MPE Home Metamath Proof Explorer < Previous   Next >
Nearby theorems
Mirrors  >  Home  >  MPE Home  >  Th. List  >  chtub Unicode version

Theorem chtub 20451
Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtub  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  N )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )

Proof of Theorem chtub
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5525 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  N )  =  2  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  2 )
)
2 2re 9815 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
3 1lt2 9886 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
4 rplogcl 19958 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
52, 3, 4mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
6 elrp 10356 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  <->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
75, 6mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) )
87simpli 444 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR
98recni 8849 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  e.  CC
109mulid1i 8839 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  ( log `  2
)
11 cht2 20410 . . . . . 6  |-  ( theta `  2 )  =  ( log `  2
)
1210, 11eqtr4i 2306 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  ( theta `  2 )
131, 12syl6reqr 2334 . . . 4  |-  ( ( |_ `  N )  =  2  ->  (
( log `  2
)  x.  1 )  =  ( theta `  ( |_ `  N ) ) )
14 chtfl 20387 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N )
)
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N )
)
1613, 15sylan9eqr 2337 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  (
theta `  N ) )
17 2t2e4 9871 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
18 df-4 9806 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1917, 18eqtri 2303 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  ( 3  +  1 )
20 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  2  <  N )
212a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  2  e.  RR )
22 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  ->  N  e.  RR )
2322adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  N  e.  RR )
24 2pos 9828 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
252, 24pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2625a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
27 ltmul2 9607 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 2  < 
N  <->  ( 2  x.  2 )  <  (
2  x.  N ) ) )
2821, 23, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  <  N  <->  ( 2  x.  2 )  < 
( 2  x.  N
) ) )
2920, 28mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  x.  2 )  < 
( 2  x.  N
) )
3019, 29syl5eqbrr 4057 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 3  +  1 )  < 
( 2  x.  N
) )
31 3re 9817 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
3231a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  3  e.  RR )
33 1re 8837 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3433a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  1  e.  RR )
35 remulcl 8822 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
362, 22, 35sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
3736adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
38 ltaddsub2 9249 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  x.  N )  e.  RR )  -> 
( ( 3  +  1 )  <  (
2  x.  N )  <->  1  <  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
3932, 34, 37, 38syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( (
3  +  1 )  <  ( 2  x.  N )  <->  1  <  ( ( 2  x.  N
)  -  3 ) ) )
4030, 39mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  1  <  ( ( 2  x.  N
)  -  3 ) )
41 resubcl 9111 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
4236, 31, 41sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
4342adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( (
2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
447a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
45 ltmul2 9607 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( 1  <  (
( 2  x.  N
)  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  1 )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
4634, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 1  <  ( ( 2  x.  N )  - 
3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
4740, 46mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
4816, 47eqbrtrrd 4045 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( theta `  N )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
49 chtcl 20347 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
5049ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  e.  RR )
51 reflcl 10928 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
5251ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
53 remulcl 8822 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( |_ `  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  N ) )  e.  RR )
542, 52, 53sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  e.  RR )
55 resubcl 9111 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  N ) )  -  3 )  e.  RR )
5654, 31, 55sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  e.  RR )
57 remulcl 8822 . . . 4  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  e.  RR )
588, 56, 57sylancr 644 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  e.  RR )
5942adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  - 
3 )  e.  RR )
60 remulcl 8822 . . . 4  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) )  e.  RR )
618, 59, 60sylancr 644 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) )  e.  RR )
6215adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N
) )
63 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
64 df-3 9805 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6564fveq2i 5528 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  =  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
6663, 65syl6eleqr 2374 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  3 ) )
67 eluzfz2 10804 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( |_ `  N )  e.  ( 3 ... ( |_
`  N ) ) )
68 3nn 9878 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
6968nnzi 10047 . . . . . . 7  |-  3  e.  ZZ
70 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  3  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... 3
) )
7170raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( x  =  3  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... 3 ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
72 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... n
) )
7372raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
74 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... (
n  +  1 ) ) )
7574raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... ( n  + 
1 ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
76 oveq2 5866 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( |_ `  N )  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... ( |_ `  N ) ) )
7776raleqdv 2742 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( |_ `  N )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... ( |_ `  N ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
78 6lt8 9908 . . . . . . . . . . 11  |-  6  <  8
79 6re 9822 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  RR
80 6pos 9834 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
8179, 80elrpii 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR+
82 8re 9824 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  RR
83 8pos 9836 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  8
8482, 83elrpii 10357 . . . . . . . . . . . 12  |-  8  e.  RR+
85 logltb 19953 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 6  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
6  <  8  <->  ( log `  6 )  <  ( log `  8 ) ) )
8681, 84, 85mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 6  <  8  <->  ( log `  6 )  <  ( log `  8 ) )
8778, 86mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  6 )  < 
( log `  8
)
8887a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( log `  6 )  < 
( log `  8
) )
89 elfz1eq 10807 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  k  =  3 )
9089fveq2d 5529 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  3 )
)
91 cht3 20411 . . . . . . . . . 10  |-  ( theta `  3 )  =  ( log `  6
)
9290, 91syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  =  ( log `  6
) )
9389oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  3 ) )
9493oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  3 )  - 
3 ) )
95 3cn 9818 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
96952timesi 9845 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  +  3 )
9796oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  ( ( 3  +  3 )  -  3 )
98 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3 )
9995, 95, 98mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3
10097, 99eqtri 2303 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  3
10194, 100syl6eq 2331 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  3 )
102101oveq2d 5874 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  3 ) )
103 2rp 10359 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
104 relogcl 19932 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
105103, 104ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( log `  2 )  e.  RR
106105recni 8849 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  CC
107106, 95mulcomi 8843 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
108 relogexp 19949 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
109103, 69, 108mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
110107, 109eqtr4i 2306 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( log `  (
2 ^ 3 ) )
111 cu2 11201 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
112111fveq2i 5528 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( log `  8 )
113110, 112eqtri 2303 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( log `  8
)
114102, 113syl6eq 2331 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( log `  8
) )
11588, 92, 1143brtr4d 4053 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
116115rgen 2608 . . . . . . 7  |-  A. k  e.  ( 3 ... 3
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )
117 df-2 9804 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
118 2cn 9816 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
119 2ne0 9829 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =/=  0
120118, 119dividi 9493 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  /  2 )  =  1
121 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  n )
12264, 121syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  +  1 )  <_  n )
123 2z 10054 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ZZ
124 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  ZZ )
125 zltp1le 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  +  1 )  <_  n ) )
126123, 124, 125sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  +  1 )  <_  n ) )
127122, 126mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  n )
128 eluzelre 10239 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  RR )
129 ltdiv1 9620 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 2  < 
n  <->  ( 2  / 
2 )  <  (
n  /  2 ) ) )
1302, 25, 129mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  RR  ->  (
2  <  n  <->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) ) )
131128, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) ) )
132127, 131mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) )
133120, 132syl5eqbrr 4057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  ( n  /  2 ) )
134128rehalfcld 9958 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  /  2 )  e.  RR )
135 ltadd1 9241 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( n  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1  <  (
n  /  2 )  <-> 
( 1  +  1 )  <  ( ( n  /  2 )  +  1 ) ) )
13633, 33, 135mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  2 )  e.  RR  ->  (
1  <  ( n  /  2 )  <->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
137134, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <  ( n  / 
2 )  <->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
138133, 137mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) )
139117, 138syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  ( ( n  /  2
)  +  1 ) )
140139adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  <  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
141 peano2z 10060 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  +  1 )  e.  ZZ )
142141adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ )
143 zltp1le 10067 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( 2  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  <->  ( 2  +  1 )  <_  (
( n  /  2
)  +  1 ) ) )
144123, 142, 143sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  <  (
( n  /  2
)  +  1 )  <-> 
( 2  +  1 )  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) ) )
145140, 144mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  +  1 )  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
14664, 145syl5eqbr 4056 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
3  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
14733a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  RR )
148 ltle 8910 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( n  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( n  /  2
)  ->  1  <_  ( n  /  2 ) ) )
14933, 134, 148sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <  ( n  / 
2 )  ->  1  <_  ( n  /  2
) ) )
150133, 149mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <_  ( n  /  2 ) )
151147, 134, 134, 150leadd2dd 9387 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  1 )  <_ 
( ( n  / 
2 )  +  ( n  /  2 ) ) )
152128recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  CC )
1531522halvesd 9957 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  ( n  / 
2 ) )  =  n )
154151, 153breqtrd 4047 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  1 )  <_  n )
155154adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  <_  n )
156 elfz 10788 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <->  ( 3  <_  ( ( n  /  2 )  +  1 )  /\  (
( n  /  2
)  +  1 )  <_  n ) ) )
15769, 156mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <-> 
( 3  <_  (
( n  /  2
)  +  1 )  /\  ( ( n  /  2 )  +  1 )  <_  n
) ) )
158141, 124, 157syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( n  /  2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <-> 
( 3  <_  (
( n  /  2
)  +  1 )  /\  ( ( n  /  2 )  +  1 )  <_  n
) ) )
159146, 155, 158mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n ) )
160 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) ) )
161 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
162161oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )
163162oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) )
164160, 163breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
165164rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) ) ) )
166159, 165syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
167134recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  /  2 )  e.  CC )
168167adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  /  2
)  e.  CC )
169 ax-1cn 8795 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
170 adddi 8826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( n  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  /  2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
171118, 169, 170mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  / 
2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
172168, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  /  2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
173152adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
174 divcan2 9432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
175118, 119, 174mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  CC  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
176173, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  /  2 ) )  =  n )
177118mulid1i 8839 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
178177a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  1 )  =  2 )
179176, 178oveq12d 5876 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  /  2
) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( n  +  2 ) )
180172, 179eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( n  +  2 ) )
181180oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 )  =  ( ( n  +  2 )  -  3 ) )
18264eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  +  1 )  =  3
18395, 118, 169, 182subaddrii 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  -  2 )  =  1
184183oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( n  -  1 )
185 subsub3 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  - 
3 ) )
18695, 118, 185mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  - 
3 ) )
187173, 186syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  -  3 ) )
188184, 187syl5reqr 2330 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  3 )  =  ( n  -  1 ) )
189181, 188eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 )  =  ( n  -  1 ) )
190189oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) ) )
191190breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) ) ) )
192142zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  RR )
193 chtcl 20347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  e.  RR )
194192, 193syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  e.  RR )
195128adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  RR )
196 peano2rem 9113 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
197195, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  1 )  e.  RR )
198 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( n  -  1
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
199105, 197, 198sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
200 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( log `  2
)  x.  n )  e.  RR )
201105, 195, 200sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  n )  e.  RR )
202194, 199, 201ltadd1d 9365 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( n  - 
1 ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) ) ) )
203106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
204197recnd 8861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  1 )  e.  CC )
205203, 204, 173adddid 8859 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( n  -  1 )  +  n ) )  =  ( ( ( log `  2 )  x.  ( n  - 
1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
206 adddi 8826 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
207118, 169, 206mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  CC  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
208173, 207syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
209177oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 )
210208, 209syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
211210oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  =  ( ( ( 2  x.  n
)  +  2 )  -  3 ) )
212 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )
213123, 124, 212sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
214213zcnd 10118 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
215214adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  CC )
216 subsub3 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  n
)  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  2 )  - 
3 ) )
21795, 118, 216mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  n
)  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  2 )  - 
3 ) )
218215, 217syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n
)  +  2 )  -  3 ) )
219183oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  n )  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  -  1 )
2201732timesd 9954 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  n
)  =  ( n  +  n ) )
221220oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  1 )  =  ( ( n  +  n )  -  1 ) )
222169a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
1  e.  CC )
223173, 173, 222addsubd 9178 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  +  n )  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
224221, 223eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
225219, 224syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
226211, 218, 2253eqtr2rd 2322 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  - 
1 )  +  n
)  =  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )
227226oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( n  -  1 )  +  n ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
228205, 227eqtr3d 2317 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) )
229228breq2d 4035 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
230191, 202, 2293bitrd 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
231 elfzuz 10794 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  ->  (
( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
232159, 231syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
233 nnuz 10263 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
234233uztrn2 10245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  NN )
23568, 232, 234sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  NN )
236 chtublem 20450 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
237235, 236syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
238180oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( n  +  2 )  -  1 ) )
239 addsubass 9061 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( n  +  2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
240118, 169, 239mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( n  +  2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
241173, 240syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
242117eqcomi 2287 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
243118, 169, 169, 242subaddrii 9135 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
244243oveq2i 5869 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( n  +  1 )
245241, 244syl6eq 2331 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  1 )  =  ( n  +  1 ) )
246238, 245eqtrd 2315 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( n  +  1 ) )
247246fveq2d 5529 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( theta `  (
n  +  1 ) ) )
248 pncan 9057 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  -  1 )  =  ( n  /  2 ) )
249168, 169, 248sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( n  /  2 )  +  1 )  -  1 )  =  ( n  /  2 ) )
250249oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( log `  4 )  x.  ( n  /  2
) ) )
251 relogexp 19949 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) ) )
252103, 123, 251mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) )
253 sq2 11199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
254253fveq2i 5528 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( log `  4 )
255118, 106mulcomi 8843 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( log `  2
)  x.  2 )
256252, 254, 2553eqtr3i 2311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  4 )  =  ( ( log `  2
)  x.  2 )
257256oveq1i 5868 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( log `  4 )  x.  ( n  / 
2 ) )  =  ( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  (
n  /  2 ) )
258118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  e.  CC )
259203, 258, 168mulassd 8858 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  (
n  /  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) ) )
260257, 259syl5eq 2327 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( n  /  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
261176oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  n ) )
262250, 260, 2613eqtrd 2319 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  n ) )
263262oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
264237, 247, 2633brtr3d 4052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
265 peano2uz 10272 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
266 eluzelz 10238 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
267265, 266syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
268267zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
269268adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  +  1 )  e.  RR )
270 chtcl 20347 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
271269, 270syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
272194, 201readdcld 8862 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  e.  RR )
273 zmulcl 10066 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
274123, 267, 273sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  ZZ )
275274zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
276 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
277275, 31, 276sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
278277adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
279 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
280105, 278, 279sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
281 lelttr 8912 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( theta `  ( n  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( ( theta `  (
n  +  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  /\  ( (
theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) )  ->  ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
282271, 272, 280, 281syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  /\  ( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
283264, 282mpand 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
284230, 283sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
285166, 284syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
286 eluzfz2 10804 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  ( 3 ... n
) )
287 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  n )
)
288 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
289288oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  n )  - 
3 ) )
290289oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) )
291287, 290breq12d 4036 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
292291rspcv 2880 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 3 ... n )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
293286, 292syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
294293adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
295213zred 10117 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
29631a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  RR )
297128ltp1d 9687 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  <  ( n  +  1 ) )
29825a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
299 ltmul2 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( 2  x.  n )  <  (
2  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
300128, 268, 298, 299syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( 2  x.  n )  <  (
2  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
301297, 300mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  < 
( 2  x.  (
n  +  1 ) ) )
302295, 275, 296, 301ltsub1dd 9384 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  n )  -  3 )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )
303 resubcl 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )
304295, 31, 303sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )
3057a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
306 ltmul2 9607 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  n )  - 
3 )  <  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
307304, 277, 305, 306syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( 2  x.  n
)  -  3 )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
308302, 307mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
309 chtcl 20347 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  RR  ->  ( theta `  n )  e.  RR )
310128, 309syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( theta `  n )  e.  RR )
311 remulcl 8822 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  e.  RR )
312105, 304, 311sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  e.  RR )
313105, 277, 279sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
314 lttr 8899 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( theta `  n )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  - 
3 ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  /\  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  -> 
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
315310, 312, 313, 314syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  ->  ( theta `  n )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
316308, 315mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
317316adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
318124adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
319 dvdsval2 12534 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
n  +  1 )  <-> 
( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
320123, 119, 319mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  ( (
n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
321267, 320syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2 
||  ( n  + 
1 )  <->  ( (
n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
322 2lt3 9887 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  <  3
3232, 31ltnlei 8939 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  <  3  <->  -.  3  <_  2 )
324322, 323mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -.  3  <_  2
325 breq2 4027 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  =  ( n  + 
1 )  ->  (
3  <_  2  <->  3  <_  ( n  +  1 ) ) )
326324, 325mtbii 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  =  ( n  + 
1 )  ->  -.  3  <_  ( n  + 
1 ) )
327 eluzle 10240 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  ( n  +  1 ) )
328265, 327syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  ( n  +  1 ) )
329326, 328nsyl3 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  -.  2  =  ( n  + 
1 ) )
330329adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  -.  2  =  ( n  +  1 ) )
331 uzid 10242 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
332123, 331ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
333 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
n  +  1 )  e.  Prime )
334 dvdsprm 12778 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  2  =  ( n  +  1
) ) )
335332, 333, 334sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  2  =  ( n  +  1
) ) )
336330, 335mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  -.  2  ||  ( n  + 
1 ) )
337336ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  Prime  ->  -.  2  ||  ( n  +  1 ) ) )
338337con2d 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2 
||  ( n  + 
1 )  ->  -.  ( n  +  1
)  e.  Prime )
)
339321, 338sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  -.  ( n  +  1
)  e.  Prime )
)
340339imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  -.  ( n  +  1 )  e.  Prime )
341 chtnprm 20392 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  -.  ( n  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( theta `  ( n  +  1 ) )  =  ( theta `  n
) )
342318, 340, 341syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  =  ( theta `  n
) )
343342breq1d 4033 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( theta `  n )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
344317, 343sylibrd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
345294, 344syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
346 zeo 10097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
347124, 346syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  e.  ZZ  \/  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
348285, 345, 347mpjaodan 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
349 ovex 5883 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  +  1 )  e. 
_V
350 fveq2 5525 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( n  +  1 ) ) )
351 oveq2 5866 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
352351oveq1d 5873 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )
353352oveq2d 5874 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
354350, 353breq12d 4036 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
355349, 354ralsn 3674 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  { (
n  +  1 ) }  ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  ( theta `  ( n  +  1 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
356348, 355syl6ibr 218 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  A. k  e.  {
( n  +  1 ) }  ( theta `  k )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
357356ancld 536 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e.  { (
n  +  1 ) }  ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) ) )
358 ralun 3357 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( 3 ... n ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e. 
{ ( n  + 
1 ) }  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ( 3 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
359 fzsuc 10835 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3 ... ( n  + 
1 ) )  =  ( ( 3 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) )
360359raleqdv 2742 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... ( n  + 
1 ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
( 3 ... n
)  u.  { ( n  +  1 ) } ) ( theta `  k )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
361358, 360syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e. 
{ ( n  + 
1 ) }  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )  ->  A. k  e.  ( 3 ... (
n  +  1 ) ) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
362357, 361syld 40 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  A. k  e.  ( 3 ... ( n  +  1 ) ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
36369, 71, 73, 75, 77, 116, 362uzind4i 10280 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A. k  e.  ( 3 ... ( |_ `  N ) ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
364 fveq2 5525 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( |_ `  N ) ) )
365 oveq2 5866 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( |_ `  N
) ) )
366365oveq1d 5873 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 ) )
367366oveq2d 5874 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
368364, 367breq12d 4036 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( |_ `  N ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) ) ) )
369368rspcv 2880 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( 3 ... ( |_ `  N
) )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... ( |_ `  N ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) ) )
37067, 363, 369sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( theta `  ( |_ `  N
) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) ) )
37166, 370syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
37262, 371eqbrtrrd 4045 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
37336adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
37431a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  3  e.  RR )
375 flle 10931 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  <_  N )
376375ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  <_  N
)
37722adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
37825a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
379 lemul2 9609 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  N
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_
`  N )  <_  N 
<->  ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
38052, 377, 378, 379syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  N )  <_  N 
<->  ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
381376, 380mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  <_  (
2  x.  N ) )
38254, 373, 374, 381lesub1dd 9388 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  <_  (
( 2  x.  N
)  -  3 ) )
3837a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
384 lemul2 9609 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  <_  (
( 2  x.  N
)  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) )  <_  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
38556, 59, 383, 384syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 )  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  <_  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
386382, 385mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  <_  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
38750, 58, 61, 372, 386ltletrd 8976 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
388123a1i 10 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
2  e.  ZZ )
389 flcl 10927 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  ZZ )
390389adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ZZ )
391 ltle 8910 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N )
)
3922, 391mpan 651 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  N ) )
393 flge 10937 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  N  <->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
394123, 393mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <_  N  <->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
395392, 394sylibd 205 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
396395imp 418 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
2  <_  ( |_ `  N ) )
397 eluz2 10236 . . . 4  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_
`  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( |_ `  N
) ) )
398388, 390, 396, 397syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
399 uzp1 10261 . . 3  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( |_ `  N )  =  2  \/  ( |_
`  N )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
400398, 399syl 15 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( ( |_ `  N )  =  2  \/  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
40148, 387, 400mpjaodan 761 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  N )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1623    e. wcel 1684    =/= wne 2446   A.wral 2543    u. cun 3150   {csn 3640   class class class wbr 4023   ` cfv 5255  (class class class)co 5858   CCcc 8735   RRcr 8736   0cc0 8737   1c1 8738    + caddc 8740    x. cmul 8742    < clt 8867    <_ cle 8868    - cmin 9037    / cdiv 9423   NNcn 9746   2c2 9795   3c3 9796   4c4 9797   6c6 9799   8c8 9801   ZZcz 10024   ZZ>=cuz 10230   RR+crp 10354   ...cfz 10782   |_cfl 10924   ^cexp 11104    || cdivides 12531   Primecprime 12758   logclog 19912   thetaccht 20328
This theorem is referenced by:  bposlem6  20528  chto1ub  20625
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1533  ax-5 1544  ax-17 1603  ax-9 1635  ax-8 1643  ax-13 1686  ax-14 1688  ax-6 1703  ax-7 1708  ax-11 1715  ax-12 1866  ax-ext 2264  ax-rep 4131  ax-sep 4141  ax-nul 4149  ax-pow 4188  ax-pr 4214  ax-un 4512  ax-inf2 7342  ax-cnex 8793  ax-resscn 8794  ax-1cn 8795  ax-icn 8796  ax-addcl 8797  ax-addrcl 8798  ax-mulcl 8799  ax-mulrcl 8800  ax-mulcom 8801  ax-addass 8802  ax-mulass 8803  ax-distr 8804  ax-i2m1 8805  ax-1ne0 8806  ax-1rid 8807  ax-rnegex 8808  ax-rrecex 8809  ax-cnre 8810  ax-pre-lttri 8811  ax-pre-lttrn 8812  ax-pre-ltadd 8813  ax-pre-mulgt0 8814  ax-pre-sup 8815  ax-addf 8816  ax-mulf 8817
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1529  df-nf 1532  df-sb 1630  df-eu 2147  df-mo 2148  df-clab 2270  df-cleq 2276  df-clel 2279  df-nfc 2408  df-ne 2448  df-nel 2449  df-ral 2548  df-rex 2549  df-reu 2550  df-rmo 2551  df-rab 2552  df-v 2790  df-sbc 2992  df-csb 3082  df-dif 3155  df-un 3157  df-in 3159  df-ss 3166  df-pss 3168  df-nul 3456  df-if 3566  df-pw 3627  df-sn 3646  df-pr 3647  df-tp 3648  df-op 3649  df-uni 3828  df-int 3863  df-iun 3907  df-iin 3908  df-br 4024  df-opab 4078  df-mpt 4079  df-tr 4114  df-eprel 4305  df-id 4309  df-po 4314  df-so 4315  df-fr 4352  df-se 4353  df-we 4354  df-ord 4395  df-on 4396  df-lim 4397  df-suc 4398  df-om 4657  df-xp 4695  df-rel 4696  df-cnv 4697  df-co 4698  df-dm 4699  df-rn 4700  df-res 4701  df-ima 4702  df-iota 5219  df-fun 5257  df-fn 5258  df-f 5259  df-f1 5260  df-fo 5261  df-f1o 5262  df-fv 5263  df-isom 5264  df-ov 5861  df-oprab 5862  df-mpt2 5863  df-of 6078  df-1st 6122  df-2nd 6123  df-riota 6304  df-recs 6388  df-rdg 6423  df-1o 6479  df-2o 6480  df-oadd 6483  df-er 6660  df-map 6774  df-pm 6775  df-ixp 6818  df-en 6864  df-dom 6865  df-sdom 6866  df-fin 6867  df-fi 7165  df-sup 7194  df-oi 7225  df-card 7572  df-cda 7794  df-pnf 8869  df-mnf 8870  df-xr 8871  df-ltxr 8872  df-le 8873  df-sub 9039  df-neg 9040  df-div 9424  df-nn 9747  df-2 9804  df-3 9805  df-4 9806  df-5 9807  df-6 9808  df-7 9809  df-8 9810  df-9 9811  df-10 9812  df-n0 9966  df-z 10025  df-dec 10125  df-uz 10231  df-q 10317  df-rp 10355  df-xneg 10452  df-xadd 10453  df-xmul 10454  df-ioo 10660  df-ioc 10661  df-ico 10662  df-icc 10663  df-fz 10783  df-fzo 10871  df-fl 10925  df-mod 10974  df-seq 11047  df-exp 11105  df-fac 11289  df-bc 11316  df-hash 11338  df-shft 11562  df-cj 11584  df-re 11585  df-im 11586  df-sqr 11720  df-abs 11721  df-limsup 11945  df-clim 11962  df-rlim 11963  df-sum 12159  df-ef 12349  df-sin 12351  df-cos 12352  df-pi 12354  df-dvds 12532  df-gcd 12686  df-prm 12759  df-pc 12890  df-struct 13150  df-ndx 13151  df-slot 13152  df-base 13153  df-sets 13154  df-ress 13155  df-plusg 13221  df-mulr 13222  df-starv 13223  df-sca 13224  df-vsca 13225  df-tset 13227  df-ple 13228  df-ds 13230  df-hom 13232  df-cco 13233  df-rest 13327  df-topn 13328  df-topgen 13344  df-pt 13345  df-prds 13348  df-xrs 13403  df-0g 13404  df-gsum 13405  df-qtop 13410  df-imas 13411  df-xps 13413  df-mre 13488  df-mrc 13489  df-acs 13491  df-mnd 14367  df-submnd 14416  df-mulg 14492  df-cntz 14793  df-cmn 15091  df-xmet 16373  df-met 16374  df-bl 16375  df-mopn 16376  df-cnfld 16378  df-top 16636  df-bases 16638  df-topon 16639  df-topsp 16640  df-cld 16756  df-ntr 16757  df-cls 16758  df-nei 16835  df-lp 16868  df-perf 16869  df-cn 16957  df-cnp 16958  df-haus 17043  df-tx 17257  df-hmeo 17446  df-fbas 17520  df-fg 17521  df-fil 17541  df-fm 17633  df-flim 17634  df-flf 17635  df-xms 17885  df-ms 17886  df-tms 17887  df-cncf 18382  df-limc 19216  df-dv 19217  df-log 19914  df-cht 20334
  Copyright terms: Public domain W3C validator