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Theorem chtppilim 21037
Description: The  theta function is asymptotic to π ( x ) log ( x ), so it is sufficient to prove 
theta ( x )  /  x 
~~> r  1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 9024 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
21rehalfcli 10149 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
3 rpre 10551 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
4 resubcl 9298 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  -  y
)  e.  RR )
51, 3, 4sylancr 645 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  e.  RR )
6 ifcl 3719 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( 1  -  y
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
72, 5, 6sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
8 0re 9025 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
98a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
102a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
11 halfgt0 10121 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( 1  /  2
)
1211a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
( 1  /  2
) )
13 max2 10708 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
145, 2, 13sylancl 644 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
159, 10, 7, 12, 14ltletrd 9163 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )
167, 15elrpd 10579 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR+ )
1716rpsqrcld 12142 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  e.  RR+ )
18 halflt1 10122 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  <  1
19 ltsubrp 10576 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( 1  -  y
)  <  1 )
201, 19mpan 652 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  <  1 )
21 breq1 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
22 breq1 4157 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  y )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  -  y )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
2321, 22ifboth 3714 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  <  1  /\  ( 1  -  y
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2418, 20, 23sylancr 645 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2516rpge0d 10585 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
261a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
27 0le1 9484 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
2827a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_ 
1 )
297, 25, 26, 28sqrltd 12158 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1  <->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )  <  ( sqr `  1
) ) )
3024, 29mpbid 202 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  < 
( sqr `  1
) )
31 sqr1 12005 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  1 )  =  1
3230, 31syl6breq 4193 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  <  1 )
3317, 32chtppilimlem2 21036 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x
) ) )
345adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
1  -  y )  e.  RR )
35 max1 10706 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
3634, 2, 35sylancl 644 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
377adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
38 2re 10002 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
39 elicopnf 10933 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
4038, 39ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4140simplbi 447 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
42 chtcl 20760 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4341, 42syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
44 ppinncl 20825 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(π `  x )  e.  NN )
4540, 44sylbi 188 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  NN )
4645nnrpd 10580 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  RR+ )
471a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
4838a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  e.  RR )
49 1lt2 10075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
5049a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  1  <  2 )
5140simprbi 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
5247, 48, 41, 50, 51ltletrd 9163 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  1  <  x )
5341, 52rplogcld 20392 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5446, 53rpmulcld 10597 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR+ )
5543, 54rerpdivcld 10608 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5655adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
57 lelttr 9099 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5834, 37, 56, 57syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5936, 58mpand 657 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  -> 
( 1  -  y
)  <  ( ( theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
607recnd 9048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  CC )
6160sqsqrd 12169 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
6261adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) )
6362oveq1d 6036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6463breq1d 4164 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) )
6543adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6654rpregt0d 10587 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6766adantl 453 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
68 ltmuldiv 9813 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  e.  RR  /\  ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
6937, 65, 67, 68syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
7064, 69bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
718a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
72 2pos 10015 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  2
7372a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  2 )
7471, 48, 41, 73, 51ltletrd 9163 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
7541, 74elrpd 10579 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
76 chtleppi 20862 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  <_  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7775, 76syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  <_ 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7854rpcnd 10583 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
7978mulid1d 9039 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 )  =  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
8077, 79breqtrrd 4180 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  <_ 
( ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) )  x.  1 ) )
8143, 47, 54ledivmuld 10630 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <_  1  <->  ( theta `  x )  <_  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 ) ) )
8280, 81mpbird 224 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <_  1 )
8355, 47, 82abssuble0d 12163 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( abs `  ( ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  =  ( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8483breq1d 4164 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
8584adantl 453 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
861a1i 11 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
873adantr 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  y  e.  RR )
88 ltsub23 9441 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
8986, 56, 87, 88syl3anc 1184 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
9085, 89bitrd 245 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
9159, 70, 903imtr4d 260 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9291imim2d 50 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
)  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  < 
y ) ) )
9392ralimdva 2728 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  A. x  e.  (
2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
9493reximdv 2761 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  < 
y ) ) )
9533, 94mpd 15 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9695rgen 2715 . . 3  |-  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y )
9755recnd 9048 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9897adantl 453 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9998ralrimiva 2733 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo )
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
10041ssriv 3296 . . . . 5  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR
101100a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR )
102 ax-1cn 8982 . . . . 5  |-  1  e.  CC
103102a1i 11 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
10499, 101, 103rlim2 12218 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
10596, 104mpbiri 225 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1 )
106105trud 1329 1  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 177    /\ wa 359    T. wtru 1322    = wceq 1649    e. wcel 1717   A.wral 2650   E.wrex 2651    C_ wss 3264   ifcif 3683   class class class wbr 4154    e. cmpt 4208   ` cfv 5395  (class class class)co 6021   CCcc 8922   RRcr 8923   0cc0 8924   1c1 8925    x. cmul 8929    +oocpnf 9051    < clt 9054    <_ cle 9055    - cmin 9224    / cdiv 9610   NNcn 9933   2c2 9982   RR+crp 10545   [,)cico 10851   ^cexp 11310   sqrcsqr 11966   abscabs 11967    ~~> r crli 12207   logclog 20320   thetaccht 20741  πcppi 20744
This theorem is referenced by:  chebbnd2  21039  chto1lb  21040  pnt  21176
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1552  ax-5 1563  ax-17 1623  ax-9 1661  ax-8 1682  ax-13 1719  ax-14 1721  ax-6 1736  ax-7 1741  ax-11 1753  ax-12 1939  ax-ext 2369  ax-rep 4262  ax-sep 4272  ax-nul 4280  ax-pow 4319  ax-pr 4345  ax-un 4642  ax-inf2 7530  ax-cnex 8980  ax-resscn 8981  ax-1cn 8982  ax-icn 8983  ax-addcl 8984  ax-addrcl 8985  ax-mulcl 8986  ax-mulrcl 8987  ax-mulcom 8988  ax-addass 8989  ax-mulass 8990  ax-distr 8991  ax-i2m1 8992  ax-1ne0 8993  ax-1rid 8994  ax-rnegex 8995  ax-rrecex 8996  ax-cnre 8997  ax-pre-lttri 8998  ax-pre-lttrn 8999  ax-pre-ltadd 9000  ax-pre-mulgt0 9001  ax-pre-sup 9002  ax-addf 9003  ax-mulf 9004
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1325  df-ex 1548  df-nf 1551  df-sb 1656  df-eu 2243  df-mo 2244  df-clab 2375  df-cleq 2381  df-clel 2384  df-nfc 2513  df-ne 2553  df-nel 2554  df-ral 2655  df-rex 2656  df-reu 2657  df-rmo 2658  df-rab 2659  df-v 2902  df-sbc 3106  df-csb 3196  df-dif 3267  df-un 3269  df-in 3271  df-ss 3278  df-pss 3280  df-nul 3573  df-if 3684  df-pw 3745  df-sn 3764  df-pr 3765  df-tp 3766  df-op 3767  df-uni 3959  df-int 3994  df-iun 4038  df-iin 4039  df-br 4155  df-opab 4209  df-mpt 4210  df-tr 4245  df-eprel 4436  df-id 4440  df-po 4445  df-so 4446  df-fr 4483  df-se 4484  df-we 4485  df-ord 4526  df-on 4527  df-lim 4528  df-suc 4529  df-om 4787  df-xp 4825  df-rel 4826  df-cnv 4827  df-co 4828  df-dm 4829  df-rn 4830  df-res 4831  df-ima 4832  df-iota 5359  df-fun 5397  df-fn 5398  df-f 5399  df-f1 5400  df-fo 5401  df-f1o 5402  df-fv 5403  df-isom 5404  df-ov 6024  df-oprab 6025  df-mpt2 6026  df-of 6245  df-1st 6289  df-2nd 6290  df-riota 6486  df-recs 6570  df-rdg 6605  df-1o 6661  df-2o 6662  df-oadd 6665  df-er 6842  df-map 6957  df-pm 6958  df-ixp 7001  df-en 7047  df-dom 7048  df-sdom 7049  df-fin 7050  df-fi 7352  df-sup 7382  df-oi 7413  df-card 7760  df-cda 7982  df-pnf 9056  df-mnf 9057  df-xr 9058  df-ltxr 9059  df-le 9060  df-sub 9226  df-neg 9227  df-div 9611  df-nn 9934  df-2 9991  df-3 9992  df-4 9993  df-5 9994  df-6 9995  df-7 9996  df-8 9997  df-9 9998  df-10 9999  df-n0 10155  df-z 10216  df-dec 10316  df-uz 10422  df-q 10508  df-rp 10546  df-xneg 10643  df-xadd 10644  df-xmul 10645  df-ioo 10853  df-ioc 10854  df-ico 10855  df-icc 10856  df-fz 10977  df-fzo 11067  df-fl 11130  df-mod 11179  df-seq 11252  df-exp 11311  df-fac 11495  df-bc 11522  df-hash 11547  df-shft 11810  df-cj 11832  df-re 11833  df-im 11834  df-sqr 11968  df-abs 11969  df-limsup 12193  df-clim 12210  df-rlim 12211  df-o1 12212  df-lo1 12213  df-sum 12408  df-ef 12598  df-e 12599  df-sin 12600  df-cos 12601  df-pi 12603  df-dvds 12781  df-gcd 12935  df-prm 13008  df-pc 13139  df-struct 13399  df-ndx 13400  df-slot 13401  df-base 13402  df-sets 13403  df-ress 13404  df-plusg 13470  df-mulr 13471  df-starv 13472  df-sca 13473  df-vsca 13474  df-tset 13476  df-ple 13477  df-ds 13479  df-unif 13480  df-hom 13481  df-cco 13482  df-rest 13578  df-topn 13579  df-topgen 13595  df-pt 13596  df-prds 13599  df-xrs 13654  df-0g 13655  df-gsum 13656  df-qtop 13661  df-imas 13662  df-xps 13664  df-mre 13739  df-mrc 13740  df-acs 13742  df-mnd 14618  df-submnd 14667  df-mulg 14743  df-cntz 15044  df-cmn 15342  df-xmet 16620  df-met 16621  df-bl 16622  df-mopn 16623  df-fbas 16624  df-fg 16625  df-cnfld 16628  df-top 16887  df-bases 16889  df-topon 16890  df-topsp 16891  df-cld 17007  df-ntr 17008  df-cls 17009  df-nei 17086  df-lp 17124  df-perf 17125  df-cn 17214  df-cnp 17215  df-haus 17302  df-tx 17516  df-hmeo 17709  df-fil 17800  df-fm 17892  df-flim 17893  df-flf 17894  df-xms 18260  df-ms 18261  df-tms 18262  df-cncf 18780  df-limc 19621  df-dv 19622  df-log 20322  df-cxp 20323  df-cht 20747  df-ppi 20750
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