πcppi 20347
This theorem is referenced by:  chebbnd2  20642  chto1lb  20643  pnt  20779
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-o1 11980  df-lo1 11981  df-sum 12175  df-ef 12365  df-e 12366  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cxp 19931  df-cht 20350  df-ppi 20353
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