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Theorem chtub 20996
Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtub  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  N )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )

Proof of Theorem chtub
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5728 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  N )  =  2  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  2 )
)
2 2re 10069 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
3 1lt2 10142 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
4 rplogcl 20499 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
52, 3, 4mp2an 654 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
6 elrp 10614 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  <->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
75, 6mpbi 200 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) )
87simpli 445 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR
98recni 9102 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  e.  CC
109mulid1i 9092 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  ( log `  2
)
11 cht2 20955 . . . . . 6  |-  ( theta `  2 )  =  ( log `  2
)
1210, 11eqtr4i 2459 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  ( theta `  2 )
131, 12syl6reqr 2487 . . . 4  |-  ( ( |_ `  N )  =  2  ->  (
( log `  2
)  x.  1 )  =  ( theta `  ( |_ `  N ) ) )
14 chtfl 20932 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N )
)
1514adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N )
)
1613, 15sylan9eqr 2490 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  (
theta `  N ) )
17 2t2e4 10127 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
18 df-4 10060 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1917, 18eqtri 2456 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  ( 3  +  1 )
20 simplr 732 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  2  <  N )
212a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  2  e.  RR )
22 simpl 444 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  ->  N  e.  RR )
2322adantr 452 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  N  e.  RR )
24 2pos 10082 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
252, 24pm3.2i 442 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2625a1i 11 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
27 ltmul2 9861 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 2  < 
N  <->  ( 2  x.  2 )  <  (
2  x.  N ) ) )
2821, 23, 26, 27syl3anc 1184 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  <  N  <->  ( 2  x.  2 )  < 
( 2  x.  N
) ) )
2920, 28mpbid 202 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  x.  2 )  < 
( 2  x.  N
) )
3019, 29syl5eqbrr 4246 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 3  +  1 )  < 
( 2  x.  N
) )
31 3re 10071 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
3231a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  3  e.  RR )
33 1re 9090 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3433a1i 11 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  1  e.  RR )
35 remulcl 9075 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
362, 22, 35sylancr 645 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
3736adantr 452 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
3832, 34, 37ltaddsub2d 9627 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( (
3  +  1 )  <  ( 2  x.  N )  <->  1  <  ( ( 2  x.  N
)  -  3 ) ) )
3930, 38mpbid 202 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  1  <  ( ( 2  x.  N
)  -  3 ) )
40 resubcl 9365 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
4136, 31, 40sylancl 644 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
4241adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( (
2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
437a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
44 ltmul2 9861 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( 1  <  (
( 2  x.  N
)  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  1 )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
4534, 42, 43, 44syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 1  <  ( ( 2  x.  N )  - 
3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
4639, 45mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
4716, 46eqbrtrrd 4234 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( theta `  N )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
48 chtcl 20892 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
4948ad2antrr 707 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  e.  RR )
50 reflcl 11205 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
5150ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
52 remulcl 9075 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( |_ `  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  N ) )  e.  RR )
532, 51, 52sylancr 645 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  e.  RR )
54 resubcl 9365 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  N ) )  -  3 )  e.  RR )
5553, 31, 54sylancl 644 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  e.  RR )
56 remulcl 9075 . . . 4  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  e.  RR )
578, 55, 56sylancr 645 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  e.  RR )
5841adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  - 
3 )  e.  RR )
59 remulcl 9075 . . . 4  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) )  e.  RR )
608, 58, 59sylancr 645 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) )  e.  RR )
6115adantr 452 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N
) )
62 simpr 448 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
63 df-3 10059 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6463fveq2i 5731 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  =  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
6562, 64syl6eleqr 2527 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  3 ) )
66 eluzfz2 11065 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( |_ `  N )  e.  ( 3 ... ( |_
`  N ) ) )
67 3nn 10134 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
6867nnzi 10305 . . . . . . 7  |-  3  e.  ZZ
69 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  3  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... 3
) )
7069raleqdv 2910 . . . . . . 7  |-  ( x  =  3  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... 3 ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
71 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... n
) )
7271raleqdv 2910 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
73 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... (
n  +  1 ) ) )
7473raleqdv 2910 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... ( n  + 
1 ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
75 oveq2 6089 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( |_ `  N )  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... ( |_ `  N ) ) )
7675raleqdv 2910 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( |_ `  N )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... ( |_ `  N ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
77 6lt8 10164 . . . . . . . . . . 11  |-  6  <  8
78 6re 10076 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  RR
79 6pos 10088 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
8078, 79elrpii 10615 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR+
81 8re 10078 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  RR
82 8pos 10090 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  8
8381, 82elrpii 10615 . . . . . . . . . . . 12  |-  8  e.  RR+
84 logltb 20494 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 6  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
6  <  8  <->  ( log `  6 )  <  ( log `  8 ) ) )
8580, 83, 84mp2an 654 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 6  <  8  <->  ( log `  6 )  <  ( log `  8 ) )
8677, 85mpbi 200 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  6 )  < 
( log `  8
)
8786a1i 11 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( log `  6 )  < 
( log `  8
) )
88 elfz1eq 11068 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  k  =  3 )
8988fveq2d 5732 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  3 )
)
90 cht3 20956 . . . . . . . . . 10  |-  ( theta `  3 )  =  ( log `  6
)
9189, 90syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  =  ( log `  6
) )
9288oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  3 ) )
9392oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  3 )  - 
3 ) )
94 3cn 10072 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
95942timesi 10101 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  +  3 )
9695oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  ( ( 3  +  3 )  -  3 )
97 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3 )
9894, 94, 97mp2an 654 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3
9996, 98eqtri 2456 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  3
10093, 99syl6eq 2484 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  3 )
101100oveq2d 6097 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  3 ) )
102 2rp 10617 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
103 relogcl 20473 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
104102, 103ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( log `  2 )  e.  RR
105104recni 9102 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  CC
106105, 94mulcomi 9096 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
107 relogexp 20490 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
108102, 68, 107mp2an 654 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
109106, 108eqtr4i 2459 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( log `  (
2 ^ 3 ) )
110 cu2 11479 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
111110fveq2i 5731 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( log `  8 )
112109, 111eqtri 2456 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( log `  8
)
113101, 112syl6eq 2484 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( log `  8
) )
11487, 91, 1133brtr4d 4242 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
115114rgen 2771 . . . . . . 7  |-  A. k  e.  ( 3 ... 3
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )
116 df-2 10058 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
117 2cn 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
118 2ne0 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =/=  0
119117, 118dividi 9747 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  /  2 )  =  1
120 eluzle 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  n )
12163, 120syl5eqbrr 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  +  1 )  <_  n )
122 2z 10312 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ZZ
123 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  ZZ )
124 zltp1le 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  +  1 )  <_  n ) )
125122, 123, 124sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  +  1 )  <_  n ) )
126121, 125mpbird 224 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  n )
127 eluzelre 10497 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  RR )
128 ltdiv1 9874 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 2  < 
n  <->  ( 2  / 
2 )  <  (
n  /  2 ) ) )
1292, 25, 128mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  RR  ->  (
2  <  n  <->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) ) )
130127, 129syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) ) )
131126, 130mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) )
132119, 131syl5eqbrr 4246 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  ( n  /  2 ) )
133127rehalfcld 10214 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  /  2 )  e.  RR )
134 ltadd1 9495 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( n  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1  <  (
n  /  2 )  <-> 
( 1  +  1 )  <  ( ( n  /  2 )  +  1 ) ) )
13533, 33, 134mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  2 )  e.  RR  ->  (
1  <  ( n  /  2 )  <->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
136133, 135syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <  ( n  / 
2 )  <->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
137132, 136mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) )
138116, 137syl5eqbr 4245 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  ( ( n  /  2
)  +  1 ) )
139138adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  <  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
140 peano2z 10318 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  +  1 )  e.  ZZ )
141140adantl 453 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ )
142 zltp1le 10325 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( 2  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  <->  ( 2  +  1 )  <_  (
( n  /  2
)  +  1 ) ) )
143122, 141, 142sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  <  (
( n  /  2
)  +  1 )  <-> 
( 2  +  1 )  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) ) )
144139, 143mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  +  1 )  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
14563, 144syl5eqbr 4245 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
3  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
14633a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  RR )
147 ltle 9163 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( n  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( n  /  2
)  ->  1  <_  ( n  /  2 ) ) )
14833, 133, 147sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <  ( n  / 
2 )  ->  1  <_  ( n  /  2
) ) )
149132, 148mpd 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <_  ( n  /  2 ) )
150146, 133, 133, 149leadd2dd 9641 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  1 )  <_ 
( ( n  / 
2 )  +  ( n  /  2 ) ) )
151127recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  CC )
1521512halvesd 10213 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  ( n  / 
2 ) )  =  n )
153150, 152breqtrd 4236 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  1 )  <_  n )
154153adantr 452 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  <_  n )
155 elfz 11049 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <->  ( 3  <_  ( ( n  /  2 )  +  1 )  /\  (
( n  /  2
)  +  1 )  <_  n ) ) )
15668, 155mp3an2 1267 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <-> 
( 3  <_  (
( n  /  2
)  +  1 )  /\  ( ( n  /  2 )  +  1 )  <_  n
) ) )
157140, 123, 156syl2anr 465 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( n  /  2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <-> 
( 3  <_  (
( n  /  2
)  +  1 )  /\  ( ( n  /  2 )  +  1 )  <_  n
) ) )
158145, 154, 157mpbir2and 889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n ) )
159 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) ) )
160 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
161160oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )
162161oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) )
163159, 162breq12d 4225 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
164163rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) ) ) )
165158, 164syl 16 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
166133recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  /  2 )  e.  CC )
167166adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  /  2
)  e.  CC )
168 ax-1cn 9048 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
169 adddi 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( n  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  /  2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
170117, 168, 169mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  / 
2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
171167, 170syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  /  2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
172151adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
173 divcan2 9686 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
174117, 118, 173mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  CC  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
175172, 174syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  /  2 ) )  =  n )
176117mulid1i 9092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
177176a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  1 )  =  2 )
178175, 177oveq12d 6099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  /  2
) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( n  +  2 ) )
179171, 178eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( n  +  2 ) )
180179oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 )  =  ( ( n  +  2 )  -  3 ) )
181 2p1e3 10103 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  +  1 )  =  3
18294, 117, 168, 181subaddrii 9389 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  -  2 )  =  1
183182oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( n  -  1 )
184 subsub3 9333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  - 
3 ) )
18594, 117, 184mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  - 
3 ) )
186172, 185syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  -  3 ) )
187183, 186syl5reqr 2483 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  3 )  =  ( n  -  1 ) )
188180, 187eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 )  =  ( n  -  1 ) )
189188oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) ) )
190189breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) ) ) )
191141zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  RR )
192 chtcl 20892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  e.  RR )
193191, 192syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  e.  RR )
194127adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  RR )
195 peano2rem 9367 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
196194, 195syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  1 )  e.  RR )
197 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( n  -  1
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
198104, 196, 197sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
199 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( log `  2
)  x.  n )  e.  RR )
200104, 194, 199sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  n )  e.  RR )
201193, 198, 200ltadd1d 9619 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( n  - 
1 ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) ) ) )
202105a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
203196recnd 9114 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  1 )  e.  CC )
204202, 203, 172adddid 9112 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( n  -  1 )  +  n ) )  =  ( ( ( log `  2 )  x.  ( n  - 
1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
205 adddi 9079 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
206117, 168, 205mp3an13 1270 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  CC  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
207172, 206syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
208176oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 )
209207, 208syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
210209oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  =  ( ( ( 2  x.  n
)  +  2 )  -  3 ) )
211 zmulcl 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )
212122, 123, 211sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
213212zcnd 10376 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
214213adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  CC )
215 subsub3 9333 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  n
)  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  2 )  - 
3 ) )
21694, 117, 215mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  n
)  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  2 )  - 
3 ) )
217214, 216syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n
)  +  2 )  -  3 ) )
218182oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  n )  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  -  1 )
2191722timesd 10210 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  n
)  =  ( n  +  n ) )
220219oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  1 )  =  ( ( n  +  n )  -  1 ) )
221168a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
1  e.  CC )
222172, 172, 221addsubd 9432 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  +  n )  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
223220, 222eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
224218, 223syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
225210, 217, 2243eqtr2rd 2475 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  - 
1 )  +  n
)  =  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )
226225oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( n  -  1 )  +  n ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
227204, 226eqtr3d 2470 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) )
228227breq2d 4224 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
229190, 201, 2283bitrd 271 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
230 elfzuz 11055 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  ->  (
( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
231158, 230syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
232 nnuz 10521 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
233232uztrn2 10503 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  NN )
23467, 231, 233sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  NN )
235 chtublem 20995 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
236234, 235syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
237179oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( n  +  2 )  -  1 ) )
238 addsubass 9315 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( n  +  2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
239117, 168, 238mp3an23 1271 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( n  +  2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
240172, 239syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
241 2m1e1 10095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
242241oveq2i 6092 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( n  +  1 )
243240, 242syl6eq 2484 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  1 )  =  ( n  +  1 ) )
244237, 243eqtrd 2468 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( n  +  1 ) )
245244fveq2d 5732 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( theta `  (
n  +  1 ) ) )
246 pncan 9311 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  -  1 )  =  ( n  /  2 ) )
247167, 168, 246sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( n  /  2 )  +  1 )  -  1 )  =  ( n  /  2 ) )
248247oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( log `  4 )  x.  ( n  /  2
) ) )
249 relogexp 20490 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) ) )
250102, 122, 249mp2an 654 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) )
251 sq2 11477 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
252251fveq2i 5731 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( log `  4 )
253117, 105mulcomi 9096 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( log `  2
)  x.  2 )
254250, 252, 2533eqtr3i 2464 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  4 )  =  ( ( log `  2
)  x.  2 )
255254oveq1i 6091 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( log `  4 )  x.  ( n  / 
2 ) )  =  ( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  (
n  /  2 ) )
256117a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  e.  CC )
257202, 256, 167mulassd 9111 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  (
n  /  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) ) )
258255, 257syl5eq 2480 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( n  /  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
259175oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  n ) )
260248, 258, 2593eqtrd 2472 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  n ) )
261260oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
262236, 245, 2613brtr3d 4241 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
263 peano2uz 10530 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
264 eluzelz 10496 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
265263, 264syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
266265zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
267266adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  +  1 )  e.  RR )
268 chtcl 20892 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
269267, 268syl 16 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
270193, 200readdcld 9115 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  e.  RR )
271 zmulcl 10324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
272122, 265, 271sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  ZZ )
273272zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
274 resubcl 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
275273, 31, 274sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
276275adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
277 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
278104, 276, 277sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
279 lelttr 9165 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( theta `  ( n  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( ( theta `  (
n  +  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  /\  ( (
theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) )  ->  ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
280269, 270, 278, 279syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  /\  ( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
281262, 280mpand 657 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
282229, 281sylbid 207 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
283165, 282syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
284 eluzfz2 11065 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  ( 3 ... n
) )
285 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  n )
)
286 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
287286oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  n )  - 
3 ) )
288287oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) )
289285, 288breq12d 4225 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
290289rspcv 3048 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 3 ... n )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
291284, 290syl 16 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
292291adantr 452 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
293212zred 10375 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
29431a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  RR )
295127ltp1d 9941 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  <  ( n  +  1 ) )
29625a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
297 ltmul2 9861 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( 2  x.  n )  <  (
2  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
298127, 266, 296, 297syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( 2  x.  n )  <  (
2  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
299295, 298mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  < 
( 2  x.  (
n  +  1 ) ) )
300293, 273, 294, 299ltsub1dd 9638 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  n )  -  3 )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )
301 resubcl 9365 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )
302293, 31, 301sylancl 644 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )
3037a1i 11 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
304 ltmul2 9861 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  n )  - 
3 )  <  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
305302, 275, 303, 304syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( 2  x.  n
)  -  3 )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
306300, 305mpbid 202 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
307 chtcl 20892 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  RR  ->  ( theta `  n )  e.  RR )
308127, 307syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( theta `  n )  e.  RR )
309 remulcl 9075 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  e.  RR )
310104, 302, 309sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  e.  RR )
311104, 275, 277sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
312 lttr 9152 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( theta `  n )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  - 
3 ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  /\  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  -> 
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
313308, 310, 311, 312syl3anc 1184 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  ->  ( theta `  n )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
314306, 313mpan2d 656 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
315314adantr 452 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
316123adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
317 dvdsval2 12855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
n  +  1 )  <-> 
( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
318122, 118, 317mp3an12 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  ( (
n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
319265, 318syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2 
||  ( n  + 
1 )  <->  ( (
n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
320 2lt3 10143 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  <  3
3212, 31ltnlei 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  <  3  <->  -.  3  <_  2 )
322320, 321mpbi 200 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -.  3  <_  2
323 breq2 4216 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  =  ( n  + 
1 )  ->  (
3  <_  2  <->  3  <_  ( n  +  1 ) ) )
324322, 323mtbii 294 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  =  ( n  + 
1 )  ->  -.  3  <_  ( n  + 
1 ) )
325 eluzle 10498 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  ( n  +  1 ) )
326263, 325syl 16 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  ( n  +  1 ) )
327324, 326nsyl3 113 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  -.  2  =  ( n  + 
1 ) )
328327adantr 452 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  -.  2  =  ( n  +  1 ) )
329 uzid 10500 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
330122, 329ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
331 simpr 448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
n  +  1 )  e.  Prime )
332 dvdsprm 13099 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  2  =  ( n  +  1
) ) )
333330, 331, 332sylancr 645 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  2  =  ( n  +  1
) ) )
334328, 333mtbird 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  -.  2  ||  ( n  + 
1 ) )
335334ex 424 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  Prime  ->  -.  2  ||  ( n  +  1 ) ) )
336335con2d 109 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2 
||  ( n  + 
1 )  ->  -.  ( n  +  1
)  e.  Prime )
)
337319, 336sylbird 227 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  -.  ( n  +  1
)  e.  Prime )
)
338337imp 419 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  -.  ( n  +  1 )  e.  Prime )
339 chtnprm 20937 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  -.  ( n  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( theta `  ( n  +  1 ) )  =  ( theta `  n
) )
340316, 338, 339syl2anc 643 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  =  ( theta `  n
) )
341340breq1d 4222 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( theta `  n )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
342315, 341sylibrd 226 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
343292, 342syld 42 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
344 zeo 10355 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
345123, 344syl 16 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  e.  ZZ  \/  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
346283, 343, 345mpjaodan 762 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
347 ovex 6106 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  +  1 )  e. 
_V
348 fveq2 5728 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( n  +  1 ) ) )
349 oveq2 6089 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
350349oveq1d 6096 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )
351350oveq2d 6097 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
352348, 351breq12d 4225 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
353347, 352ralsn 3849 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  { (
n  +  1 ) }  ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  ( theta `  ( n  +  1 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
354346, 353syl6ibr 219 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  A. k  e.  {
( n  +  1 ) }  ( theta `  k )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
355354ancld 537 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e.  { (
n  +  1 ) }  ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) ) )
356 ralun 3529 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( 3 ... n ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e. 
{ ( n  + 
1 ) }  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ( 3 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
357 fzsuc 11096 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3 ... ( n  + 
1 ) )  =  ( ( 3 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) )
358357raleqdv 2910 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... ( n  + 
1 ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
( 3 ... n
)  u.  { ( n  +  1 ) } ) ( theta `  k )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
359356, 358syl5ibr 213 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e. 
{ ( n  + 
1 ) }  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )  ->  A. k  e.  ( 3 ... (
n  +  1 ) ) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
360355, 359syld 42 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  A. k  e.  ( 3 ... ( n  +  1 ) ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
36168, 70, 72, 74, 76, 115, 360uzind4i 10538 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A. k  e.  ( 3 ... ( |_ `  N ) ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
362 fveq2 5728 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( |_ `  N ) ) )
363 oveq2 6089 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( |_ `  N
) ) )
364363oveq1d 6096 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 ) )
365364oveq2d 6097 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
366362, 365breq12d 4225 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( |_ `  N ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) ) ) )
367366rspcv 3048 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( 3 ... ( |_ `  N
) )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... ( |_ `  N ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) ) )
36866, 361, 367sylc 58 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( theta `  ( |_ `  N
) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) ) )
36965, 368syl 16 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
37061, 369eqbrtrrd 4234 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
37136adantr 452 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
37231a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  3  e.  RR )
373 flle 11208 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  <_  N )
374373ad2antrr 707 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  <_  N
)
37522adantr 452 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
37625a1i 11 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
377 lemul2 9863 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  N
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_
`  N )  <_  N 
<->  ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
37851, 375, 376, 377syl3anc 1184 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  N )  <_  N 
<->  ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
379374, 378mpbid 202 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  <_  (
2  x.  N ) )
38053, 371, 372, 379lesub1dd 9642 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  <_  (
( 2  x.  N
)  -  3 ) )
3817a1i 11 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
382 lemul2 9863 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  <_  (
( 2  x.  N
)  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) )  <_  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
38355, 58, 381, 382syl3anc 1184 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 )  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  <_  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
384380, 383mpbid 202 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  <_  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
38549, 57, 60, 370, 384ltletrd 9230 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
386122a1i 11 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
2  e.  ZZ )
387 flcl 11204 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  ZZ )
388387adantr 452 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ZZ )
389 ltle 9163 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N )
)
3902, 389mpan 652 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  N ) )
391 flge 11214 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  N  <->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
392122, 391mpan2 653 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <_  N  <->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
393390, 392sylibd 206 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
394393imp 419 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
2  <_  ( |_ `  N ) )
395 eluz2 10494 . . . 4  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_
`  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( |_ `  N
) ) )
396386, 388, 394, 395syl3anbrc 1138 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
397 uzp1 10519 . . 3  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( |_ `  N )  =  2  \/  ( |_
`  N )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
398396, 397syl 16 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( ( |_ `  N )  =  2  \/  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
39947, 385, 398mpjaodan 762 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  N )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 177    \/ wo 358    /\ wa 359    = wceq 1652    e. wcel 1725    =/= wne 2599   A.wral 2705    u. cun 3318   {csn 3814   class class class wbr 4212   ` cfv 5454  (class class class)co 6081   CCcc 8988   RRcr 8989   0cc0 8990   1c1 8991    + caddc 8993    x. cmul 8995    < clt 9120    <_ cle 9121    - cmin 9291    / cdiv 9677   NNcn 10000   2c2 10049   3c3 10050   4c4 10051   6c6 10053   8c8 10055   ZZcz 10282   ZZ>=cuz 10488   RR+crp 10612   ...cfz 11043   |_cfl 11201   ^cexp 11382    || cdivides 12852   Primecprime 13079   logclog 20452   thetaccht 20873
This theorem is referenced by:  bposlem6  21073  chto1ub  21170
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1555  ax-5 1566  ax-17 1626  ax-9 1666  ax-8 1687  ax-13 1727  ax-14 1729  ax-6 1744  ax-7 1749  ax-11 1761  ax-12 1950  ax-ext 2417  ax-rep 4320  ax-sep 4330  ax-nul 4338  ax-pow 4377  ax-pr 4403  ax-un 4701  ax-inf2 7596  ax-cnex 9046  ax-resscn 9047  ax-1cn 9048  ax-icn 9049  ax-addcl 9050  ax-addrcl 9051  ax-mulcl 9052  ax-mulrcl 9053  ax-mulcom 9054  ax-addass 9055  ax-mulass 9056  ax-distr 9057  ax-i2m1 9058  ax-1ne0 9059  ax-1rid 9060  ax-rnegex 9061  ax-rrecex 9062  ax-cnre 9063  ax-pre-lttri 9064  ax-pre-lttrn 9065  ax-pre-ltadd 9066  ax-pre-mulgt0 9067  ax-pre-sup 9068  ax-addf 9069  ax-mulf 9070
This theorem depends on definitions:  df-bi 178  df-or 360  df-an 361  df-3or 937  df-3an 938  df-tru 1328  df-ex 1551  df-nf 1554  df-sb 1659  df-eu 2285  df-mo 2286  df-clab 2423  df-cleq 2429  df-clel 2432  df-nfc 2561  df-ne 2601  df-nel 2602  df-ral 2710  df-rex 2711  df-reu 2712  df-rmo 2713  df-rab 2714  df-v 2958  df-sbc 3162  df-csb 3252  df-dif 3323  df-un 3325  df-in 3327  df-ss 3334  df-pss 3336  df-nul 3629  df-if 3740  df-pw 3801  df-sn 3820  df-pr 3821  df-tp 3822  df-op 3823  df-uni 4016  df-int 4051  df-iun 4095  df-iin 4096  df-br 4213  df-opab 4267  df-mpt 4268  df-tr 4303  df-eprel 4494  df-id 4498  df-po 4503  df-so 4504  df-fr 4541  df-se 4542  df-we 4543  df-ord 4584  df-on 4585  df-lim 4586  df-suc 4587  df-om 4846  df-xp 4884  df-rel 4885  df-cnv 4886  df-co 4887  df-dm 4888  df-rn 4889  df-res 4890  df-ima 4891  df-iota 5418  df-fun 5456  df-fn 5457  df-f 5458  df-f1 5459  df-fo 5460  df-f1o 5461  df-fv 5462  df-isom 5463  df-ov 6084  df-oprab 6085  df-mpt2 6086  df-of 6305  df-1st 6349  df-2nd 6350  df-riota 6549  df-recs 6633  df-rdg 6668  df-1o 6724  df-2o 6725  df-oadd 6728  df-er 6905  df-map 7020  df-pm 7021  df-ixp 7064  df-en 7110  df-dom 7111  df-sdom 7112  df-fin 7113  df-fi 7416  df-sup 7446  df-oi 7479  df-card 7826  df-cda 8048  df-pnf 9122  df-mnf 9123  df-xr 9124  df-ltxr 9125  df-le 9126  df-sub 9293  df-neg 9294  df-div 9678  df-nn 10001  df-2 10058  df-3 10059  df-4 10060  df-5 10061  df-6 10062  df-7 10063  df-8 10064  df-9 10065  df-10 10066  df-n0 10222  df-z 10283  df-dec 10383  df-uz 10489  df-q 10575  df-rp 10613  df-xneg 10710  df-xadd 10711  df-xmul 10712  df-ioo 10920  df-ioc 10921  df-ico 10922  df-icc 10923  df-fz 11044  df-fzo 11136  df-fl 11202  df-mod 11251  df-seq 11324  df-exp 11383  df-fac 11567  df-bc 11594  df-hash 11619  df-shft 11882  df-cj 11904  df-re 11905  df-im 11906  df-sqr 12040  df-abs 12041  df-limsup 12265  df-clim 12282  df-rlim 12283  df-sum 12480  df-ef 12670  df-sin 12672  df-cos 12673  df-pi 12675  df-dvds 12853  df-gcd 13007  df-prm 13080  df-pc 13211  df-struct 13471  df-ndx 13472  df-slot 13473  df-base 13474  df-sets 13475  df-ress 13476  df-plusg 13542  df-mulr 13543  df-starv 13544  df-sca 13545  df-vsca 13546  df-tset 13548  df-ple 13549  df-ds 13551  df-unif 13552  df-hom 13553  df-cco 13554  df-rest 13650  df-topn 13651  df-topgen 13667  df-pt 13668  df-prds 13671  df-xrs 13726  df-0g 13727  df-gsum 13728  df-qtop 13733  df-imas 13734  df-xps 13736  df-mre 13811  df-mrc 13812  df-acs 13814  df-mnd 14690  df-submnd 14739  df-mulg 14815  df-cntz 15116  df-cmn 15414  df-psmet 16694  df-xmet 16695  df-met 16696  df-bl 16697  df-mopn 16698  df-fbas 16699  df-fg 16700  df-cnfld 16704  df-top 16963  df-bases 16965  df-topon 16966  df-topsp 16967  df-cld 17083  df-ntr 17084  df-cls 17085  df-nei 17162  df-lp 17200  df-perf 17201  df-cn 17291  df-cnp 17292  df-haus 17379  df-tx 17594  df-hmeo 17787  df-fil 17878  df-fm 17970  df-flim 17971  df-flf 17972  df-xms 18350  df-ms 18351  df-tms 18352  df-cncf 18908  df-limc 19753  df-dv 19754  df-log 20454  df-cht 20879
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