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Theorem chtppilim 20624
Description: The  theta function is asymptotic to π ( x ) log ( x ), so it is sufficient to prove 
theta ( x )  /  x 
~~> r  1 to establish the PNT. (Contributed by Mario Carneiro, 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtppilim  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1

Proof of Theorem chtppilim
Dummy variables  y 
z are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 1re 8837 . . . . . . . . . 10  |-  1  e.  RR
2 rehalfcl 9938 . . . . . . . . . 10  |-  ( 1  e.  RR  ->  (
1  /  2 )  e.  RR )
31, 2ax-mp 8 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  e.  RR
4 rpre 10360 . . . . . . . . . 10  |-  ( y  e.  RR+  ->  y  e.  RR )
5 resubcl 9111 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( 1  -  y
)  e.  RR )
61, 4, 5sylancr 644 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  e.  RR )
7 ifcl 3601 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  e.  RR  /\  ( 1  -  y
)  e.  RR )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
83, 6, 7sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
9 0re 8838 . . . . . . . . . 10  |-  0  e.  RR
109a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  e.  RR )
113a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  e.  RR )
12 halfgt0 9932 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  ( 1  /  2
)
1312a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
( 1  /  2
) )
14 max2 10516 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  / 
2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
156, 3, 14sylancl 643 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  /  2 )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
1610, 11, 8, 13, 15ltletrd 8976 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  < 
if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )
178, 16elrpd 10388 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR+ )
1817rpsqrcld 11894 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  e.  RR+ )
19 halflt1 9933 . . . . . . . . 9  |-  ( 1  /  2 )  <  1
20 ltsubrp 10385 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  y  e.  RR+ )  -> 
( 1  -  y
)  <  1 )
211, 20mpan 651 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( 1  -  y )  <  1 )
22 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  /  2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  / 
2 )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
23 breq1 4026 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( 1  -  y )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  -> 
( ( 1  -  y )  <  1  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 ) )
2422, 23ifboth 3596 . . . . . . . . 9  |-  ( ( ( 1  /  2
)  <  1  /\  ( 1  -  y
)  <  1 )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2519, 21, 24sylancr 644 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  1 )
2617rpge0d 10394 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
271a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  1  e.  RR )
28 0le1 9297 . . . . . . . . . 10  |-  0  <_  1
2928a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( y  e.  RR+  ->  0  <_ 
1 )
308, 26, 27, 29sqrltd 11910 . . . . . . . 8  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  1  <->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )  <  ( sqr `  1
) ) )
3125, 30mpbid 201 . . . . . . 7  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  < 
( sqr `  1
) )
32 sqr1 11757 . . . . . . 7  |-  ( sqr `  1 )  =  1
3331, 32syl6breq 4062 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) )  <  1 )
3418, 33chtppilimlem2 20623 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x
) ) )
356adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
1  -  y )  e.  RR )
36 max1 10514 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  ( 1  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
3735, 3, 36sylancl 643 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
388adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR )
39 2re 9815 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  2  e.  RR
40 elicopnf 10739 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( 2  e.  RR  ->  (
x  e.  ( 2 [,)  +oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) ) )
4139, 40ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  <->  ( x  e.  RR  /\  2  <_  x ) )
4241simplbi 446 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR )
43 chtcl 20347 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  RR  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
4442, 43syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
45 ppinncl 20412 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( x  e.  RR  /\  2  <_  x )  -> 
(π `  x )  e.  NN )
4641, 45sylbi 187 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  NN )
4746nnrpd 10389 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (π `  x )  e.  RR+ )
481a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  1  e.  RR )
4939a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  e.  RR )
50 1lt2 9886 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  1  <  2
5150a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  1  <  2 )
5241simprbi 450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  2  <_  x )
5348, 49, 42, 51, 52ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  1  <  x )
5442, 53rplogcld 19980 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( log `  x )  e.  RR+ )
5547, 54rpmulcld 10406 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR+ )
5644, 55rerpdivcld 10417 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
5756adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )
58 lelttr 8912 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( ( 1  -  y
)  e.  RR  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR )  ->  ( ( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
5935, 38, 57, 58syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( 1  -  y )  <_  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  /\  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ->  ( 1  -  y )  <  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
6037, 59mpand 656 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  -> 
( 1  -  y
)  <  ( ( theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
618recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( y  e.  RR+  ->  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) )  e.  CC )
6261sqsqrd 11921 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) ) )
6362adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  =  if ( ( 1  -  y
)  <_  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  /  2
) ,  ( 1  -  y ) ) )
6463oveq1d 5873 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  =  ( if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6564breq1d 4033 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
) )
6644adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  ( theta `  x )  e.  RR )
6755rpregt0d 10396 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
6867adantl 452 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )
69 ltmuldiv 9626 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) )  e.  RR  /\  ( theta `  x )  e.  RR  /\  ( ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  RR  /\  0  <  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
7038, 66, 68, 69syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( if ( ( 1  -  y )  <_  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y ) )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
7165, 70bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  <->  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) )  <  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
729a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  e.  RR )
73 2pos 9828 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  0  <  2
7473a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  2 )
7572, 49, 42, 74, 52ltletrd 8976 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  0  <  x )
7642, 75elrpd 10388 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  x  e.  RR+ )
77 chtleppi 20449 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  RR+  ->  ( theta `  x )  <_  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7876, 77syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  <_ 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )
7955rpcnd 10392 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) )  e.  CC )
8079mulid1d 8852 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 )  =  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )
8178, 80breqtrrd 4049 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( theta `  x )  <_ 
( ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) )  x.  1 ) )
8244, 48, 55ledivmuld 10439 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <_  1  <->  ( theta `  x )  <_  (
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) )  x.  1 ) ) )
8381, 82mpbird 223 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  <_  1 )
8456, 48, 83abssuble0d 11915 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  ( abs `  ( ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  =  ( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
8584breq1d 4033 . . . . . . . . . . 11  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
8685adantl 452 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  <  y ) )
871a1i 10 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  1  e.  RR )
884adantr 451 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  y  e.  RR )
89 ltsub23 9254 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  RR  /\  y  e.  RR )  ->  ( ( 1  -  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  <  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) ) )
9087, 57, 88, 89syl3anc 1182 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( 1  -  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
9186, 90bitrd 244 . . . . . . . . 9  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y  <->  ( 1  -  y )  < 
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) ) )
9260, 71, 913imtr4d 259 . . . . . . . 8  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9392imim2d 48 . . . . . . 7  |-  ( ( y  e.  RR+  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( z  <_  x  ->  ( ( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_ 
( 1  /  2
) ,  ( 1  /  2 ) ,  ( 1  -  y
) ) ) ^
2 )  x.  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  < 
( theta `  x )
)  ->  ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  < 
y ) ) )
9493ralimdva 2621 . . . . . 6  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  A. x  e.  (
2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( ( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
9594reximdv 2654 . . . . 5  |-  ( y  e.  RR+  ->  ( E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  (
( ( sqr `  if ( ( 1  -  y )  <_  (
1  /  2 ) ,  ( 1  / 
2 ) ,  ( 1  -  y ) ) ) ^ 2 )  x.  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  <  ( theta `  x ) )  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  ( ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) )  - 
1 ) )  < 
y ) ) )
9634, 95mpd 14 . . . 4  |-  ( y  e.  RR+  ->  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) )
9796rgen 2608 . . 3  |-  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y )
9856recnd 8861 . . . . . 6  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
9998adantl 452 . . . . 5  |-  ( (  T.  /\  x  e.  ( 2 [,)  +oo ) )  ->  (
( theta `  x )  /  ( (π `  x
)  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
10099ralrimiva 2626 . . . 4  |-  (  T. 
->  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo )
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  e.  CC )
10142ssriv 3184 . . . . 5  |-  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR
102101a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  ( 2 [,)  +oo )  C_  RR )
103 ax-1cn 8795 . . . . 5  |-  1  e.  CC
104103a1i 10 . . . 4  |-  (  T. 
->  1  e.  CC )
105100, 102, 104rlim2 11970 . . 3  |-  (  T. 
->  ( ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x )  /  (
(π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1  <->  A. y  e.  RR+  E. z  e.  RR  A. x  e.  ( 2 [,)  +oo ) ( z  <_  x  ->  ( abs `  (
( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) )  -  1 ) )  <  y ) ) )
10697, 105mpbiri 224 . 2  |-  (  T. 
->  ( x  e.  ( 2 [,)  +oo )  |->  ( ( theta `  x
)  /  ( (π `  x )  x.  ( log `  x ) ) ) )  ~~> r  1 )
107106trud 1314 1  |-  ( x  e.  ( 2 [,) 
+oo )  |->  ( (
theta `  x )  / 
( (π `  x )  x.  ( log `  x
) ) ) )  ~~> r  1
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:    -> wi 4    <-> wb 176    /\ wa 358    T. wtru 1307    = wceq 1623    e. wcel 1684   A.wral 2543   E.wrex 2544    C_ wss 3152   ifcif 3565   class class class wbr 4023    e. cmpt 4077   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    x. cmul 8742    +oocpnf 8864    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   RR+crp 10354   [,)cico 10658   ^cexp 11104   sqrcsqr 11718   abscabs 11719    ~~> r crli 11959   logclog 19912   thetaccht 20328  πcppi 20331
This theorem is referenced by:  chebbnd2  20626  chto1lb  20627  pnt  20763
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-o1 11964  df-lo1 11965  df-sum 12159  df-ef 12349  df-e 12350  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cxp 19915  df-cht 20334  df-ppi 20337
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