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Theorem chtub 20467
Description: An upper bound on the Chebyshev function. (Contributed by Mario Carneiro, 13-Mar-2014.) (Revised 22-Sep-2014.)
Assertion
Ref Expression
chtub  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  N )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )

Proof of Theorem chtub
Dummy variables  k  n  x are mutually distinct and distinct from all other variables.
StepHypRef Expression
1 fveq2 5541 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  N )  =  2  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  2 )
)
2 2re 9831 . . . . . . . . . . 11  |-  2  e.  RR
3 1lt2 9902 . . . . . . . . . . 11  |-  1  <  2
4 rplogcl 19974 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  1  <  2 )  -> 
( log `  2
)  e.  RR+ )
52, 3, 4mp2an 653 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  2 )  e.  RR+
6 elrp 10372 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR+  <->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
75, 6mpbi 199 . . . . . . . . 9  |-  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) )
87simpli 444 . . . . . . . 8  |-  ( log `  2 )  e.  RR
98recni 8865 . . . . . . 7  |-  ( log `  2 )  e.  CC
109mulid1i 8855 . . . . . 6  |-  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  ( log `  2
)
11 cht2 20426 . . . . . 6  |-  ( theta `  2 )  =  ( log `  2
)
1210, 11eqtr4i 2319 . . . . 5  |-  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  ( theta `  2 )
131, 12syl6reqr 2347 . . . 4  |-  ( ( |_ `  N )  =  2  ->  (
( log `  2
)  x.  1 )  =  ( theta `  ( |_ `  N ) ) )
14 chtfl 20403 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N )
)
1514adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N )
)
1613, 15sylan9eqr 2350 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  =  (
theta `  N ) )
17 2t2e4 9887 . . . . . . 7  |-  ( 2  x.  2 )  =  4
18 df-4 9822 . . . . . . 7  |-  4  =  ( 3  +  1 )
1917, 18eqtri 2316 . . . . . 6  |-  ( 2  x.  2 )  =  ( 3  +  1 )
20 simplr 731 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  2  <  N )
212a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  2  e.  RR )
22 simpl 443 . . . . . . . . 9  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  ->  N  e.  RR )
2322adantr 451 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  N  e.  RR )
24 2pos 9844 . . . . . . . . . 10  |-  0  <  2
252, 24pm3.2i 441 . . . . . . . . 9  |-  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 )
2625a1i 10 . . . . . . . 8  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
27 ltmul2 9623 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 2  < 
N  <->  ( 2  x.  2 )  <  (
2  x.  N ) ) )
2821, 23, 26, 27syl3anc 1182 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  <  N  <->  ( 2  x.  2 )  < 
( 2  x.  N
) ) )
2920, 28mpbid 201 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  x.  2 )  < 
( 2  x.  N
) )
3019, 29syl5eqbrr 4073 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 3  +  1 )  < 
( 2  x.  N
) )
31 3re 9833 . . . . . . 7  |-  3  e.  RR
3231a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  3  e.  RR )
33 1re 8853 . . . . . . 7  |-  1  e.  RR
3433a1i 10 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  1  e.  RR )
35 remulcl 8838 . . . . . . . 8  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  x.  N
)  e.  RR )
362, 22, 35sylancr 644 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( 2  x.  N
)  e.  RR )
3736adantr 451 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
38 ltaddsub2 9265 . . . . . 6  |-  ( ( 3  e.  RR  /\  1  e.  RR  /\  (
2  x.  N )  e.  RR )  -> 
( ( 3  +  1 )  <  (
2  x.  N )  <->  1  <  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
3932, 34, 37, 38syl3anc 1182 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( (
3  +  1 )  <  ( 2  x.  N )  <->  1  <  ( ( 2  x.  N
)  -  3 ) ) )
4030, 39mpbid 201 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  1  <  ( ( 2  x.  N
)  -  3 ) )
41 resubcl 9127 . . . . . . 7  |-  ( ( ( 2  x.  N
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
4236, 31, 41sylancl 643 . . . . . 6  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
4342adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( (
2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )
447a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
45 ltmul2 9623 . . . . 5  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( 1  <  (
( 2  x.  N
)  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  1 )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
4634, 43, 44, 45syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( 1  <  ( ( 2  x.  N )  - 
3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
4740, 46mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( ( log `  2 )  x.  1 )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
4816, 47eqbrtrrd 4061 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  =  2 )  ->  ( theta `  N )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
49 chtcl 20363 . . . 4  |-  ( N  e.  RR  ->  ( theta `  N )  e.  RR )
5049ad2antrr 706 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  e.  RR )
51 reflcl 10944 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
5251ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  RR )
53 remulcl 8838 . . . . . 6  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  ( |_ `  N )  e.  RR )  -> 
( 2  x.  ( |_ `  N ) )  e.  RR )
542, 52, 53sylancr 644 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  e.  RR )
55 resubcl 9127 . . . . 5  |-  ( ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  (
( 2  x.  ( |_ `  N ) )  -  3 )  e.  RR )
5654, 31, 55sylancl 643 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  e.  RR )
57 remulcl 8838 . . . 4  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  e.  RR )
588, 56, 57sylancr 644 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  e.  RR )
5942adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  N )  - 
3 )  e.  RR )
60 remulcl 8838 . . . 4  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) )  e.  RR )
618, 59, 60sylancr 644 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) )  e.  RR )
6215adantr 451 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  =  ( theta `  N
) )
63 simpr 447 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )
64 df-3 9821 . . . . . . 7  |-  3  =  ( 2  +  1 )
6564fveq2i 5544 . . . . . 6  |-  ( ZZ>= ` 
3 )  =  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) )
6663, 65syl6eleqr 2387 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  3 ) )
67 eluzfz2 10820 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( |_ `  N )  e.  ( 3 ... ( |_
`  N ) ) )
68 3nn 9894 . . . . . . . 8  |-  3  e.  NN
6968nnzi 10063 . . . . . . 7  |-  3  e.  ZZ
70 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  3  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... 3
) )
7170raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( x  =  3  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... 3 ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
72 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  n  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... n
) )
7372raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( x  =  n  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
74 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... (
n  +  1 ) ) )
7574raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( n  + 
1 )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... ( n  + 
1 ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
76 oveq2 5882 . . . . . . . 8  |-  ( x  =  ( |_ `  N )  ->  (
3 ... x )  =  ( 3 ... ( |_ `  N ) ) )
7776raleqdv 2755 . . . . . . 7  |-  ( x  =  ( |_ `  N )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... x ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
3 ... ( |_ `  N ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
78 6lt8 9924 . . . . . . . . . . 11  |-  6  <  8
79 6re 9838 . . . . . . . . . . . . 13  |-  6  e.  RR
80 6pos 9850 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  6
8179, 80elrpii 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  6  e.  RR+
82 8re 9840 . . . . . . . . . . . . 13  |-  8  e.  RR
83 8pos 9852 . . . . . . . . . . . . 13  |-  0  <  8
8482, 83elrpii 10373 . . . . . . . . . . . 12  |-  8  e.  RR+
85 logltb 19969 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 6  e.  RR+  /\  8  e.  RR+ )  ->  (
6  <  8  <->  ( log `  6 )  <  ( log `  8 ) ) )
8681, 84, 85mp2an 653 . . . . . . . . . . 11  |-  ( 6  <  8  <->  ( log `  6 )  <  ( log `  8 ) )
8778, 86mpbi 199 . . . . . . . . . 10  |-  ( log `  6 )  < 
( log `  8
)
8887a1i 10 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( log `  6 )  < 
( log `  8
) )
89 elfz1eq 10823 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  k  =  3 )
9089fveq2d 5545 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  3 )
)
91 cht3 20427 . . . . . . . . . 10  |-  ( theta `  3 )  =  ( log `  6
)
9290, 91syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  =  ( log `  6
) )
9389oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  3 ) )
9493oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  3 )  - 
3 ) )
95 3cn 9834 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  3  e.  CC
96952timesi 9861 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( 2  x.  3 )  =  ( 3  +  3 )
9796oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  ( ( 3  +  3 )  -  3 )
98 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( 3  e.  CC  /\  3  e.  CC )  ->  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3 )
9995, 95, 98mp2an 653 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 3  +  3 )  -  3 )  =  3
10097, 99eqtri 2316 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( 2  x.  3 )  -  3 )  =  3
10194, 100syl6eq 2344 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  3 )
102101oveq2d 5890 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  3 ) )
103 2rp 10375 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  2  e.  RR+
104 relogcl 19948 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( 2  e.  RR+  ->  ( log `  2 )  e.  RR )
105103, 104ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( log `  2 )  e.  RR
106105recni 8865 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( log `  2 )  e.  CC
107106, 95mulcomi 8859 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
108 relogexp 19965 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  3  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) ) )
109103, 69, 108mp2an 653 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( 3  x.  ( log `  2 ) )
110107, 109eqtr4i 2319 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( log `  (
2 ^ 3 ) )
111 cu2 11217 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( 2 ^ 3 )  =  8
112111fveq2i 5544 . . . . . . . . . . 11  |-  ( log `  ( 2 ^ 3 ) )  =  ( log `  8 )
113110, 112eqtri 2316 . . . . . . . . . 10  |-  ( ( log `  2 )  x.  3 )  =  ( log `  8
)
114102, 113syl6eq 2344 . . . . . . . . 9  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( log `  8
) )
11588, 92, 1143brtr4d 4069 . . . . . . . 8  |-  ( k  e.  ( 3 ... 3 )  ->  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
116115rgen 2621 . . . . . . 7  |-  A. k  e.  ( 3 ... 3
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )
117 df-2 9820 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  2  =  ( 1  +  1 )
118 2cn 9832 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  CC
119 2ne0 9845 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  =/=  0
120118, 119dividi 9509 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  /  2 )  =  1
121 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  n )
12264, 121syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  +  1 )  <_  n )
123 2z 10070 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  2  e.  ZZ
124 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  ZZ )
125 zltp1le 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  +  1 )  <_  n ) )
126123, 124, 125sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  +  1 )  <_  n ) )
127122, 126mpbird 223 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  n )
128 eluzelre 10255 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  RR )
129 ltdiv1 9636 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  n  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( 2  < 
n  <->  ( 2  / 
2 )  <  (
n  /  2 ) ) )
1302, 25, 129mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  RR  ->  (
2  <  n  <->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) ) )
131128, 130syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  <  n  <->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) ) )
132127, 131mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  /  2 )  < 
( n  /  2
) )
133120, 132syl5eqbrr 4073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <  ( n  /  2 ) )
134128rehalfcld 9974 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  /  2 )  e.  RR )
135 ltadd1 9257 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( n  /  2
)  e.  RR  /\  1  e.  RR )  ->  ( 1  <  (
n  /  2 )  <-> 
( 1  +  1 )  <  ( ( n  /  2 )  +  1 ) ) )
13633, 33, 135mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  2 )  e.  RR  ->  (
1  <  ( n  /  2 )  <->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
137134, 136syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <  ( n  / 
2 )  <->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
138133, 137mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  +  1 )  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 ) )
139117, 138syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  2  <  ( ( n  /  2
)  +  1 ) )
140139adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  <  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
141 peano2z 10076 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  /  2 )  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  +  1 )  e.  ZZ )
142141adantl 452 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ )
143 zltp1le 10083 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ )  ->  ( 2  < 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  <->  ( 2  +  1 )  <_  (
( n  /  2
)  +  1 ) ) )
144123, 142, 143sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  <  (
( n  /  2
)  +  1 )  <-> 
( 2  +  1 )  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) ) )
145140, 144mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  +  1 )  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
14664, 145syl5eqbr 4072 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
3  <_  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )
14733a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  e.  RR )
148 ltle 8926 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 1  e.  RR  /\  ( n  /  2
)  e.  RR )  ->  ( 1  < 
( n  /  2
)  ->  1  <_  ( n  /  2 ) ) )
14933, 134, 148sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 1  <  ( n  / 
2 )  ->  1  <_  ( n  /  2
) ) )
150133, 149mpd 14 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  1  <_  ( n  /  2 ) )
151147, 134, 134, 150leadd2dd 9403 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  1 )  <_ 
( ( n  / 
2 )  +  ( n  /  2 ) ) )
152128recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  CC )
1531522halvesd 9973 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  ( n  / 
2 ) )  =  n )
154151, 153breqtrd 4063 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  +  1 )  <_  n )
155154adantr 451 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  <_  n )
156 elfz 10804 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  3  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  (
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <->  ( 3  <_  ( ( n  /  2 )  +  1 )  /\  (
( n  /  2
)  +  1 )  <_  n ) ) )
15769, 156mp3an2 1265 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <-> 
( 3  <_  (
( n  /  2
)  +  1 )  /\  ( ( n  /  2 )  +  1 )  <_  n
) ) )
158141, 124, 157syl2anr 464 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( n  /  2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  <-> 
( 3  <_  (
( n  /  2
)  +  1 )  /\  ( ( n  /  2 )  +  1 )  <_  n
) ) )
159146, 155, 158mpbir2and 888 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( 3 ... n ) )
160 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) ) )
161 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) ) )
162161oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )
163162oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) )
164160, 163breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( ( n  /  2 )  +  1 )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
165164rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) ) ) )
166159, 165syl 15 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
167134recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  /  2 )  e.  CC )
168167adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  /  2
)  e.  CC )
169 ax-1cn 8811 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  1  e.  CC
170 adddi 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  ( n  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  /  2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
171118, 169, 170mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  /  2 )  e.  CC  ->  (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  / 
2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
172168, 171syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  ( n  /  2 ) )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
173152adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  CC )
174 divcan2 9448 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( n  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  2  =/=  0 )  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
175118, 119, 174mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  CC  ->  (
2  x.  ( n  /  2 ) )  =  n )
176173, 175syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  /  2 ) )  =  n )
177118mulid1i 8855 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2  x.  1 )  =  2
178177a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  1 )  =  2 )
179176, 178oveq12d 5892 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  /  2
) )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( n  +  2 ) )
180172, 179eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  =  ( n  +  2 ) )
181180oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 )  =  ( ( n  +  2 )  -  3 ) )
18264eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  +  1 )  =  3
18395, 118, 169, 182subaddrii 9151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 3  -  2 )  =  1
184183oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( n  -  1 )
185 subsub3 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  - 
3 ) )
18695, 118, 185mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  CC  ->  (
n  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  - 
3 ) )
187173, 186syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( n  +  2 )  -  3 ) )
188184, 187syl5reqr 2343 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  3 )  =  ( n  -  1 ) )
189181, 188eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  3 )  =  ( n  -  1 ) )
190189oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) ) )
191190breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) ) ) )
192142zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  RR )
193 chtcl 20363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  e.  RR )
194192, 193syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  e.  RR )
195128adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  RR )
196 peano2rem 9129 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  RR  ->  (
n  -  1 )  e.  RR )
197195, 196syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  1 )  e.  RR )
198 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( n  -  1
)  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
199105, 197, 198sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  e.  RR )
200 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  n  e.  RR )  ->  ( ( log `  2
)  x.  n )  e.  RR )
201105, 195, 200sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  n )  e.  RR )
202194, 199, 201ltadd1d 9381 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( n  - 
1 ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) ) ) )
203106a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( log `  2
)  e.  CC )
204197recnd 8877 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  -  1 )  e.  CC )
205203, 204, 173adddid 8875 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( n  -  1 )  +  n ) )  =  ( ( ( log `  2 )  x.  ( n  - 
1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
206 adddi 8842 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  CC  /\  n  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
207118, 169, 206mp3an13 1268 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  CC  ->  (
2  x.  ( n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
208173, 207syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) ) )
209177oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  x.  n )  +  ( 2  x.  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 )
210208, 209syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  +  2 ) )
211210oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  =  ( ( ( 2  x.  n
)  +  2 )  -  3 ) )
212 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  n  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  n
)  e.  ZZ )
213123, 124, 212sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  ZZ )
214213zcnd 10134 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  CC )
215214adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  n
)  e.  CC )
216 subsub3 9095 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  CC  /\  3  e.  CC  /\  2  e.  CC )  ->  (
( 2  x.  n
)  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  2 )  - 
3 ) )
21795, 118, 216mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  n )  e.  CC  ->  (
( 2  x.  n
)  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n )  +  2 )  - 
3 ) )
218215, 217syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( ( 2  x.  n
)  +  2 )  -  3 ) )
219183oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  x.  n )  -  ( 3  -  2 ) )  =  ( ( 2  x.  n )  -  1 )
2201732timesd 9970 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  x.  n
)  =  ( n  +  n ) )
221220oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  1 )  =  ( ( n  +  n )  -  1 ) )
222169a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
1  e.  CC )
223173, 173, 222addsubd 9194 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  +  n )  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
224221, 223eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  1 )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
225219, 224syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  n )  -  (
3  -  2 ) )  =  ( ( n  -  1 )  +  n ) )
226211, 218, 2253eqtr2rd 2335 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  - 
1 )  +  n
)  =  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )
227226oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( n  -  1 )  +  n ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
228205, 227eqtr3d 2330 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) )
229228breq2d 4051 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( ( log `  2
)  x.  ( n  -  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
230191, 202, 2293bitrd 270 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
231 elfzuz 10810 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( 3 ... n )  ->  (
( n  /  2
)  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
) )
232159, 231syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )
233 nnuz 10279 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  NN  =  ( ZZ>= `  1 )
234233uztrn2 10261 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( 3  e.  NN  /\  ( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  ( ZZ>= ` 
3 ) )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  NN )
23568, 232, 234sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  / 
2 )  +  1 )  e.  NN )
236 chtublem 20466 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  e.  NN  ->  ( theta `  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
1 ) )  <_ 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  - 
1 ) ) ) )
237235, 236syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) ) ) )
238180oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( ( n  +  2 )  -  1 ) )
239 addsubass 9077 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  CC  /\  2  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  (
( n  +  2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
240118, 169, 239mp3an23 1269 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  CC  ->  (
( n  +  2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
241173, 240syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  1 )  =  ( n  +  ( 2  -  1 ) ) )
242117eqcomi 2300 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 1  +  1 )  =  2
243118, 169, 169, 242subaddrii 9151 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( 2  -  1 )  =  1
244243oveq2i 5885 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  +  ( 2  -  1 ) )  =  ( n  +  1 )
245241, 244syl6eq 2344 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( n  + 
2 )  -  1 )  =  ( n  +  1 ) )
246238, 245eqtrd 2328 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  -  1 )  =  ( n  +  1 ) )
247246fveq2d 5545 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( (
2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  -  1 ) )  =  ( theta `  (
n  +  1 ) ) )
248 pncan 9073 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( ( n  /  2
)  e.  CC  /\  1  e.  CC )  ->  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  -  1 )  =  ( n  /  2 ) )
249168, 169, 248sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( n  /  2 )  +  1 )  -  1 )  =  ( n  /  2 ) )
250249oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( log `  4 )  x.  ( n  /  2
) ) )
251 relogexp 19965 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  RR+  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) ) )
252103, 123, 251mp2an 653 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( 2  x.  ( log `  2 ) )
253 sq2 11215 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( 2 ^ 2 )  =  4
254253fveq2i 5544 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( log `  ( 2 ^ 2 ) )  =  ( log `  4 )
255118, 106mulcomi 8859 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( 2  x.  ( log `  2
) )  =  ( ( log `  2
)  x.  2 )
256252, 254, 2553eqtr3i 2324 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( log `  4 )  =  ( ( log `  2
)  x.  2 )
257256oveq1i 5884 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( log `  4 )  x.  ( n  / 
2 ) )  =  ( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  (
n  /  2 ) )
258118a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
2  e.  CC )
259203, 258, 168mulassd 8874 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( log `  2 )  x.  2 )  x.  (
n  /  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  ( n  /  2
) ) ) )
260257, 259syl5eq 2340 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( n  /  2 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( 2  x.  (
n  /  2 ) ) ) )
261176oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( 2  x.  ( n  / 
2 ) ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  n ) )
262250, 260, 2613eqtrd 2332 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  4
)  x.  ( ( ( n  /  2
)  +  1 )  -  1 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  n ) )
263262oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  4 )  x.  ( ( ( n  /  2 )  +  1 )  - 
1 ) ) )  =  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
264237, 247, 2633brtr3d 4068 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) ) )
265 peano2uz 10288 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3 )
)
266 eluzelz 10254 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
267265, 266syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  ZZ )
268267zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  +  1 )  e.  RR )
269268adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( n  +  1 )  e.  RR )
270 chtcl 20363 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  +  1 )  e.  RR  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
271269, 270syl 15 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  e.  RR )
272194, 201readdcld 8878 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  e.  RR )
273 zmulcl 10082 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  ( n  +  1
)  e.  ZZ )  ->  ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  e.  ZZ )
274123, 267, 273sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  ZZ )
275274zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  e.  RR )
276 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  (
n  +  1 ) )  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
277275, 31, 276sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
278277adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )
279 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
280105, 278, 279sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
281 lelttr 8928 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( ( theta `  ( n  +  1 ) )  e.  RR  /\  (
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( ( theta `  (
n  +  1 ) )  <_  ( ( theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  /\  ( (
theta `  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) )  ->  ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
282271, 272, 280, 281syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( n  +  1 ) )  <_  (
( theta `  ( (
n  /  2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  /\  ( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  +  ( ( log `  2 )  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
283264, 282mpand 656 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( ( theta `  ( ( n  / 
2 )  +  1 ) )  +  ( ( log `  2
)  x.  n ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
284230, 283sylbid 206 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
( n  /  2
)  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( ( n  /  2 )  +  1 ) )  - 
3 ) )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
285166, 284syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
286 eluzfz2 10820 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  e.  ( 3 ... n
) )
287 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  n )
)
288 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( k  =  n  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  n ) )
289288oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( k  =  n  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  n )  - 
3 ) )
290289oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( k  =  n  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) )
291287, 290breq12d 4052 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( k  =  n  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
292291rspcv 2893 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( 3 ... n )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
293286, 292syl 15 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
294293adantr 451 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) ) ) )
295213zred 10133 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  e.  RR )
29631a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  e.  RR )
297128ltp1d 9703 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  n  <  ( n  +  1 ) )
29825a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
299 ltmul2 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  RR  /\  ( n  +  1
)  e.  RR  /\  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( 2  x.  n )  <  (
2  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
300128, 268, 298, 299syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( n  <  ( n  +  1 )  <->  ( 2  x.  n )  <  (
2  x.  ( n  +  1 ) ) ) )
301297, 300mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2  x.  n )  < 
( 2  x.  (
n  +  1 ) ) )
302295, 275, 296, 301ltsub1dd 9400 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  n )  -  3 )  < 
( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )
303 resubcl 9127 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( ( 2  x.  n
)  e.  RR  /\  3  e.  RR )  ->  ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )
304295, 31, 303sylancl 643 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )
3057a1i 10 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
306 ltmul2 9623 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  n )  - 
3 )  <  (
( 2  x.  (
n  +  1 ) )  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
307304, 277, 305, 306syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( 2  x.  n
)  -  3 )  <  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
308302, 307mpbid 201 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
309 chtcl 20363 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  RR  ->  ( theta `  n )  e.  RR )
310128, 309syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( theta `  n )  e.  RR )
311 remulcl 8838 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  n )  -  3 )  e.  RR )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  e.  RR )
312105, 304, 311sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  e.  RR )
313105, 277, 279sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) )  e.  RR )
314 lttr 8915 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( ( ( theta `  n )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  - 
3 ) )  e.  RR  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  e.  RR )  ->  (
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  /\  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  -> 
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
315310, 312, 313, 314syl3anc 1182 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( theta `  n )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  /\  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )  ->  ( theta `  n )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
316308, 315mpan2d 655 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
317316adantr 451 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  n )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
318124adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  n  e.  ZZ )
319 dvdsval2 12550 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( 2  e.  ZZ  /\  2  =/=  0  /\  (
n  +  1 )  e.  ZZ )  -> 
( 2  ||  (
n  +  1 )  <-> 
( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
320123, 119, 319mp3an12 1267 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ZZ  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  ( (
n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
321267, 320syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2 
||  ( n  + 
1 )  <->  ( (
n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
322 2lt3 9903 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  2  <  3
3232, 31ltnlei 8955 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24  |-  ( 2  <  3  <->  -.  3  <_  2 )
324322, 323mpbi 199 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  -.  3  <_  2
325 breq2 4043 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( 2  =  ( n  + 
1 )  ->  (
3  <_  2  <->  3  <_  ( n  +  1 ) ) )
326324, 325mtbii 293 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  =  ( n  + 
1 )  ->  -.  3  <_  ( n  + 
1 ) )
327 eluzle 10256 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23  |-  ( ( n  +  1 )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  ( n  +  1 ) )
328265, 327syl 15 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  3  <_  ( n  +  1 ) )
329326, 328nsyl3 111 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  -.  2  =  ( n  + 
1 ) )
330329adantr 451 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  -.  2  =  ( n  +  1 ) )
331 uzid 10258 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22  |-  ( 2  e.  ZZ  ->  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
)
332123, 331ax-mp 8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  2  e.  ( ZZ>= `  2 )
333 simpr 447 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
n  +  1 )  e.  Prime )
334 dvdsprm 12794 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21  |-  ( ( 2  e.  ( ZZ>= ` 
2 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  2  =  ( n  +  1
) ) )
335332, 333, 334sylancr 644 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  (
2  ||  ( n  +  1 )  <->  2  =  ( n  +  1
) ) )
336330, 335mtbird 292 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
n  +  1 )  e.  Prime )  ->  -.  2  ||  ( n  + 
1 ) )
337336ex 423 . . . . . . . . . . . . . . . . . 18  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  +  1 )  e.  Prime  ->  -.  2  ||  ( n  +  1 ) ) )
338337con2d 107 . . . . . . . . . . . . . . . . 17  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 2 
||  ( n  + 
1 )  ->  -.  ( n  +  1
)  e.  Prime )
)
339321, 338sylbird 226 . . . . . . . . . . . . . . . 16  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ  ->  -.  ( n  +  1
)  e.  Prime )
)
340339imp 418 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  ->  -.  ( n  +  1 )  e.  Prime )
341 chtnprm 20408 . . . . . . . . . . . . . . 15  |-  ( ( n  e.  ZZ  /\  -.  ( n  +  1 )  e.  Prime )  ->  ( theta `  ( n  +  1 ) )  =  ( theta `  n
) )
342318, 340, 341syl2anc 642 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  =  ( theta `  n
) )
343342breq1d 4049 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )  <->  ( theta `  n )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
344317, 343sylibrd 225 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( ( theta `  n
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  n )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
345294, 344syld 40 . . . . . . . . . . 11  |-  ( ( n  e.  ( ZZ>= ` 
3 )  /\  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ )  -> 
( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( n  + 
1 ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
346 zeo 10113 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( n  e.  ZZ  ->  (
( n  /  2
)  e.  ZZ  \/  ( ( n  + 
1 )  /  2
)  e.  ZZ ) )
347124, 346syl 15 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( (
n  /  2 )  e.  ZZ  \/  (
( n  +  1 )  /  2 )  e.  ZZ ) )
348285, 345, 347mpjaodan 761 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  (
n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) ) ) )
349 ovex 5899 . . . . . . . . . . 11  |-  ( n  +  1 )  e. 
_V
350 fveq2 5541 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( n  +  1 ) ) )
351 oveq2 5882 . . . . . . . . . . . . . 14  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( n  +  1 ) ) )
352351oveq1d 5889 . . . . . . . . . . . . 13  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( n  + 
1 ) )  - 
3 ) )
353352oveq2d 5890 . . . . . . . . . . . 12  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
354350, 353breq12d 4052 . . . . . . . . . . 11  |-  ( k  =  ( n  + 
1 )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( n  +  1 ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) ) )
355349, 354ralsn 3687 . . . . . . . . . 10  |-  ( A. k  e.  { (
n  +  1 ) }  ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  ( theta `  ( n  +  1 ) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( n  +  1 ) )  -  3 ) ) )
356348, 355syl6ibr 218 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  A. k  e.  {
( n  +  1 ) }  ( theta `  k )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
357356ancld 536 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n
) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e.  { (
n  +  1 ) }  ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) ) )
358 ralun 3370 . . . . . . . . 9  |-  ( ( A. k  e.  ( 3 ... n ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e. 
{ ( n  + 
1 ) }  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )  ->  A. k  e.  ( ( 3 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
359 fzsuc 10851 . . . . . . . . . 10  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( 3 ... ( n  + 
1 ) )  =  ( ( 3 ... n )  u.  {
( n  +  1 ) } ) )
360359raleqdv 2755 . . . . . . . . 9  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... ( n  + 
1 ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <->  A. k  e.  (
( 3 ... n
)  u.  { ( n  +  1 ) } ) ( theta `  k )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
361358, 360syl5ibr 212 . . . . . . . 8  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( ( A. k  e.  (
3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  /\  A. k  e. 
{ ( n  + 
1 ) }  ( theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )  ->  A. k  e.  ( 3 ... (
n  +  1 ) ) ( theta `  k
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
362357, 361syld 40 . . . . . . 7  |-  ( n  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( A. k  e.  ( 3 ... n ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  A. k  e.  ( 3 ... ( n  +  1 ) ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) ) )
36369, 71, 73, 75, 77, 116, 362uzind4i 10296 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  A. k  e.  ( 3 ... ( |_ `  N ) ) ( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) ) )
364 fveq2 5541 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  ( theta `  k )  =  ( theta `  ( |_ `  N ) ) )
365 oveq2 5882 . . . . . . . . . 10  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
2  x.  k )  =  ( 2  x.  ( |_ `  N
) ) )
366365oveq1d 5889 . . . . . . . . 9  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( 2  x.  k
)  -  3 )  =  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 ) )
367366oveq2d 5890 . . . . . . . 8  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  =  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
368364, 367breq12d 4052 . . . . . . 7  |-  ( k  =  ( |_ `  N )  ->  (
( theta `  k )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  <-> 
( theta `  ( |_ `  N ) )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) ) ) )
369368rspcv 2893 . . . . . 6  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( 3 ... ( |_ `  N
) )  ->  ( A. k  e.  (
3 ... ( |_ `  N ) ) (
theta `  k )  < 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  k )  -  3 ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) ) )
37067, 363, 369sylc 56 . . . . 5  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  3
)  ->  ( theta `  ( |_ `  N
) )  <  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) ) )
37166, 370syl 15 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  ( |_ `  N ) )  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
37262, 371eqbrtrrd 4061 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) ) )
37336adantr 451 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  N )  e.  RR )
37431a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  3  e.  RR )
375 flle 10947 . . . . . . 7  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  <_  N )
376375ad2antrr 706 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( |_ `  N )  <_  N
)
37722adantr 451 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  N  e.  RR )
37825a1i 10 . . . . . . 7  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )
379 lemul2 9625 . . . . . . 7  |-  ( ( ( |_ `  N
)  e.  RR  /\  N  e.  RR  /\  (
2  e.  RR  /\  0  <  2 ) )  ->  ( ( |_
`  N )  <_  N 
<->  ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
38052, 377, 378, 379syl3anc 1182 . . . . . 6  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( |_
`  N )  <_  N 
<->  ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  <_  ( 2  x.  N ) ) )
381376, 380mpbid 201 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  <_  (
2  x.  N ) )
38254, 373, 374, 381lesub1dd 9404 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  <_  (
( 2  x.  N
)  -  3 ) )
3837a1i 10 . . . . 5  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  e.  RR  /\  0  < 
( log `  2
) ) )
384 lemul2 9625 . . . . 5  |-  ( ( ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( 2  x.  N )  -  3 )  e.  RR  /\  ( ( log `  2
)  e.  RR  /\  0  <  ( log `  2
) ) )  -> 
( ( ( 2  x.  ( |_ `  N ) )  - 
3 )  <_  (
( 2  x.  N
)  -  3 )  <-> 
( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 ) )  <_  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
38556, 59, 383, 384syl3anc 1182 . . . 4  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( ( 2  x.  ( |_
`  N ) )  -  3 )  <_ 
( ( 2  x.  N )  -  3 )  <->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  <_  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) ) )
386382, 385mpbid 201 . . 3  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  ( |_ `  N
) )  -  3 ) )  <_  (
( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
38750, 58, 61, 372, 386ltletrd 8992 . 2  |-  ( ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  /\  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) )  ->  ( theta `  N
)  <  ( ( log `  2 )  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
388123a1i 10 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
2  e.  ZZ )
389 flcl 10943 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  ( |_ `  N )  e.  ZZ )
390389adantr 451 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ZZ )
391 ltle 8926 . . . . . . 7  |-  ( ( 2  e.  RR  /\  N  e.  RR )  ->  ( 2  <  N  ->  2  <_  N )
)
3922, 391mpan 651 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  N ) )
393 flge 10953 . . . . . . 7  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  e.  ZZ )  ->  ( 2  <_  N  <->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
394123, 393mpan2 652 . . . . . 6  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <_  N  <->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
395392, 394sylibd 205 . . . . 5  |-  ( N  e.  RR  ->  (
2  <  N  ->  2  <_  ( |_ `  N ) ) )
396395imp 418 . . . 4  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
2  <_  ( |_ `  N ) )
397 eluz2 10252 . . . 4  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  <->  ( 2  e.  ZZ  /\  ( |_
`  N )  e.  ZZ  /\  2  <_ 
( |_ `  N
) ) )
398388, 390, 396, 397syl3anbrc 1136 . . 3  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( |_ `  N
)  e.  ( ZZ>= ` 
2 ) )
399 uzp1 10277 . . 3  |-  ( ( |_ `  N )  e.  ( ZZ>= `  2
)  ->  ( ( |_ `  N )  =  2  \/  ( |_
`  N )  e.  ( ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
400398, 399syl 15 . 2  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( ( |_ `  N )  =  2  \/  ( |_ `  N )  e.  (
ZZ>= `  ( 2  +  1 ) ) ) )
40148, 387, 400mpjaodan 761 1  |-  ( ( N  e.  RR  /\  2  <  N )  -> 
( theta `  N )  <  ( ( log `  2
)  x.  ( ( 2  x.  N )  -  3 ) ) )
Colors of variables: wff set class
Syntax hints:   -. wn 3    -> wi 4    <-> wb 176    \/ wo 357    /\ wa 358    = wceq 1632    e. wcel 1696    =/= wne 2459   A.wral 2556    u. cun 3163   {csn 3653   class class class wbr 4039   ` cfv 5271  (class class class)co 5874   CCcc 8751   RRcr 8752   0cc0 8753   1c1 8754    + caddc 8756    x. cmul 8758    < clt 8883    <_ cle 8884    - cmin 9053    / cdiv 9439   NNcn 9762   2c2 9811   3c3 9812   4c4 9813   6c6 9815   8c8 9817   ZZcz 10040   ZZ>=cuz 10246   RR+crp 10370   ...cfz 10798   |_cfl 10940   ^cexp 11120    || cdivides 12547   Primecprime 12774   logclog 19928   thetaccht 20344
This theorem is referenced by:  bposlem6  20544  chto1ub  20641
This theorem was proved from axioms:  ax-1 5  ax-2 6  ax-3 7  ax-mp 8  ax-gen 1536  ax-5 1547  ax-17 1606  ax-9 1644  ax-8 1661  ax-13 1698  ax-14 1700  ax-6 1715  ax-7 1720  ax-11 1727  ax-12 1878  ax-ext 2277  ax-rep 4147  ax-sep 4157  ax-nul 4165  ax-pow 4204  ax-pr 4230  ax-un 4528  ax-inf2 7358  ax-cnex 8809  ax-resscn 8810  ax-1cn 8811  ax-icn 8812  ax-addcl 8813  ax-addrcl 8814  ax-mulcl 8815  ax-mulrcl 8816  ax-mulcom 8817  ax-addass 8818  ax-mulass 8819  ax-distr 8820  ax-i2m1 8821  ax-1ne0 8822  ax-1rid 8823  ax-rnegex 8824  ax-rrecex 8825  ax-cnre 8826  ax-pre-lttri 8827  ax-pre-lttrn 8828  ax-pre-ltadd 8829  ax-pre-mulgt0 8830  ax-pre-sup 8831  ax-addf 8832  ax-mulf 8833
This theorem depends on definitions:  df-bi 177  df-or 359  df-an 360  df-3or 935  df-3an 936  df-tru 1310  df-ex 1532  df-nf 1535  df-sb 1639  df-eu 2160  df-mo 2161  df-clab 2283  df-cleq 2289  df-clel 2292  df-nfc 2421  df-ne 2461  df-nel 2462  df-ral 2561  df-rex 2562  df-reu 2563  df-rmo 2564  df-rab 2565  df-v 2803  df-sbc 3005  df-csb 3095  df-dif 3168  df-un 3170  df-in 3172  df-ss 3179  df-pss 3181  df-nul 3469  df-if 3579  df-pw 3640  df-sn 3659  df-pr 3660  df-tp 3661  df-op 3662  df-uni 3844  df-int 3879  df-iun 3923  df-iin 3924  df-br 4040  df-opab 4094  df-mpt 4095  df-tr 4130  df-eprel 4321  df-id 4325  df-po 4330  df-so 4331  df-fr 4368  df-se 4369  df-we 4370  df-ord 4411  df-on 4412  df-lim 4413  df-suc 4414  df-om 4673  df-xp 4711  df-rel 4712  df-cnv 4713  df-co 4714  df-dm 4715  df-rn 4716  df-res 4717  df-ima 4718  df-iota 5235  df-fun 5273  df-fn 5274  df-f 5275  df-f1 5276  df-fo 5277  df-f1o 5278  df-fv 5279  df-isom 5280  df-ov 5877  df-oprab 5878  df-mpt2 5879  df-of 6094  df-1st 6138  df-2nd 6139  df-riota 6320  df-recs 6404  df-rdg 6439  df-1o 6495  df-2o 6496  df-oadd 6499  df-er 6676  df-map 6790  df-pm 6791  df-ixp 6834  df-en 6880  df-dom 6881  df-sdom 6882  df-fin 6883  df-fi 7181  df-sup 7210  df-oi 7241  df-card 7588  df-cda 7810  df-pnf 8885  df-mnf 8886  df-xr 8887  df-ltxr 8888  df-le 8889  df-sub 9055  df-neg 9056  df-div 9440  df-nn 9763  df-2 9820  df-3 9821  df-4 9822  df-5 9823  df-6 9824  df-7 9825  df-8 9826  df-9 9827  df-10 9828  df-n0 9982  df-z 10041  df-dec 10141  df-uz 10247  df-q 10333  df-rp 10371  df-xneg 10468  df-xadd 10469  df-xmul 10470  df-ioo 10676  df-ioc 10677  df-ico 10678  df-icc 10679  df-fz 10799  df-fzo 10887  df-fl 10941  df-mod 10990  df-seq 11063  df-exp 11121  df-fac 11305  df-bc 11332  df-hash 11354  df-shft 11578  df-cj 11600  df-re 11601  df-im 11602  df-sqr 11736  df-abs 11737  df-limsup 11961  df-clim 11978  df-rlim 11979  df-sum 12175  df-ef 12365  df-sin 12367  df-cos 12368  df-pi 12370  df-dvds 12548  df-gcd 12702  df-prm 12775  df-pc 12906  df-struct 13166  df-ndx 13167  df-slot 13168  df-base 13169  df-sets 13170  df-ress 13171  df-plusg 13237  df-mulr 13238  df-starv 13239  df-sca 13240  df-vsca 13241  df-tset 13243  df-ple 13244  df-ds 13246  df-hom 13248  df-cco 13249  df-rest 13343  df-topn 13344  df-topgen 13360  df-pt 13361  df-prds 13364  df-xrs 13419  df-0g 13420  df-gsum 13421  df-qtop 13426  df-imas 13427  df-xps 13429  df-mre 13504  df-mrc 13505  df-acs 13507  df-mnd 14383  df-submnd 14432  df-mulg 14508  df-cntz 14809  df-cmn 15107  df-xmet 16389  df-met 16390  df-bl 16391  df-mopn 16392  df-cnfld 16394  df-top 16652  df-bases 16654  df-topon 16655  df-topsp 16656  df-cld 16772  df-ntr 16773  df-cls 16774  df-nei 16851  df-lp 16884  df-perf 16885  df-cn 16973  df-cnp 16974  df-haus 17059  df-tx 17273  df-hmeo 17462  df-fbas 17536  df-fg 17537  df-fil 17557  df-fm 17649  df-flim 17650  df-flf 17651  df-xms 17901  df-ms 17902  df-tms 17903  df-cncf 18398  df-limc 19232  df-dv 19233  df-log 19930  df-cht 20350
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